New results for the degree/diameter problem

The results of computer searches for large graphs with given (small) degree and diameter are presented. The new graphs are Cayley graphs of semidirect products of cyclic groups and related groups. One fundamental use of our ``dense graphs'' is in the design of efficient communication network topologies.Comment: 15 page

Diameter of Cayley graphs of permutation groups generated by transposition trees

Let $\Gamma$ be a Cayley graph of the permutation group generated by a transposition tree $T$ on $n$ vertices. In an oft-cited paper \cite{Akers:Krishnamurthy:1989} (see also \cite{Hahn:Sabidussi:1997}), it is shown that the diameter of the Cayley graph $\Gamma$ is bounded as \diam(\Gamma) \le \max_{\pi \in S_n}{c(\pi)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,\pi(i))}, where the maximization is over all permutations $\pi$, $c(\pi)$ denotes the number of cycles in $\pi$, and \dist_T is the distance function in $T$. In this work, we first assess the performance (the sharpness and strictness) of this upper bound. We show that the upper bound is sharp for all trees of maximum diameter and also for all trees of minimum diameter, and we exhibit some families of trees for which the bound is strict. We then show that for every $n$, there exists a tree on $n$ vertices, such that the difference between the upper bound and the true diameter value is at least $n-4$. Observe that evaluating this upper bound requires on the order of $n!$ (times a polynomial) computations. We provide an algorithm that obtains an estimate of the diameter, but which requires only on the order of (polynomial in) $n$ computations; furthermore, the value obtained by our algorithm is less than or equal to the previously known diameter upper bound. This result is possible because our algorithm works directly with the transposition tree on $n$ vertices and does not require examining any of the permutations (only the proof requires examining the permutations). For all families of trees examined so far, the value $\beta$ computed by our algorithm happens to also be an upper bound on the diameter, i.e. \diam(\Gamma) \le \beta \le \max_{\pi \in S_n}{c(\pi)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,\pi(i))}.Comment: This is an extension of arXiv:1106.535

Symmetric failures in symmetric control systems

AbstractThis paper discusses the fault-tolerance of symmetric systems with respect to controllability, which is a fundamental characteristic of control systems. In particular, we reveal the underlying mathematical mechanism of the loss of controllability for symmetric systems induced by failures. Based on the decomposition of the symmetric systems into subsystems under the symmetry, the controllability of the entire system can be discussed by checking that of each subsystem. The analysis of the fault-tolerance in this paper is an extension of this idea with the aid of the chain-adapted transformation matrix for the decomposition. The result is shown as a necessary condition for symmetric systems to retain the controllability despite some symmetric failures. We also discuss sufficient conditions

Recursive circulants and their embeddings among hypercubes

AbstractWe propose an interconnection structure for multicomputer networks, called recursive circulant. Recursive circulant G(N,d) is defined to be a circulant graph with N nodes and jumps of powers of d. G(N,d) is node symmetric, and has some strong hamiltonian properties. G(N,d) has a recursive structure when N=cdm, 1⩽c<d. We develop a shortest-path routing algorithm in G(cdm,d), and analyze various network metrics of G(cdm,d) such as connectivity, diameter, mean internode distance, and visit ratio. G(2m,4), whose degree is m, compares favorably to the hypercube Qm. G(2m,4) has the maximum possible connectivity, and its diameter is ⌈(3m−1)/4⌉. Recursive circulants have interesting relationship with hypercubes in terms of embedding. We present expansion one embeddings among recursive circulants and hypercubes, and analyze the costs associated with each embedding. The earlier version of this paper appeared in Park and Chwa (Proc. Internat. Symp. Parallel Architectures, Algorithms and Networks ISPAN’94, Kanazawa, Japan, December 1994, pp. 73–80)

