Minimizing the stabbing number of matchings, trees, and triangulations

The (axis-parallel) stabbing number of a given set of line segments is the maximum number of segments that can be intersected by any one (axis-parallel) line. This paper deals with finding perfect matchings, spanning trees, or triangulations of minimum stabbing number for a given set of points. The complexity of these problems has been a long-standing open question; in fact, it is one of the original 30 outstanding open problems in computational geometry on the list by Demaine, Mitchell, and O'Rourke. The answer we provide is negative for a number of minimum stabbing problems by showing them NP-hard by means of a general proof technique. It implies non-trivial lower bounds on the approximability. On the positive side we propose a cut-based integer programming formulation for minimizing the stabbing number of matchings and spanning trees. We obtain lower bounds (in polynomial time) from the corresponding linear programming relaxations, and show that an optimal fractional solution always contains an edge of at least constant weight. This result constitutes a crucial step towards a constant-factor approximation via an iterated rounding scheme. In computational experiments we demonstrate that our approach allows for actually solving problems with up to several hundred points optimally or near-optimally.Comment: 25 pages, 12 figures, Latex. To appear in "Discrete and Computational Geometry". Previous version (extended abstract) appears in SODA 2004, pp. 430-43

Integer programming approaches for minimum stabbing problems

The problem of finding structures with minimum stabbing number has received considerable attention from researchers. Particularly, [10] study the minimum stabbing number of perfect matchings (mspm), spanning trees (msst) and triangulations (mstr) associated to set of points in the plane. The complexity of the mstr remains open whilst the other two are known to be . This paper presents integer programming (ip) formulations for these three problems, that allowed us to solve them to optimality through ip branch-and-bound (b&b) or branch-and-cut (b&c) algorithms. Moreover, these models are the basis for the development of Lagrangian heuristics. Computational tests were conducted with instances taken from the literature where the performance of the Lagrangian heuristics were compared with that of the exact b&b and b&c algorithms. The results reveal that the Lagrangian heuristics yield solutions with minute, and often null, duality gaps for instances with several hundreds of points in small computation times. To our knowledge, this is the first computational study ever reported in which these three stabbing problems are considered and where provably optimal solutions are given. © 2014 EDP Sciences, ROADEF, SMAI.The problem of finding structures with minimum stabbing number has received considerable attention from researchers. Particularly, [10] study the minimum stabbing number of perfect matchings (mspm), spanning trees (msst) and triangulations (mstr) associat482211233CNPQ - CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICOFAPESP - FUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULO301732/2007-8; 473867/2010-9; 147619/2010-607/52015-

Geometría computacional y bases de datos espacio-temporales

Respecto de las temáticas de investigación, hemos vinculado las disciplinas Bases de Datos, Geometría Computacional y Metaheurísticas, debido a que en diversas aplicaciones dentro del campo de las Ciencias de la Computación se requiere la construcción y manejo de diferentes objetos geométricos, con propiedades deseables. También, se requiere de repositorios no tradicionales, que conllevan a nuevos modelos de bases de datos para administrar y buscar información en ellos. Así, surge la necesidad de estudiar modelos como las bases de datos espacio-temporales. En particular, algunos de los problemas estudiados necesitan algoritmos eficientes para su resolución, pero dada su naturaleza NP-dura, utilizamos técnicas metaheurísticas para hallar soluciones aproximadas. En este trabajo, presentamos los tópicos más relevantes, actualmente en estudio, con las propuestas más recientes y/o de interés.Eje: Ingeniería de Software y Base de DatosRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Geometría computacional y bases de datos

La línea de investigación Geometría Computacional y Bases de Datos pertenece al proyecto Tecnologías Avanzadas de Bases de Datos, de la Universidad Nacional de San Luis. En esta línea de trabajo nos dedicamos al diseño e implementación de diversos tipos de estructuras de almacenamiento, tales como índices para el almacenamiento y consulta de datos de tipo espacio-temporales, como asimismo al estudio y diseño de estructuras geométricas y problemas relacionados a las mismas, mediante el análisis de propiedades que constituyen medidas de calidad que permiten estimar la bondad de las mismas.Eje: Bases de datos y minería de datosRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Geometría computacional y bases de datos

