Funnel control for a moving water tank

We study tracking control for a moving water tank system, which is modelled using the Saint-Venant equations. The output is given by the position of the tank and the control input is the force acting on it. For a given reference signal, the objective is to achieve that the tracking error evolves within a prespecified performance funnel. Exploiting recent results in funnel control we show that it suffices to show that the operator associated with the internal dynamics of the system is causal, locally Lipschitz continuous and maps bounded functions to bounded functions. To show these properties we consider the linearized Saint-Venant equations in an abstract framework and show that it corresponds to a regular well-posed linear system, where the inverse Laplace transform of the transfer function defines a measure with bounded total variation.Comment: 11 page

Regelungstheorie

The workshop “Regelungstheorie” (control theory) covered a broad variety of topics that were either concerned with fundamental mathematical aspects of control or with its strong impact in various fields of engineering

Output feedback control and robustness in the gap metric

Zusammenfassung Mueller, Markus: Output feedback control and robustness in the gap metric Ilmenau : Univ.-Verl. Ilmenau, 2009. - 254 S. ISBN 978-3-939473-60-2 Die vorgelegte Arbeit behandelt den Entwurf und die Robustheit von drei verschiedenen Regelstrategien für lineare Differentialgleichungssysteme mit mehrdimensionalen Ein- und Ausgangssignalen (MIMO): Stabilisierung durch Ausgangs-Ableitungs-Rückführung, Lambda-tracking und Funnel-Regelung. Damit diese Regler bei der Anwendung auf ein lineares System die gewünschten Stabilisierung/Regelung erbringen, ist eine explizite Kenntnis der Systemmatrizen nicht notwendig. Es müssen nur strukturelle Eigenschaften des Systems bekannt sein: der Relativgrad, dass das System minimalphasig ist, und dass die sogenannte "high-frequency gain" Matrix positiv definit ist. Diese stukturellen Eigenschaften werden für MIMO-Systeme in den ersten Kapiteln der Arbeit ausführlich behandelt. Für MIMO-Systeme mit nicht striktem Relativgrad wird eine Normalform hergeleitet, die die gleichen Eigenschaften wie die bekannte Normalform für SISO-Systeme oder MIMO-Systeme mit striktem Relativgrad aufweist. Die Normalform sowie Minimalphasigkeit und Positivität der "high-frequency gain" Matrix bilden die Grundlage dafür, dass die oben genannten Regelstrategien Systeme mit diesen Eigenschaften im jeweiligen Sinn stabilisieren. Robustheit bzw. robuste Stabilisierung beschreibt folgendes Prinzip: falls ein geschlossener Kreis aus einem linearen System und einem Regler in gewissem Sinne stabil ist und die Gap-Metrik (der Abstand) zwischen dem im geschlossenen Kreis betrachteten System und einem anderen "neuen" System hinreichend klein ist, so ist der geschlossene Kreis aus dem "neuen" System und dem gleichen Regler wieder stabil. Die gleiche Aussage stimmt auch für den Fall, dass man den Regler und nicht das System austauscht. Für Ausgangs-Ableitungs-Rückführung wird gezeigt, dass, falls diese ein System stabilisiert, die auftretenden Ableitungen des Ausgangs durch Euler-Approximationen der Ableitungen ersetzt werden können, falls diese hinreichend genau sind. Für Lambda-tracking und Funnel-Regelung wird gezeigt, dass beide Regler auch für die Stabilisierung linearer Systeme verwendet werden können, die einen geringen Abstand zu einem System haben, dass die o.g. Voraussetzungen erfüllt, selbst diese Voraussetzungen aber nicht erfüllen.Abstract: This dissertation considers the design and robustness analysis of three different control strategies for linear systems of differential equations with multidimensional input and output signals (MIMO): high-gain output derivative feedback control, lambda-tracking and funnel control. To apply these control strategies to linear systems and achieve the desired control objectives (stabilization or tracking), the explicit system's data needs not to be known, but certain structural properties of the systems are required. The system's relative degree must be known, the system must be minimum phase and the so-called "high-frequency gain" matrix must be positive definite. These properties are considered in detail for linear MIMO-systems with non-strict relative degree. A normal form is developed which has the same properties as the well-known normal form for SISO-systems or MIMO-systems with strict relative degree. Normal form, minimum phase property and positivity of the high-frequency gain matrix are the crucial assumptions for the application of the control strategies mentioned above. It is shown that each controller achieves certain control objectives when applied to any system which satisfies these assumptions. The result on robustness and robust stability are as follows: if a closed-loop system represented by the application of a controller to a linear plant is stable (in some sense), and the gap metric (i.e. the distance) between the stabilised system and a different "new" system is sufficiently small, then the closed-loop system represented by the application of the controller to the "new" system is again stable. This conclusion holds also true when changing the roles of system and controller. For high-gain output derivative feedback control it is shown that the controller still stabilizes a system when the derivatives of the output are replaced by Euler approximations of the derivatives, provided the approximation is sufficiently precise. For lambda-tracking and funnel control it is shown that both controllers may be applied to systems which are "close" (in terms of a small gap) to any system from the class of minimum phase systems, with relative degree one and positive definite high-frequency gain matrix, but not necessarily satisfy any of these assumptions

