Relevant First-Order Logic LP#LP^\# and Curry's Paradox resolution

In 1942 Haskell B.Curry presented what is now called Curry paradox which can be found in a logic independently of its stand on negation.In recent years there has been a revitalised interest in non-classical solutions to the semantic paradoxes. In this article the non-classical resolution of Curry's Paradox and Shaw-Kwei paradox without rejection any contraction postulate is proposed.Comment: 7page

Contraction, Infinitary Quantifiers, and Omega Paradoxes

Our main goal is to investigate whether the infinitary rules for the quantifiers endorsed by Elia Zardini in a recent paper are plausible. First, we will argue that they are problematic in several ways, especially due to their infinitary features. Secondly, we will show that even if these worries are somehow dealt with, there is another serious issue with them. They produce a truth-theoretic paradox that does not involve the structural rules of contraction.Fil: Da Re, Bruno. Instituto de Investigaciones Filosóficas - Sadaf; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Rosenblatt, Lucas Daniel. Instituto de Investigaciones Filosóficas - Sadaf; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; Argentin

Chinese Research on Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics

This paper outlines the Chinese research on mathematical logic and the foundations of mathematics. Firstly, it presents the introduction and spread of mathematical logic in China, especially the teaching and translation of mathematical logic initiated by Bertrand Russell’s lectures in the country. Secondly, it outlines the Chinese research on mathematical logic after the founding of the People’s Republic of China. The research in this period experienced a short revival under the criticism of the Soviet Union, explorations under the heavy influence of the Cultural Revolution, and the vigorous development of mathematical logic teaching and research after the period of “Reform and Opening Up” that started in the late 1970s, and the full integration of Chinese mathematical logic research into the international academic circle in the new century after 2000. In the third part, it focuses on the unique and original results of the Chinese mathematical logic research teams from the following three aspects: medium logic, lattice implication algebras and their lattice-valued systems of logic, and Chinese notation of logical constants, which can be used as a substantive supplement to the relevant literature on the history of mathematical logic in China. The last part is a reflection on the shortcomings of contemporary Chinese research on mathematical logic and the foundations of mathematics

Paths to Triviality

This paper presents a range of new triviality proofs pertaining to naïve truth theory formulated in paraconsistent relevant logics. It is shown that excluded middle together with various permutation principles such as A → (B → C)⊩B → (A → C) trivialize naïve truth theory. The paper also provides some new triviality proofs which utilize the axioms ((A → B)∧(B → C)) → (A → C) and (A → ¬A) → ¬A, the fusion connective and the Ackermann constant. An overview over various ways to formulate Leibniz’s law in non-classical logics and two new triviality proofs for naïve set theory are also provided. The final version of this research has been published in the Journal of Philosophical Logic. © 2015 Springer Verla

La paradoja de Curry: un examen crítico

Se busca relacionar a la paradoja de Curry con la de El Mentiroso y la de Bertrand Russell. Para ello, se presenta cada paradoja acompañada de una de sus múltiples soluciones. Después de esta presentación, se realizan las comparaciones entre las paradojas expuestas para constar que si bien todas estas paradojas hacen uso de la autorreferencia o del predicado de ser miembro de sí mismo (autopertenecencia) se distinguen en que la de Curry no usa negaciones ni deriva en contradicciones. Además, solo la de Curry hace uso del principio de contracción. Finalmente, previa distinción entre solución y disolución (la primera consiste en elaborar una herramienta y explicar las causas de la aparición del problema; mientras que la segunda busca limitar o prohibir que ciertas expresiones puedan ser siquiera elaboradas), en el caso de la paradoja de Curry se expone la disolución (o bloqueo) presentada por Łukowski (2011) que consiste básicamente en conjuntar la expresión de Curry con un enunciado falso. Se sitúa esta propuesta algo artificiosa pero ingeniosa dentro del campo de la lógica clásica pues solo apela a tablas de verdad y ciertas leyes básicas de conectores lógicos. En la segunda parte, se parte tratando la paradoja de Curry desde un enfoque clásico. Se llegan a interesantes resultados en este punto como, por ejemplo que A (A B) puede reducirse a A∧B o que básicamente la paradoja de Curry pide algo en contra de las leyes de la tabla de verdad del condicional pues en ningún caso un condicional se reduce a su antecedente. Asimismo, se encuentra cierta repetición cíclica cuando se opera el condicional de Curry siendo A 0 B equivalente a A y siendo A n+1 B equivalente a la expresión (A n B) B. De tal modo que, cuando n=0, A 1 B sería equivalente a (A 0 B) B, es decir, a A B, y cuando n=1, A 2 B sería equivalente a (A 1 B) B, es decir, a (A B) B. Y así sucesivamente se obtiene: A B, (A B) B, [(A B) B] B, etc. Después, se presentan las soluciones que se han planteado desde la lógica no-clásica, en especial, las lógicas paracompleta y paraconsistente. Para el primer caso se sigue la propuesta de Field (2008), el cual a su vez toma resultados previos de Kripke (1975) y Gupta y Belnap (1993), llegando a constatar la no-verdad y no-falsedad del enunciado de Curry y para el segundo caso en base a Priest (2006a) se modifica la relación condicional haciendo uso del concepto de mundos no normales que son aquellos en los cuales, de acuerdo a Priest (1992) los teoremas lógicos no son verdaderos. Ambos de estos intentos son elaboraciones técnicas y con alto grado de complejidad. Sin embargo, se advierte con Beall y Shapiro (2018) que ambos intentos se han visto frustrados pues no logran eludir del todo a la escurridiza paradoja de Curry. Finalmente, en la parte tercera, se plantea las bases para una comprensión clarificadora sobre la paradoja de Curry. Como se sabe, la paradoja de Curry se plantea al suponer que si un condicional es cierto entonces B. Con esto se consigue probar cualquier proposición. Pues bien, primero, se realizan las observaciones sobre las diversas partes de la paradoja de Curry. De este modo, cuestionamos premisa, desarrollo y conclusión de esta paradoja. En cuanto a la premisa, Curry es acusado de ser un enunciado un tanto ambiguo (o incluso irrelevante); en cuanto al desarrollo, se observa la obsesión por desarrollar a Curry solo usando la prueba condicional y no las otras dos; finalmente, en cuanto a la conclusión, se indica la posibilidad de que tal vez no se llegue a probar cualquier cosa habida cuenta que, después de todo, la conclusión B también está incluida en el enunciado original de Curry. Enseguida, se utiliza el recurso de la lógica relevante que parecía ser un buen aliciente para acabar con esta paradoja. Así, se sostiene que esta lógica relevante buscaba que los razonamientos válidos compartan variables entre premisas y conclusiones y, además, que la premisa sea usada para derivar tal conclusión. Se observa cómo esta lógica le hace frente a las paradojas de la implicación y este tema particularmente nos interesa pues hay cierta semejanza entre el enunciado de Curry y estas paradojas. Sin embargo, después de todo, la esperanza era en vano: la lógica relevante tampoco logra frenar a la paradoja de Curry. Al final, se aborda el tema de la pragmática para tratar de interpretar esta paradoja. Se utiliza el marco teórico de Paul Grice (1975) para intentar plantear un enfoque propio de la paradoja de Curry. Se llega a la conclusión de que se trata de una implicatura conversacional que burla la máxima de cantidad y que, al parecer, solo busca indicar la seguridad que tenemos en un cierto enunciado B. También se señala que este aparente condicional se trataría de una conjunción encubierta.Tesi

