A survey of clones on infinite sets

A clone on a set X is a set of finitary operations on X which contains all projections and which is moreover closed under functional composition. Ordering all clones on X by inclusion, one obtains a complete algebraic lattice, called the clone lattice. We summarize what we know about the clone lattice on an infinite base set X and formulate what we consider the most important open problems.Comment: 37 page

Clones with finitely many relative R-classes

For each clone C on a set A there is an associated equivalence relation analogous to Green's R-relation, which relates two operations on A iff each one is a substitution instance of the other using operations from C. We study the clones for which there are only finitely many relative R-classes.Comment: 41 pages; proofs improved, examples adde

Consistent Probabilistic Social Choice

Two fundamental axioms in social choice theory are consistency with respect to a variable electorate and consistency with respect to components of similar alternatives. In the context of traditional non-probabilistic social choice, these axioms are incompatible with each other. We show that in the context of probabilistic social choice, these axioms uniquely characterize a function proposed by Fishburn (Rev. Econ. Stud., 51(4), 683--692, 1984). Fishburn's function returns so-called maximal lotteries, i.e., lotteries that correspond to optimal mixed strategies of the underlying plurality game. Maximal lotteries are guaranteed to exist due to von Neumann's Minimax Theorem, are almost always unique, and can be efficiently computed using linear programming

The Mathematics of Ivo Rosenberg

International audienceThis paper is dedicated to the memory of the distinguished scholar and friend Professor I.G .Rosenberg. We survey some of his most well known and not so known results, as well as present some new ones related to the study of maximal partial clones and their intersections

Klonovi nedeterminističkih operacija

This thesis is a survey of some well-known and several new results concerning lattices of total, partial, incompletely specified clones and hyper-clones. We assign to every partial, incompletely specified and hyperoperation a suitable total operation and investigate thereby induced embeddings of the three lattices into corresponding lattices of total clones. Next we modify the famous Galois connection (Pol,Inv) between relations and operations for partial operations, IS operations and hyperoperations and describe classes of clones of IS operations and hyperoperations which strongly and weakly preserve given relations. We also state some known results concerning the four lattices on a two-element set. Finally, we present completeness criteria for the lattices of total and partial clones, and in the case of hyperclones and IS clones we describe four classes of coatoms, determined by four classes of Rosenberg’s relations.Ова теза представља преглед неких познатих и неколико нових резултата везаних за мреже тоталних, парцијалних, непотпуно специфицираних клонова и хиперклонова. Свакој парцијалној, непотпуно специфицираној и хипероперацији придружијемо одговарајућу тоталну операцију, и испитујемо тиме индукована потапања три мреже у одговарајуће мреже тоталних клонова. Потом познату Галоаову везу (Pol,Inv) између релација и операција модификујемо за парцијалне операције, НС опера-ције и хипероперације и описујемо класе клонова непотпуно специфици-раних и хипероперација које јако и слабо чувају дате релације. Такође наводимо неке познате резултате о мрежама на двоелементном скупу. Коначно, наводимо критеријуме комплетности за мреже тоталних и парцијалних клонова, а у случају хиперклонова и НС клонова описујемо четири класе коатома, одређених са четири класе Розенбергових релација.Ova teza predstavlja pregled nekih poznatih i nekoliko novih rezultata vezanih za mreže totalnih, parcijalnih, nepotpuno specificiranih klonova i hiperklonova. Svakoj parcijalnoj, nepotpuno specificiranoj i hiperoperaciji pridružijemo odgovarajuću totalnu operaciju, i ispitujemo time indukovana potapanja tri mreže u odgovarajuće mreže totalnih klonova. Potom poznatu Galoaovu vezu (Pol,Inv) između relacija i operacija modifikujemo za parcijalne operacije, NS opera-cije i hiperoperacije i opisujemo klase klonova nepotpuno specifici-ranih i hiperoperacija koje jako i slabo čuvaju date relacije. Takođe navodimo neke poznate rezultate o mrežama na dvoelementnom skupu. Konačno, navodimo kriterijume kompletnosti za mreže totalnih i parcijalnih klonova, a u slučaju hiperklonova i NS klonova opisujemo četiri klase koatoma, određenih sa četiri klase Rozenbergovih relacija

