Embedding Graphs into Embedded Graphs

A (possibly degenerate) drawing of a graph G in the plane is approximable by an embedding if it can be turned into an embedding by an arbitrarily small perturbation. We show that testing, whether a drawing of a planar graph G in the plane is approximable by an embedding, can be carried out in polynomial time, if a desired embedding of G belongs to a fixed isotopy class, i.e., the rotation system (or equivalently the faces) of the embedding of G and the choice of outer face are fixed. In other words, we show that c-planarity with embedded pipes is tractable for graphs with fixed embeddings. To the best of our knowledge an analogous result was previously known essentially only when G is a cycle

Constrained Planarity in Practice -- Engineering the Synchronized Planarity Algorithm

In the constrained planarity setting, we ask whether a graph admits a planar drawing that additionally satisfies a given set of constraints. These constraints are often derived from very natural problems; prominent examples are Level Planarity, where vertices have to lie on given horizontal lines indicating a hierarchy, and Clustered Planarity, where we additionally draw the boundaries of clusters which recursively group the vertices in a crossing-free manner. Despite receiving significant amount of attention and substantial theoretical progress on these problems, only very few of the found solutions have been put into practice and evaluated experimentally. In this paper, we describe our implementation of the recent quadratic-time algorithm by Bl\"asius et al. [TALG Vol 19, No 4] for solving the problem Synchronized Planarity, which can be seen as a common generalization of several constrained planarity problems, including the aforementioned ones. Our experimental evaluation on an existing benchmark set shows that even our baseline implementation outperforms all competitors by at least an order of magnitude. We systematically investigate the degrees of freedom in the implementation of the Synchronized Planarity algorithm for larger instances and propose several modifications that further improve the performance. Altogether, this allows us to solve instances with up to 100 vertices in milliseconds and instances with up to 100 000 vertices within a few minutes.Comment: to appear in Proceedings of ALENEX 202

Outerplanar partial cubes

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2022, Director: Kolja Knauer[en] The class of outerplanar graphs is minor-closed and can be characterized by two excluded minors: ${\mathbf{}}K_{4}$ and $K_{2,3}$ Partial cubes are a class of graphs with good metric properties and have two defined operations that transform a partial cube into a PC-minor. We will study the outerplanar partial cubes, which is a PC-minor-closed class. The main result is the characterization of the set of obstructions of the class of outerplanar partial cubes

Real-time interactive visualization of large networks on a tiled display system

This paper introduces a methodology for visualizing large real-world (social) network data on a high-resolution tiled display system. Advances in network drawing algorithms enabled real-time visualization and interactive exploration of large real-world networks. However, visualization on a typical desktop monitor remains challenging due to the limited amount of screen space and ever increasing size of real-world datasets.To solve this problem, we propose an integrated approach that employs state-of-the-art network visual-ization algorithms on a tiled display system consisting of multiple screens. Key to our approach is to use the machine's graphics processing units (GPUs) to their fullest extent, in order to ensure an interactive setting with real-time visualization. To realize this, we extended a recent GPU-based implementation of a force-directed graph layout algorithm to multiple GPUs and combined this with a distributed rendering approach in which each graphics card in the tiled display system renders precisely the part of the network to be displayed on the monitors attached to it.Our evaluation of the approach on a 12-screen 25 megapixels tiled display system with three GPUs, demonstrates interactive performance at 60 frames per second for real-world networks with tens of thousands of nodes and edges. This constitutes a performance improvement of approximately 4 times over a single GPU implementation. All the software developed to implement our tiled visualization approach, including the multi-GPU network layout, rendering, display and interaction components, are made available as open-source software.Computer Systems, Imagery and Medi

