Combinatoire des mots, géométrie discrète et pavages

L'objet de cette thèse est d'étudier les liens entre la géométrie discrète et la combinatoire des mots. Le fait que les figures discrètes soient codées par des mots sur l'alphabet à quatre lettres Σ = {0.1.0,1}, codage introduit par Freeman en 1961, justifie l'utilisation de la combinatoire des mots dans leur étude. Les droites discrètes sont des objets bien connus des combinatoriciens, car étant identifiés par les mots Sturmiens. dont on trouve déjà une description assez complète dans les travaux de Christoffel à la fin du XIXe siècle à la suite de travaux précurseurs de Bernouilli et Markov. Alors que l'on comprend bien la structure des droites discrètes, on connait beaucoup moins bien les courbes en général. Cet ouvrage porte sur l'étude de propriétés géométriques de courbes fermées, codées sur l'alphabet Σ . On s'intéresse tout d'abord à la représentation des chemins dans le plan discret Z² et de ceux qui codent les polyominos. Dans un premier temps, l'emploi d'une structure arborescente quaternaire permet d'élaborer un algorithme optimal afin de tester si un mot quelconque sur Σ code un polyomino ou non. Ce résultat est fondamental d'abord parce qu'il est nouveau, élégant et qu'il se généralise en dimension supérieure. En outre, la linéarité de ce test rend les algorithmes subséquents vraiment\ud efficaces. À la suite de résultats précurseurs de Lyndon. Spitzer et Viennot sur la factorisation des mots, il existe une interprétation combinatoire de la convexité discrète. En géométrie algorithmique,\ud des algorithmes linéaires furent établis par McCallum et Avis en 1979, puis par Melkman\ud en 1987, pour calculer l'enveloppe convexe d'un polygone. Debled-Rennesson et al. ont obtenu en 2003, un algorithme linéaire pour décider de la convexité discrète d'un polyomino par des méthodes arithmétiques. Nous avons obtenu grâce aux propriétés spécifiques des mots de Lyndon et de Christoffel un algorithme linéaire pour tester si un polyomino est digitalement convexe. L'algorithme obtenu est extrêmement simple et s'avère dix fois plus rapide que celui de Debled-Rennesson et al. Finalement, le calcul de la plus longue extension commune à deux mots en temps constant -obtenu par Gusfield à l'aide des arbres suffixes -et le théorème de Fine et Wilf permettent d'élaborer de nouveaux algorithmes qui, grâce à la caractérisation de Beauquier-Nivat, testent si un polyomino pave le plan par translation. En particulier, on obtient un algorithme optimal en O(n) pour détecter les pseudo-carrés. Dans le cas des pseudo-hexagones ayant des facteurs carrés pas trop longs on obtient également un algorithme linéaire optimal, tandis que pour les pseudo-hexagones quelconques nous avons obtenu un algorithme en O(n(log n)³) que nous croyons ne pas être optimal. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire des mots, Géométrie discrète, Droites digitales, Pavages du plan, Algorithmique

Rationalités comparées des contenus mathématiques: La philosophie dans le champ de l'histoire des sciences. Sur les travaux de Roshdi Rashed

Dernière mise à jour : le 4 février 2007D'une manière générale, le champ des mathématiques considérées dans leur développement historique est fertile en problèmes épistémologiques et philosophiques. Les recherches de Roshdi Rashed sur l'histoire des mathématiques arabes présentent à cet égard un intérêt tout particulier en ce qu'elles explicitent nombre de ces problèmes, exemplifiés et précisés par le travail d'exhumation des textes et de leur compréhension historique. On propose, tout d'abord, un relevé de thèmes philosophiques rencontrés dans le champ de l'histoire des mathématiques arabes, notamment dans les travaux de Rashed. On tente ensuite, en suivant quelques uns de ces travaux, de caractériser les types de problèmes posés et de solutions proposées qui permettent, en arithmétique, algèbre, géométrie et optique, ainsi qu'en astronomie, de dessiner les figures de la rationalité mathématique, aux époques considérées. On se penche également, par rapport à la formulation de ces problèmes, sur la question des changements et des innovations, et sur leur rapport aux conceptions et traditions antérieures, en vue d'apporter des éléments à ce que pourrait être, pour ce domaine, une philosophie de la découverte au sens propre. On prolonge et conclut cette réflexion en évoquant d'un point de vue philosophique les questions, qui sous-tendent ce qui précède, de l'invention scientifique (ici, mathématique) et des modifications des formes de rationalité qui la rendent possible

Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

L'enseignement mathématique (2) 58 (2012) p3-47.We build examples of properly convex projective manifold $\Omega/ \Gamma$ which have finite volume, are not compact, nor hyperbolic in every dimension $n \geqslant 2$. On the way, we build Zariski-dense discrete subgroups of \SL_{n+1}(\R) which are not lattice, nor Schottky groups. Moreover, the open properly convex set $\Omega$ is strictly-convex, even Gromov-hyperbolic. Nous construisons des exemples de variétés projectives $\Omega/ \Gamma$ proprement convexes de volume fini, non hyperbolique, non compacte en toute dimension $n \geqslant 2$. Ceci nous permet au passage de construire des groupes discrets Zariski-dense de \SL_{n+1}(\R) qui ne sont ni des réseaux de \SL_{n+1}(\R), ni des groupes de Schottky. De plus, l'ouvert proprement convexe $\Omega$ est strictement convexe, même Gromov-hyperbolique

Petit manuel de survie en milieu digital

National audienceSaviez-vous que les légos ou Minecraft possèdent leur propre géométrie ? Bien sûr, la dénomination est différente mais il s’agit bien d’étudier les formes que l’on peut construire avec des briques élémentaires à faces carrées. En imagerie, les carrés et les cubes sont respectivement appelés pixels et voxels et trouvent une représentation naturelle dans la grille des entiers Z2 et Z3. Bizarrement, le but premier de cette théorie n’est pas de construire des vaisseaux spatiaux, des châteaux remplis de ninjas ou des villes titanesques mais des droites, des cercles, des sphères ou tout objet mathématique qui ressemble un tant soit peu aux figures de la géométrie élémentaire.En dehors de ses applications ludiques, la géométrie digitale se définit comme la géométrie de Z2, Z3 ou plus généralement Zn, autant dire des espaces peu favorables à la géométrie. Si vous vous aventurez sur le chemin qui mène dans ces contrées hostiles à la pensée mathématique et informatique, vous risquez de croiser le membre de l’une de ses tribus archaïques. Au cas fort improbable où vous arriveriez à communiquer avec cet être primitif, vous en apprendrez peut-être un peu plus sur les raisons étranges qui leur font développer cette géométrie rudimentaire en milieu si hostile :— d’abord sans doute une certaine nostalgie pour les jeux de construction, — pour les esthètes, la beauté de la théorie,— et pour d’autres, l’ambition de jouer aux Mac Gyver de la géométrie mais derrière ces fantaisies extravagantes qui peuvent les rendre sympathiques, voir naïfs ou inoffensifs, se terre un argument de fond qui ne relève pas de la simple lubie mais de l’emprise du numérique sur les sciences et technologies actuelles.De tous temps, les sciences physiques à moyennes et grandes échelles ont guidé le développement d’une partie des mathématiques et en particulier de théories géométriques continues telles que la géométrie différentielle avec en soubassement le corps des nombres réels ou complexes. Ce paradigme (R) a fait ses preuves mais sa nature continue le rend fondamentalement inadapté au traitement des données recueillies par les millions de périphériques qui alimentent les bases de données du monde entier. Les capteurs enregistrent des données sous forme digitale, soit à une résolution fixée des tableaux d’entiers c’est-à-dire des fonctions de Zd à valeur dans Z. Peut-on les traiter comme si c’étaient des fonctions de Rd dans R ? Probablement pas sans précautions mais c’est pourtant la voie la plus courante : l’usager pioche l’outil dont il a besoin dans les mathématiques continues, puis il recherche le moyen de l’appliquer à des structures entières, parfois grâce à un bricolage dont il garde le secret tant il existe d’innombrables façons de faire. Même si le résultat peut s’avérer significatif, passer par les nombres réels, c’est-à-dire une théorie basée sur des suites rationnelles de Cauchy convergentes, pour ensuite l’appliquer dans un cadre entier via des probabilités, une autre théorie ou un subterfuge est un détour considérable. Puisque de très nombreuses données à traiter se présentent sous la forme d’objets composés d’entiers -le b.a.-ba des nombres pourquoi ne pas développer une théorie géométrique qui soit directement adaptée à ce format de données ? C’est le chemin que nous vous proposons d’explorer. Il parcourt un territoire primitif encore largement vierge et donc propice à la recherche. Les agités du bocal dont je vous ai déjà parlé -on pourrait aussi les appeler des pionniers ont bien sûr commencé à le défricher mais en comparaison de l’ampleur de la tâche, on en peut pas dire qu’ils soient très nombreux. C’est un travail en cours, un chantier à ciel ouvert et un terrain de jeu sur lequel il est vivement recommandé de s’aventurer en dehors des chemins balisés. Mais avant de vous lâcher en pleine jungle, nous vous proposons un itinéraire balisé. Alors, remontez vos chaussettes, aspergez-vous de citronnelle, empoignez vos coupe-coupes et suivez le guide..