Logics of formal inconsistency

Orientadores: Walter Alexandre Carnielli, Carlos M. C. L. CaleiroTexto em ingles e portuguesTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Ciencias HumanasTese (doutorado) - Universidade Tecnica de Lisboa, Instituto Superior TecnicoResumo: Segundo a pressuposição de consistência clássica, as contradições têm um cará[c]ter explosivo; uma vez que estejam presentes em uma teoria, tudo vale, e nenhum raciocínio sensato pode então ter lugar. Uma lógica é paraconsistente se ela rejeita uma tal pressuposição, e aceita ao invés que algumas teorias inconsistentes conquanto não-triviais façam perfeito sentido. A? Lógicas da Inconsistência Formal, LIFs, formam uma classe de lógicas paraconsistentes particularmente expressivas nas quais a noção meta-teónca de consistência pode ser internalizada ao nível da linguagem obje[c]to. Como consequência, as LIFs são capazes de recapturar o raciocínio consistente pelo acréscimo de assunções de consistência apropriadas. Assim, por exemplo, enquanto regras clássicas tais como o silogismo disjuntivo (de A e {não-,4)-ou-13, infira B) estão fadadas a falhar numa lógica paraconsistente (pois A e (nao-A) poderiam ambas ser verdadeiras para algum A, independentemente de B), elas podem ser recuperadas por uma LIF se o conjunto das premissas for ampliado pela presunção de que estamos raciocinando em um ambiente consistente (neste caso, pelo acréscimo de (consistente-.A) como uma hipótese adicional da regra). A presente monografia introduz as LIFs e apresenta diversas ilustrações destas lógicas e de suas propriedades, mostrando que tais lógicas constituem com efeito a maior parte dos sistemas paraconsistentes da literatura. Diversas formas de se efe[c]tuar a recaptura do raciocínio consistente dentro de tais sistemas inconsistentes são também ilustradas Em cada caso, interpretações em termos de semânticas polivalentes, de traduções possíveis ou modais são fornecidas, e os problemas relacionados à provisão de contrapartidas algébricas para tais lógicas são examinados. Uma abordagem formal abstra[cjta é proposta para todas as definições relacionadas e uma extensa investigação é feita sobre os princípios lógicos e as propriedades positivas e negativas da negação.Abstract: According to the classical consistency presupposition, contradictions have an explosive character: Whenever they are present in a theory, anything goes, and no sensible reasoning can thus take place. A logic is paraconsistent if it disallows such presupposition, and allows instead for some inconsistent yet non-trivial theories to make perfect sense. The Logics of Formal Inconsistency, LFIs, form a particularly expressive class of paraconsistent logics in which the metatheoretical notion of consistency can be internalized at the object-language level. As a consequence, the LFIs are able to recapture consistent reasoning by the addition of appropriate consistency assumptions. So, for instance, while classical rules such as disjunctive syllogism (from A and (not-A)-or-B, infer B) are bound to fail in a paraconsistent logic (because A and (not-.4) could both be true for some A, independently of B), they can be recovered by an LFI if the set of premises is enlarged by the presumption that we are reasoning in a consistent environment (in this case, by the addition of (consistent-/!) as an extra hypothesis of the rule). The present monograph introduces the LFIs and provides several illustrations of them and of their properties, showing that such logics constitute in fact the majority of interesting paraconsistent systems from the literature. Several ways of performing the recapture of consistent reasoning inside such inconsistent systems are also illustrated. In each case, interpretations in terms of many-valued, possible-translations, or modal semantics are provided, and the problems related to providing algebraic counterparts to such logics are surveyed. A formal abstract approach is proposed to all related definitions and an extended investigation is carried out into the logical principles and the positive and negative properties of negation.DoutoradoFilosofiaDoutor em Filosofia e Matemátic