Interactive graph drawing with constraints

This thesis investigates the requirements for graph drawing stemming from practical applications, and presents both theoretical as well as practical results and approaches to handle them. Many approaches to compute graph layouts in various drawing styles exist, but the results are often not sufficient for use in practice. Drawing conventions, graphical notation standards, and user-defined requirements restrict the set of admissible drawings. These restrictions can be formalized as constraints for the layout computation. We investigate the requirements and give an overview and categorization of the corresponding constraints. Of main importance for the readability of a graph drawing is the number of edge crossings. In case the graph is planar it should be drawn without crossings, otherwise we should aim to use the minimum number of crossings possible. However, several types of constraints may impose restrictions on the way the graph can be embedded in the plane. These restrictions may have a strong impact on crossing minimization. For two types of such constraints we present specific solutions how to consider them in layout computation: We introduce the class of so-called embedding constraints, which restrict the order of the edges around a vertex. For embedding constraints we describe approaches for planarity testing, embedding, and edge insertion with the minimum number of crossings. These problems can be solved in linear time with our approaches. The second constraint type that we tackle are clusters. Clusters describe a hierarchical grouping of the graph's vertices that has to be reflected in the drawing. The complexity of the corresponding clustered planarity testing problem for clustered graphs is unknown so far. We describe a technique to compute a maximum clustered planar subgraph of a clustered graph. Our solution is based on an Integer Linear Program (ILP) formulation and includes also the first practical clustered planarity test for general clustered graphs. The resulting subgraph can be used within the first step of the planarization approach for clustered graphs. In addition, we describe how to improve the performance for pure clustered planarity testing by implying a branch-and-price approach. Large and complex graphs nowadays arise in many application domains. These graphs require interaction and navigation techniques to allow exploration of the underlying data. The corresponding concepts are presented and solutions for three practical applications are proposed: First, we describe Scaffold Hunter, a tool for the exploration of chemical space. We show how to use a hierarchical classification of molecules for the visual navigation in chemical space. The resulting visualization is embedded into an interactive environment that allows visual analysis of chemical compound databases. Finally, two interactive visualization approaches for two types of biological networks, protein-domain networks and residue interaction networks, are presented.In zahlreichen Anwendungsgebieten werden Informationen als Graphen modelliert und mithilfe dieser Graphen visualisiert. Eine übersichtliche Darstellung hilft bei der Analyse und unterstützt das Verständnis bei der Präsentation von Informationen mittels graph-basierter Diagramme. Neben allgemeinen ästhetischen Kriterien bestehen für eine solche Darstellung Anforderungen, die sich aus der Charakteristik der Daten, etablierten Darstellungskonventionen und der konkreten Fragestellung ergeben. Zusätzlich ist häufig eine individuelle Anpassung der Darstellung durch den Anwender gewünscht. Diese Anforderungen können mithilfe von Nebenbedingungen für die Berechnung eines Layouts formuliert werden. Trotz einer Vielzahl unterschiedlicher Anforderungen aus zahlreichen Anwendungsgebieten können die meisten Anforderungen über einige generische Nebenbedingungen formuliert werden. In dieser Arbeit untersuchen wir die Anforderungen aus der Praxis und beschreiben eine Zuordnung zu Nebenbedingungen für die Layoutberechnung. Wir geben eine Übersicht über den aktuellen Stand der Behandlung von Nebenbedingungen beim Zeichnen von Graphen und kategorisieren diese nach grundlegenden Eigenschaften. Von besonderer Wichtigkeit für die Qualität einer Darstellung ist die Anzahl der Kreuzungen. Planare Graphen sollten kreuzungsfrei gezeichnet werden, bei nicht-planaren Graphen sollte die minimale Anzahl Kreuzungen erreicht werden. Einige Nebenbedingungen beschränken jedoch die Möglichkeit, den Graph in die Ebene einzubetten. Dies kann starke Auswirkungen auf das Ergebnis der Kreuzungsminimierung haben. Zwei wichtige Typen solcher Nebenbedingungen werden in dieser Arbeit näher untersucht. Mit den Embedding Constraints führen wir eine Klasse von Nebenbedingungen ein, welche die mögliche Reihenfolge der Kanten um einen Knoten beschränken. Für diese Klasse präsentieren wir Linearzeitalgorithmen für das Testen der Planarität und das optimale Einfügen von Kanten unter Beachtung der Einbettungsbeschränkungen. Der zweite Typ von Nebenbedingungen sind Cluster, die eine hierarchische Gruppierung von Knoten vorgeben. Für das Testen der Cluster-Planarität unter solchen Nebenbedingungen ist die Komplexität bisher unbekannt. Wir beschreiben ein Verfahren, um einen maximalen Cluster-planaren Untergraphen zu berechnen. Wir nutzen dabei eine Formulierung als ganzzahliges lineares Programm sowie einen Branch-and-Cut Ansatz zur Lösung. Das Verfahren erlaubt auch die Bestimmung der Cluster-Planarität und stellt damit den ersten praktischen Ansatz zum Testen allgemeiner Clustergraphen dar. Zusätzlich beschreiben wir eine Verbesserung für den Fall, dass lediglich Cluster-Planarität getestet werden muss, der maximale Cluster-planare Untergraph aber nicht von Interesse ist. Für dieses Szenario geben wir eine vereinfachte Formulierung und präsentieren ein Lösungsverfahren, das auf einem Branch-and-Price Ansatz beruht. In der Praxis müssen häufig sehr große oder komplexe Graphen untersucht werden. Dazu werden entsprechende Interaktions- und Navigationsmethoden benötigt. Wir beschreiben die entsprechenden Konzepte und stellen Lösungen für drei Anwendungsbereiche vor: Zunächst beschreiben wir Scaffold Hunter, eine Software zur Navigation im chemischen Strukturraum. Scaffold Hunter benutzt eine hierarchische Klassifikation von Molekülen als Grundlage für die visuelle Navigation. Die Visualisierung ist eingebettet in eine interaktive Oberfläche die eine visuelle Analyse von chemischen Strukturdatenbanken erlaubt. Für zwei Typen von biologischen Netzwerken, Protein-Domänen Netzwerke und Residue-Interaktionsnetzwerke, stellen wir Ansätze für die interaktive Visualisierung dar. Die entsprechenden Layoutverfahren unterliegen einer Reihe von Nebenbedingungen für eine sinnvolle Darstellung