Programmation mathématique en tomographie discrète

La tomographie est un ensemble de techniques visant à reconstruirel intérieur d un objet sans toucher l objet lui même comme dans le casd un scanner. Les principes théoriques de la tomographie ont été énoncéspar Radon en 1917. On peut assimiler l objet à reconstruire à une image,matrice, etc.Le problème de reconstruction tomographique consiste à estimer l objet àpartir d un ensemble de projections obtenues par mesures expérimentalesautour de l objet à reconstruire. La tomographie discrète étudie le cas où lenombre de projections est limité et l objet est défini de façon discrète. Leschamps d applications de la tomographie discrète sont nombreux et variés.Citons par exemple les applications de type non destructif comme l imageriemédicale. Il existe d autres applications de la tomographie discrète, commeles problèmes d emplois du temps.La tomographie discrète peut être considérée comme un problème d optimisationcombinatoire car le domaine de reconstruction est discret et le nombrede projections est fini. La programmation mathématique en nombres entiersconstitue un outil pour traiter les problèmes d optimisation combinatoire.L objectif de cette thèse est d étudier et d utiliser les techniques d optimisationcombinatoire pour résoudre les problèmes de tomographie.The tomographic imaging problem deals with reconstructing an objectfrom a data called a projections and collected by illuminating the objectfrom many different directions. A projection means the information derivedfrom the transmitted energies, when an object is illuminated from a particularangle. The solution to the problem of how to reconstruct an object fromits projections dates to 1917 by Radon. The tomographic reconstructingis applicable in many interesting contexts such as nondestructive testing,image processing, electron microscopy, data security, industrial tomographyand material sciences.Discete tomography (DT) deals with the reconstruction of discret objectfrom limited number of projections. The projections are the sums along fewangles of the object to be reconstruct. One of the main problems in DTis the reconstruction of binary matrices from two projections. In general,the reconstruction of binary matrices from a small number of projections isundetermined and the number of solutions can be very large. Moreover, theprojections data and the prior knowledge about the object to reconstructare not sufficient to determine a unique solution. So DT is usually reducedto an optimization problem to select the best solution in a certain sense.In this thesis, we deal with the tomographic reconstruction of binaryand colored images. In particular, research objectives are to derive thecombinatorial optimization techniques in discrete tomography problems.PARIS-CNAM (751032301) / SudocSudocFranceF