Quanteninformationstheorie mit gaußschen Systemen

Diese Dissertation wendet Konzepte der abstrakten Quanteninformationstheorie auf Systeme kontinuierlicher Variablen an, wie z.B. den quantenmechanischen harmonischen Oszillator. Insbesondere befasst sie sich mit den Eigenschaften gaußscher Zustände und Systeme; dadurch reduziert sich die Komplexität vieler Fragestellungen, die sonst schwer zu behandeln sind. Darüber hinaus spielen gaußsche Zustände und Systeme eine wichtige Rolle in Experimenten z.B. der Quantenoptik. Beispiele für gaußsche Zustände sind kohärente, thermische und gequetschte Zustände einer Lasermode. Die Ergebnisse dieser Dissertation fallen in drei Gebiete: Klonen kohärenter Zustände -- Aus fundamentalen Gründen können Quantenzustände im allgemeinen nicht perfekt kopiert werden. Kapitel 3 untersucht das approximative Klonen kohärenter Zustände. Dabei zeigt sich, dass gaußsche Kloner nur optimal sind, wenn der Gesamtzustand betrachtet wird; gewichtete Einzelklone werden dagegen durch nichtgaußsche Kloner optimiert. Die maximalen Fidelities werden für den Gesamtzustand analytisch und für den Fall zweier Einzelklone numerisch berechnet. Außerdem lässt sich die Gültigkeit der Fidelity-Schranke des klassischen Klonens erweitern und zu einem Erfolgskriterium für Quantenteleportation in Beziehung setzen. Gaußsche Quantenzellularautomaten (QCA) -- QCA bilden ein Modell für universelles Quantenrechnen und stellen ein alternatives Konzept für experimentelle Realisierungen dar, z.B. in optischen Gittern. Für eine Beispielklasse reversibler gaußscher QCA charakterisiert Kapitel 4 stationäre Zustände und zeigt, wie Irreversibilität entsteht. Außerdem werden konzeptionelle Probleme bei der Definition irreversibler QCA diskutiert. Verschlüsselte gaußsche Quantenkanäle -- Kapitel 5 entwirft eine Quantenverschlüsselung für kohärente Zustände mit klassischem Einmalschlüssel endlicher Genauigkeit. Für vorgegebene Sicherheit wird die Länge des Schlüssels abgeschätzt.This thesis applies concepts from abstract quantum information theory to continuous variable systems such as the quantum harmonic oscillator. In particular, it focuses on properties of Gaussian states and Gaussian systems, thus reducing the complexity of many problems which are otherwise hardly tractable. Moreover, Gaussian states and systems play a prominent role in experiments with continuous variable systems, e.g. in quantum optics. Examples of Gaussian states include coherent, thermal and squeezed states of a laser mode. The results of this thesis belong to three topics: Cloning of coherent states -- For fundamental reasons, unknown quantum states can in general not be duplicated perfectly. Chapter 3 investigates the approximate cloning of coherent states. It is shown that Gaussian cloners are optimal only with respect to the joint output state, whereas weighted single clones are optimized by non-Gaussian cloners. The maximum fidelities are computed analytically for joint output and numerically for the case of two single clones. In addition, the validity of the fidelity bound on classical cloning can be extended and related to a success criterion for quantum teleportation. Gaussian quantum cellular automata (QCA) -- QCA are a model for universal quantum computation and provide an alternative concept for experimental realization, e.g. in optical lattices. For an example class of reversible Gaussian QCA, chapter 4 characterizes stationary states and investigates how irreversibility arises. In addition, conceptual problems in the definition of irreversible QCA are discussed. Gaussian private channels -- Chapter 5 devises a quantum one-time pad encryption of coherent states with a classical key of finite precision. The key length is estimated in terms of prescribed security

Multiplication of matrices over lattices

We study the multiplication operation of square matrices over lattices. If the underlying lattice is distributive, then matrices form a semigroup; we investigate idempotent and nilpotent elements and the maximal subgroups of this matrix semigroup. We prove that matrix multiplication over nondistributive lattices is antiassociative, and we determine the invertible matrices in the case when the least or the greatest element of the lattice is irreducible