Further topics in connectivity

Continuing the study of connectivity, initiated in §4.1 of the Handbook, we survey here some (sufficient) conditions under which a graph or digraph has a given connectivity or edge-connectivity. First, we describe results concerning maximal (vertex- or edge-) connectivity. Next, we deal with conditions for having (usually lower) bounds for the connectivity parameters. Finally, some other general connectivity measures, such as one instance of the so-called “conditional connectivity,” are considered. For unexplained terminology concerning connectivity, see §4.1.Peer ReviewedPostprint (published version

NASA SERC 1990 Symposium on VLSI Design

This document contains papers presented at the first annual NASA Symposium on VLSI Design. NASA's involvement in this event demonstrates a need for research and development in high performance computing. High performance computing addresses problems faced by the scientific and industrial communities. High performance computing is needed in: (1) real-time manipulation of large data sets; (2) advanced systems control of spacecraft; (3) digital data transmission, error correction, and image compression; and (4) expert system control of spacecraft. Clearly, a valuable technology in meeting these needs is Very Large Scale Integration (VLSI). This conference addresses the following issues in VLSI design: (1) system architectures; (2) electronics; (3) algorithms; and (4) CAD tools

Anells cordals:propietats estructurals i models de comunicacions

En els darrers anys hi ha hagut un gran desenvolupament de la recerca en l'àrea de les xarxes informàtiques. En aquest context, la utilització dels grafs com a models per a les xarxes, on els nodes són ordinadors o processadors interconnectats, que s'han de comunicar entre ells de la manera més eficaç possible, ha donat lloc a gran quantitat de treballs. Quan es tracta de xarxes d'interconnexió, en què el nivell d'integració és elevat, es solen considerar models amb bones propietats de simetria, que permeten definir i analitzar els algorismes amb més facilitat. Per exemple, els grafs de Cayley són grafs definits a partir de l'operació d'un grup. Això permet utilitzar l'estructura algèbrica subjacent per a la resolució dels problemes.Aquesta tesi tracta de les propietats d'una família de grafs, els anells cordals de grau 3, que són grafs de Cayley sobre el grup de simetries d'un polígon regular o grup dièdric. Aquest grup no és commutatiu, però els seus elements satisfan bones relacions. A més, està molt relacionat amb el grup cíclic, i això fa que els anells cordals tinguin molt a veure amb els grafs circulants.Una part important del treball és l'estudi de les propietats estructurals dels anells cordals, mentre que en una segona part es donen algorismes de comunicació punt a punt, o encaminaments, amb bones propietats, i d'intercanvi d'informació entre tots els nodes, o gossiping. Aquestes dues parts del treball estan interrelacionades, ja que les propietats estructurals dels grafs s'utilitzen en les definicions i en l'anàlisi dels algorismes que es proposen en la segona part i, a la vegada, l'estudi de problemes de comunicacions ha motivat el plantejament de problemes de caire més teòric, com la classificació per isomorfisme dels anells cordals, la caracterització del seu grup d'automorfismes o el càlcul de l'aresta bisecció. Part de l'interès d'aquest treball és l'ús de les tessel.lacions per a la representació dels grafs. Aquesta eina s'ha revelat molt útil en l'estudi de propietats mètriques i de problemes en què s'han d'establir camins entre els nodes, ja que en facilita la visualització. Les altres famílies de grafs que han estat estudiades per diversos autors mitjançant tessel.lacions del pla són, sobretot, els grafs circulants de grau 4, en què s'utilitzen quadrats per representar els vèrtexs, i de grau 6, en què s'utilitzen hexàgons. Per als anells cordals de grau 3 s'han utilitzat triangles. En particular es veu com la tessel.lació determina totalment el graf, i les propietats del graf es tradueixen en propietats de la tessel.lació. Es poden citar com a problemes oberts la generalització dels resultats a altres famílies de grafs, i l'estudi d'altres problemes de comunicacions. En particular, per al problema del càlcul de l'índex òptic, es tenen alguns resultats en el cas d'anells cordals aresta transitius, que utilitzen la caracterització del grup d'automorfismes i la definició d'encaminaments amb bones propietats presentats en aquesta tesi.Postprint (published version