La línea de investigación Geometría Computacional y Bases de Datos pertenece al proyecto Tecnologías Avanzadas de Bases de Datos, de la Universidad Nacional de San Luis. En esta línea de trabajo nos dedicamos al diseño e implementación de diversos tipos de estructuras de almacenamiento, tales como índices para el almacenamiento y consulta de datos de tipo espacio-temporales, como asimismo al estudio y diseño de estructuras geométricas y problemas relacionados a las mismas, mediante el análisis de propiedades que constituyen medidas de calidad que permiten estimar la bondad de las mismas.Eje: Bases de datos y minería de datosRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Geometría computacional y bases de datos

La línea de investigación Geometría Computacional y Bases de Datos pertenece al proyecto Tecnologías Avanzadas de Bases de Datos, de la Universidad Nacional de San Luis. En esta línea nos dedicamos al diseño e implementación de estructuras y de índices adecuados para almacenar y resolver consultas de datos de tipo espacio-temporales, como asimismo al estudio de estructuras geométricas y problemas relacionados a las mismas, mediante el análisis de propiedades que constituyen medidas de calidad que permiten estimar la bondad de las mismas.Eje: Bases de datos y minería de datosRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Geometría computacional y bases de datos espacio-temporales

Respecto de las temáticas de investigación, hemos vinculado las disciplinas Bases de Datos, Geometría Computacional y Metaheurísticas, debido a que en diversas aplicaciones dentro del campo de las Ciencias de la Computación se requiere la construcción y manejo de diferentes objetos geométricos, con propiedades deseables. También, se requiere de repositorios no tradicionales, que conllevan a nuevos modelos de bases de datos para administrar y buscar información en ellos. Así, surge la necesidad de estudiar modelos como las bases de datos espacio-temporales. En particular, algunos de los problemas estudiados necesitan algoritmos eficientes para su resolución, pero dada su naturaleza NP-dura, utilizamos técnicas metaheurísticas para hallar soluciones aproximadas. En este trabajo, presentamos los tópicos más relevantes, actualmente en estudio, con las propuestas más recientes y/o de interés.Eje: Ingeniería de Software y Base de DatosRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Escaping the Curse of Spatial Partitioning: Matchings with Low Crossing Numbers and Their Applications

Given a set system (X, S), constructing a matching of X with low crossing number is a key tool in combinatorics and algorithms. In this paper we present a new sampling-based algorithm which is applicable to finite set systems. Let n = |X|, m = | S| and assume that X has a perfect matching M such that any set in ? crosses at most ? = ?(n^?) edges of M. In the case ? = 1- 1/d, our algorithm computes a perfect matching of X with expected crossing number at most 10 ?, in expected time O? (n^{2+(2/d)} + mn^(2/d)). As an immediate consequence, we get improved bounds for constructing low-crossing matchings for a slew of both abstract and geometric problems, including many basic geometric set systems (e.g., balls in ?^d). This further implies improved algorithms for many well-studied problems such as construction of ?-approximations. Our work is related to two earlier themes: the work of Varadarajan (STOC \u2710) / Chan et al. (SODA \u2712) that avoids spatial partitionings for constructing ?-nets, and of Chan (DCG \u2712) that gives an optimal algorithm for matchings with respect to hyperplanes in ?^d. Another major advantage of our method is its simplicity. An implementation of a variant of our algorithm in C++ is available on Github; it is approximately 200 lines of basic code without any non-trivial data-structure. Since the start of the study of matchings with low-crossing numbers with respect to half-spaces in the 1980s, this is the first implementation made possible for dimensions larger than 2

Minimizing the Stabbing Number of Matchings, Trees, and Triangulations

The (axis-parallel) stabbing number of a given set of line segments is the maximum number of segments that can be intersected by any one (axis-parallel) line. We investigate problems of finding perfect matchings, spanning trees, or triangulations of minimum stabbing number for a given set of points. The complexity of these problems has been a long-standing open problem; in fact, it is one of the original 30 outstanding open problems in computational geometry on the list by Demaine, Mitchell, and O’Rourke. We show that minimum stabbing problems are NPcomplete. We also show that an iterated rounding technique is applicable for matchings and spanning trees of minimum stabbing number by showing that there is a polynomially solvable LP-relaxation that has fractiona