Représentations et Structures Géométriques

This memoir consists in a survey of my mathematical works, focusing essentialyon character varieties for fundamental groups of 3-manifolds.Two major influences converge in these researchs : first the study of hyperbolic structureson 3-manifolds (Thurston, Neumann-Zagier...) and second the construction of coordinatesfor character varieties of fundamental groups of surfaces (Fock-Goncharov...). The tools I(among others) developped may be used for an experimental study of these character va-rieties (through formal computations) as well as a more theoretical treatment. Some ques-tions of a more geometric flavor arise, as e.g. the construction of new geometric structureson 3-manifolds or the study of the discreteness of representations.Ce mémoire présente mes travaux mathématiques et se concentre plus particu-lièrement sur l’étude des variétés de caractères de groupes fondamentaux de variétés dedimension 3.Ces recherches, fortement inspirées d’une part de travaux sur les structures hyperboliquessur les variétés de dimension 3 à pointes (Thurston, Neumann-Zagier...) et d’autre partsur des coordonnées pour les variétés de caractères de groupes fondamentaux de surfaces(Fock-Goncharov...), permettent une étude aussi bien fois expérimentale, via le calcul for-mel, que théorique de ces variétés de caractères. Ils ouvrent aussi la voie à des questionsplus géométriques : constructions de structures géométriques sur des variétés de dimen-sion 3 ou encore étude de la discrétude des représentations

Géométrie et gestion par l’élève de son espace de travail

Cet article traite d'une recherche collaborative réalisée avec une école-recherche associée au CIRADE et pratiquant une pédagogie du projet. Cette recherche avait pour objectifs de développer des outils d'exploration et de communication afin que l'élève puisse composer avec son environnement de travail, intégrer la gestion de l'espace dans ses apprentissages, évaluer ses besoins spatiaux. Les observations des chercheurs permettent d'analyser le développement des opérations intellectuelles et des compétences géométriques d'élèves de 5 à 12 ans en situation de concevoir et de gérer leur propre espace de travail.This article reports on a collaboration research project developed with a CIRADE-associated school involved in project teaching. The objectives of this research included the development of tools for exploring and comunicating to help the student deal with his work environment, the management of space in his learning, and the evaluation of his spatial needs. The authors' observations provided data to analyse the development of cognitive operations and of geometric abilities for students aged 5 to 12 who are in the process of conceptualizing and managing their work space.Este articulo présenta una investigacion realizada con la colaboracion de una escuela asociada al CIRADE donde se practica una pedagogia de proyectos. La investigacion tiene por objetivos desarrollar herramientas de exploraciôn y comunicaciôn con la finalidad de que los alumnos puedan crear dentro de su ambiente de trabajo, integrar esta administracion del espacio a sus aprendizajes y evaluar sus necesidades espaciales. Las observaciones de los investigadores permitieron analizar el desarrollo de las operaciones intelectuales y las competencias geométricas de alumnos de 5 a 12 anos en situaciones de concepcion y gestion de su propio espacio de trabajo.Dieser Artikel handelt von einem Forschungsprojekt, das in Zusam- menarbeit mit einer Grundschule unternommen wurde, die mit dem CIRADE in Verbindung steht und in der eine projektausgerichtete Pàdagogik betrieben wird. Mit dieser Forschung wurde versucht, Experimentier- und Kommunikationsmittel zu entwickeln, um dem Schiller zu helfen, sich in seiner Arbeitsumgebung zurechtzufmden, dièse Raumgestaltung in den Lernprozef? zu integrieren und seine ràumlichen Bedûrfnisse abzuschâtzen. Die angestellten Beobachtungen fiihren zur Analyse der Entwicklung der intellektuellen Verfahren und der geometrischen Kompetenz von funf-bis zwôlfjâhrigen Schulern, denen erlaubt wurde, ihren eigenen Arbeitsraum zu gestalten und zu verwalten