Coalgebras, clone theory, and modal logic

gekürzte Fassung: Coalgebren wurden sowohl in der Mathematik (seit den 70er Jahren) als auch in der theoretischen Informatik (seit den 90er Jahren) untersucht. In der Mathematik sind Coalgebren dual zu universellen Algebren definiert. Sie bestehen aus einer Trägermenge A zusammen mit Cofunktionen ? : A ? , die A in die n-fache disjunkte Vereinigung von sich selbst abbilden. Das Ziel der Forschung ist hier vor allem, duale Versionen von Definitionen und Resultaten aus der universellen Algebra für die Welt der Coalgebren zu finden. Die theoretische Informatik betrachtet Coalgebren von kategorieller Seite aus. Für einen gegebenen Funktor F : C ? C sind Coalgebren als Paare (S,"alpha") definiert, wobei S ein Objekt von C und "alpha" : S ? F(S) ein Morphismus in C ist. Somit stellt der obige Ansatz mit Cofunktionen einen Spezialfall dar. Begriffe wie Homomorphismus oder Bisimularität lassen sich auf einfache Weise ausdrücken und handhaben. Solche Coalgebren modellieren eine große Anzahl von dynamischen Systemen. Das liefert eine kanonische und vereinheitlichende Sicht auf diese Systeme. Die vorliegende Dissertation führt beide genannten Forschungsrichtungen der Coalgebren weiter: Teil I beschäftigt sich mit "klassischen" Coalgebren, also solchen, wie sie in der universellen Algebra untersucht werden. Insbesondere wird das Verhältnis zur Klontheorie erforscht. Teil II der Arbeit widmet sich dem kategoriellen Ansatz aus der theoretischen Informatik. Von speziellem Interesse ist hier die Anwendung von Coalgebren zur Spezifikation von Systemen. Coalgebren und Klontheorie In der universellen Algebra spielen Systeme von Funktionen eine bedeutende Rolle, u.a. in der Klontheorie. Dort betrachtet man Funktionen auf einer festen gegebenen Grundmenge. Klone von Funktionen sind Mengen von Funktionen, die alle Projektionen enthalten und die gegen Superposition (d.h. Einsetzen) abgeschlossen sind. Extern lassen sich diese Klone als Galois-abgeschlossene Mengengzgl. der Galois-Verbindung zwischen Funktionen und Relationen darstellen. Diese Galois-Verbindung wird durch die Eigenschaft einer Funktion induziert, eine Relation zu bewahren. Dual zu Klonen von Funktionen wurde von B. Csákány auch Klone von Cofunktionen untersucht. Folglich stellt sich die Frage, ob solche Klone ebenfalls mittels einer geeigneten Galois-Verbindung charakterisiert werden können. Die vorliegende Arbeit führt zunächst den Begriff von Corelationen ein. Es wird auf kanonische Weise definiert, was es heißt, daß eine Cofunktion eine Corelation bewahrt. Dies mündet in einer Galois-Theorie, deren Galois-abgeschlossene Mengen von Cofunktionen tatsächlich genau die Klone von Cofunktionen sind. Überdies entsprechen die Galois-abgeschlossenen Mengen von Corelationen genau den Klonen von Corelationen. Die Galois-Theorien von Funktionen und Relationen einerseits und Cofunktionen und Corelationen anderseits sind sich sehr ähnlich. Das wirft die Frage auf, welche Voraussetzungen allgemein nötig sind, um solche und ähnliche Galois-Theorien aufzustellen und die entsprechenden Galois-abgeschlossenen Mengen zu charakterisieren. Das Ergebnis ist eine Metatheorie, bei der die Gemeinsamkeiten in den Charakterisierungen der Galois-abgeschlossenen Mengen herausgearbeitet sind. Bereits bekannte Galois-Theorien erweisen sich als Spezialfälle dieser Metatheorie, und zwar die Galois-Theorien von partiellen Funktionen und Relationen, von mehrwertigen Funktionen und Relationen und von einstelligen Funktionen und Relationen...