Entwurf eines Beobachterbasierten Robusten Nichtlinearen Reglers

Due to observers ability in the estimation of internal system states, observers play an important role in the field of control and monitoring of dynamical systems. In reality, using sensors to measure the desired system states may be costly and/or affects the reliability of technical systems. Besides, some signals are impractical or inaccessible to be measured and using of sensors leads to significant errors such as stochastic noise. The solution of using observers is well-known since 1964. Besides the estimation of system states, some observers are able to estimate unknown inputs affecting the system dynamics such as disturbance forces or torques. These features are helpful for supervision and fault diagnosis tasks by monitoring the sensors and system components or for advanced control purposes by realizing observer-based control for practical systems. Among the state and disturbance observers, Proportional-Integral-Observer (PIO) is highly appreciated because of its simple structure and design procedure. Furthermore, using sufficiently high gain PIO, a robust estimation of system states and unknown inputs can be achieved. Besides taking the advantages of high gain design, the disadvantages of large overshoot and strong influence from measurement noise (as typical drawbacks of high gain utilization) in the control and estimation performance can not be neglected. Recently, some researches have been done to overcome the disadvantages of high gain observers and to adaptively adjust the gain of observer based on the resulting actual performance. Considering the advantages and disadvantages of high gain PIO besides the recent developments, it is evident that there are still open problems and questions to be solved in the area of optimal design of PIO and robust nonlinear control approaches based on PIO. On the other hand, the PI-Observer can be used in combination with linear/nonlinear control approaches (due to its simple structure and capability to estimate the system states and disturbances) to improve the performance and robustness of the closed-loop control results. Therefore, this thesis focuses on development and improvement of high gain Proportional-Integral-Observer as well as utilization of this observer in combination with well-known robust control approaches for possible general application in nonlinear systems. The Modified Advanced PIO (MAPIO) is introduced in this work as the extended version of Advanced PIO (APIO) to tune the gain of PIO according to the current situation. A cost function is defined so that the estimation performance and the related energy can be evaluated. Comparison between advanced observer design approaches has been done in the task of reconstructing the nonlinear characteristics and estimating the external inputs (contact forces) acting to elastic mechanical structures. Simulation results in open-loop and closed-loop cases verified that the performance of MAPIO in the task of unknown input estimation is more robust to different levels of measurement noise in comparison to previous methods e.g. APIO and standard high/low gain PIO. Furthermore, a new gain design approach of Proportional-Integral-Observer is proposed to overcome the disadvantages of high gain PIO and to realize the estimation of fast dynamical behaviors like unknown impact force. The dynamics of this force input is assumed as unknown. The idea of funnel control is taking into consideration to design the PIO gain. The important advantage of the proposed approach compared to previously published PIO gain design is the self-adjustment of observer gains according to the actual estimation situation inside the predefined funnel area. In this thesis it is shown that the proposed funnel PI-Observer algorithm allows adaptive PIO gain calculation, being able to be situatively adjusted even in the presence of measurement noise. Stability proof of funnel PI-Observer is investigated according to the switching observer condition and Lyapunov theory. The effectiveness of the proposed method is evaluated by simulation and experimental results using an elastic beam test rig. Furthermore, a nonlinear MIMO mechanical system is used to verify the effectiveness of the proposed method in the closed-loop context. Additionally, this thesis provides two new PI-Observer-based robust controllers as PIO-based sliding mode control and PIO-based backstepping control to improve the position tracking performance of a hydraulic differential cylinder system in the presence of uncertainties e.g. modeling errors, disturbances, and measurement noise. To use the linear PIO for estimation of system states and unknown inputs, the input-output feedback linearization approach is used to linearize the nonlinear model