Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène

Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément, on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement, on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche future.This thesis studies the behavior of particles that are maximal at time t in branching random walk and branching Brownian motion on R, for large values of t. Precisely, we look at the behavior of the maximum in a branching random walk in a time-inhomogeneous environment, where the law of the increments varies with respect to time. We compare with known or simplified models such as the model where random walks are taken to be i.i.d. and the branching random walk in a time-homogeneous environment model. We then take a look at the correlations between maximal particles in a branching brownian motion. Specifically, we look at the branching time between those maximal particles. Finally, we apply results and methods from the first chapters to study those same correlations in branching Brownian motion in a inhomogeneous environment. The thesis’ main result establishes existence of branching time at the center of the interval [0, t] for the branching Brownian motion in a inhomogeneous environment, which is not the case for standard branching brownian motion.We also present results of simulations that agree with theoretical results and help establishing new hypotheses for future research

Limites d'échelle de marches aléatoires contraintes

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des théorèmes limites pour les chaînes de Markov. Nous considérons des suites de chaînes de Markov et cherchons à montrer des doubles asymptotiques pour des processus lorsque le temps et l'indice de la suite tendent vers l'infini. Dans une première phase, nous nous concentrerons sur le modèle des prisonniers dans lequel un nombre fini de marcheurs aléatoires sont contraints de rester proches les uns des autres. Notre objectif est de déterminer le comportement limite lorsque le temps et le nombre de prisonniers augmentent, en utilisant la décomposition de Hodge d'une fonctionnelle additive d'une marche aléatoire sur un graphe fini, dans la lignée de travaux antérieurs de Boissard, Cohen, Espinasse et Norris. Ensuite, nous tenterons de développer une généralisation de ce modèle dans lequel la décomposition de Hodge peut être utilisée pour prouver des théorèmes limites en double asymptotique. Enfin, nous considérerons deux autres modèles - les marches aléatoires dans le graphite et les hypercubes de dimension $K$ - dans lesquels les techniques précédentes nous permettent de prouver des limites d'échelle dans ces deux contextes.This thesis falls within the field of limit theorems for Markov chains. We consider sequences of Markov chains, and focus on proving double asymptotics for such processes as both the time and the index in the sequence tend to infinity. In a first phase we will focus on the prisonners model in which a finite number of random walkers are constrained to stay close to each other. Our goal is to determine the limit behavior as the time and the number of prisonners is increasing, using the Hodge decomposition of an additive functionnal of a random walk on a finite graph, in line with previous work of Boissard, Cohen, Espinasse and Norris. Then we develop a generalisation of this model in which the Hodge decomposition can be used to prove limit theorem in double asymptotics. Finally we will consider two other models - the random walks in graphite and the $K$-dimensional hypercubes - in which the previous techniques allow us to prove scaling limits in both contexts

Bayesian Inference of Online Social Network Statistics via Lightweight Random Walk Crawls

Online social networks (OSN) contain extensive amount of information about the underlying society that is yet to be explored. One of the most feasible technique to fetch information from OSN, crawling through Application Programming Interface (API) requests, poses serious concerns over the the guarantees of the estimates. In this work, we focus on making reliable statistical inference with limited API crawls. Based on regenerative properties of the random walks, we propose an unbiased estimator for the aggregated sum of functions over edges and proved the connection between variance of the estimator and spectral gap. In order to facilitate Bayesian inference on the true value of the estimator, we derive the approximate posterior distribution of the estimate. Later the proposed ideas are validated with numerical experiments on inference problems in real-world networks

Mesurer la similarité structurelle entre réseaux lexicaux

International audienceIn this paper, we compare the topological structure of lexical networks with a method based on randomwalks. Instead of characterising pairs of vertices according only to whether they are connected or not, we measure theirstructural proximity by evaluating the relative probability of reaching one vertex from the other via a short random walk.This proximity between vertices is the basis on which we can compare the topological structure of lexical networks be-cause it outlines the similar dense zones of the graphs.Dans cet article, nous comparons la structure topologique des réseaux lexicaux avec une méthode fondée sur des marches aléatoires. Au lieu de caractériser les paires de sommets selon un critère binaire de connectivité, nous mesurons leur proximité structurelle par la probabilité relative d'atteindre un sommet depuis l'autre par une courte marche aléatoire. Parce que cette proximité rapproche les sommets d'une même zone dense en arêtes, elle permet de comparer la structure topologique des réseaux lexicaux