5 research outputs found
Fixed-parameter algorithms for minimum-cost edge-connectivity augmentation
We consider connectivity-augmentation problems in a setting where each potential new edge has a non-negative cost associated with it, and the task is to achieve a certain connectivity target with at most p new edges of minimum total cost. The main result is that the minimum cost augmentation of edge-connectivity from k − 1 to k with at most p new edges is fixed-parameter tractable parameterized by p and admits a polynomial kernel. We also prove the fixed-parameter tractability of increasing edge connectivity from 0 to 2 and increasing node connectivity from 1 to 2
The Vulcan game of Kal-toh: Finding or making triconnected planar subgraphs
In the game of Kal-toh depicted in the television series Star Trek: Voyager, players
attempt to create polyhedra by adding to a jumbled collection of metal rods. Inspired by
this fictional game, we formulate graph-theoretical questions about polyhedral (triconnected and planar) subgraphs in an on-line environment. The problem of determining the existence of a polyhedral subgraph within a graph G is shown to be NP-hard, and we also give some non-trivial upper bounds for the problem of determining the minimum number of edge additions necessary to guarantee the existence of a polyhedral subgraph in G. A two-player
formulation of Kal-toh is also explored, in which the first player to form a target subgraph is declared the winner. We show a polynomial-time solution for simple cases of this game but conjecture that the general problem is NP-hard
Algorithms for drawing planar graphs
Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt
om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave
kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt
vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een
schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze
rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur
van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links
in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te
voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar
zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle
onderlinge relaties direct blijken.
Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde
schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan
de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later
reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec-
trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel
van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat
tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet
duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een
aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde
worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen
genoemd en de verbindingen lijnen.
Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren
van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be-
trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van
een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een
\mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan
een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf,
maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet
een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk
criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het
geval is dan wordt de graaf planair genoemd.
We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van
223?224 SAMENVATTING
planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele
getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke
criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de
volgende:
Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen
van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven).
Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie
\mooi" kan worden weergegeven.
Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten.
Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande
verbindingen van een knoop.
Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen.
De interne gebieden moeten convex getekend worden.
Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds
gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf.
Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen:
Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een
uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf-
gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen.
Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat
een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen-
hangend als na het weglaten van