of hydraulic differential cylinder system. Thereupon the result of state and unknown input estimation is integrated into the structure of robust control design (here SMC and backstepping control) to eliminate the effects of uncertainties and disturbances. The introduced PIO-based robust controllers guarantee the ultimate boundness of the tracking error in the presence of uncertainties. The closed-loop stability is proved using Lyapunov theory in both cases. The proposed methods are experimentally validated and the results are compared with the standard SMC and industrial standard approach P-Controller in the presence of measurement noise, model uncertainties, and external disturbances. A general comparison of SMC and backstepping control approaches is provided in the last part of this work.Die Regelung und Überwachung dynamischer Systeme kann voraussetzen, dass Informationen über interne Systemzustände bekannt sind. Die Verwendung von Sensoren zur Erfassung aller Systemzustände kann erhöhte Kosten zur Folge haben und die Systemzuverlässigkeit negativ beeinflussen. Weitere Probleme ergeben sich dadurch, dass ggf. nicht jeder Systemzustand sensorisch erfasst werden kann. Der Beobachter erlaubt die Rekonstruktion aller Systemzustände auf Grundlage weniger Messungen. Neben Systemzuständen können externe Eingangsgrößen wie Reibmomente und Störungen geschätzt werden. Als Konsequenz ermöglicht der Beobachter eine gegenüber Störungen robuste Regelung und Fehlerdiagnose technischer Systeme. Der Proportional-Integral-Observer (PIO) kann mittels bestehender Entwurfsverfahren einfach implementiert werden. Durch Anpassen der Rückkopplungsmatrix eignet sich der PIO zur kombinierten Schätzung von Zuständen und unbekannten Eingangsgrößen. In diesem Zusammenhang spielt die Wahl einer betragsmäßig großen Rückkopplungsverstärkungsmatrix, als sogenannter High Gain Ansatz, eine entscheidende Rolle. Weiterhin hängt die Performance des PIO von der unbekannten Charakteristik der zu schätzenden Eingangsgröße ab. Diese Arbeit befasst sich mit der Entwicklung optimierter Entwurfsverfahren für den Proportional-Integral-Observer und der Entwicklung und Anwendung beobachterbasierter Konzepte zur robusten Regelung nichtlinearer Systeme. In dieser Arbeit wird der modifizierte Advanced PIO (MAPIO) als erweiterte Version des Advanced PIO (APIO) eingeführt. Der Schätzfehler von MAPIO wird über ein Gütefunktional abgebildet. Das Gütefunktional wird durch Anpassung der Rückkopplungsverstärkungsmatrix an die Charakteristik der unbekannten Eingangsgröße minimiert. Die Performance der modifizierten Beobachterentwurfsansätze wird anhand eines praktischen Beispiels bewertet. Geschätzt wird eine unbekannte Kontaktkraft mit nichtlinearer Charakteristik, die auf ein mechanisches System wirkt. Anhand eines Simulationsbeispiels im offenen und geschlossenen Regelkreis wird die Performance von MAPIO gegenüber vorherigen Verfahren APIO und PIO verifiziert. Basierend auf der Idee des Funnel Reglers wird ein neuartiges Entwurfskonzept für den Proportional-Integral-Observer vorgestellt. Die Nachteile des PIO-Konzeptes mit hohem Verstärkungsfaktor können überwunden werden und Schätzungen schneller dynamischer Verhaltensweisen lassen sich realisieren. Der Vorteil der neuartigen Funnel PIO Methode ist, dass der Schätzfehler in einem definierten Bereich, der sogenannten Funnel-Area, verbleibt. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass der vorgeschlagene Funnel PIO Algorithmus eine adaptive PIO Verstärkungsberechnung ermöglicht, die auch in Gegenwart von Messrauschen situativ eingestellt werden kann. Der Stabilitätsnachweis von Funnel PIO wird mittels der Lyapunov Theorie untersucht. Die Wirksamkeit der vorgeschlagenen Methode wird durch Simulation und experimentelle Ergebnisse validiert. Eine auf einen elastischen Balken wirkende äußere Kraft mit nichtlinearer Charakteristik wird geschätzt. Ein nichtlineares MIMO System wird verwendet, um die Wirksamkeit der vorgeschlagenen Methode im geschlossenen Regelkreis zu verifizieren. In dieser Arbeit werden zwei neue PI-Observer basierte robuste Regelungen (PIO-basierte Sliding Mode und PIO-basierte Backstepping Regelung) vorgestellt. Die Positionsregelung eines hydraulischen Differentialzylinders in Gegenwart von Modellunsicherheiten, Störungen und Messrauschen wird untersucht. Zur Anwendung der PIO-basierten Störgrößenschätzung wird eine Ein-/Ausgangs-Linearisierung des nichtlinearen Modells vorgenommen. Die Stabilität des geschlossenen Regelkreises wird in beiden Fällen mit der Lyapunov Theorie bewiesen. Die vorgeschlagenen Methoden werden experimentell validiert und die Ergebnisse werden mit dem Standard Sliding Mode Regler und einem P-Regler in Gegenwart von Messrauschen, Modellunsicherheiten und externen Störungen verglichen

Regelungstheorie

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The role of data in model building and prediction: a survey through examples

The goal of Science is to understand phenomena and systems in order to predict their development and gain control over them. In the scientific process of knowledge elaboration, a crucial role is played by models which, in the language of quantitative sciences, mean abstract mathematical or algorithmical representations. This short review discusses a few key examples from Physics, taken from dynamical systems theory, biophysics, and statistical mechanics, representing three paradigmatic procedures to build models and predictions from available data. In the case of dynamical systems we show how predictions can be obtained in a virtually model-free framework using the methods of analogues, and we briefly discuss other approaches based on machine learning methods. In cases where the complexity of systems is challenging, like in biophysics, we stress the necessity to include part of the empirical knowledge in the models to gain the minimal amount of realism. Finally, we consider many body systems where many (temporal or spatial) scales are at play-and show how to derive from data a dimensional reduction in terms of a Langevin dynamics for their slow components

About stabilization of non-minimum phase systems by output feedback

This thesis work has been motivated by an internal benchmark dealing with the output regulation problem of a nonlinear non-minimum phase system in the case of full-state feedback. The system under consideration structurally suffers from finite escape time, and this condition makes the output regulation problem very hard even for very simple steady-state evolution or exosystem dynamics, such as a simple integrator. This situation leads to studying the approaches developed for controlling Non-minimum phase systems and how they affect feedback performances. Despite a lot of frequency domain results, only a few works have been proposed for describing the performance limitations in a state space system representation. In particular, in our opinion, the most relevant research thread exploits the so-called Inner-Outer Decomposition. Such decomposition allows splitting the Non-minimum phase system under consideration into a cascade of two subsystems: a minimum phase system (the outer) that contains all poles of the original system and an all-pass Non-minimum phase system (the inner) that contains all the unavoidable pathologies of the unstable zero dynamics. Such a cascade decomposition was inspiring to start working on functional observers for linear and nonlinear systems. In particular, the idea of a functional observer is to exploit only the measured signals from the system to asymptotically reconstruct a certain function of the system states, without necessarily reconstructing the whole state vector. The feature of asymptotically reconstructing a certain state functional plays an important role in the design of a feedback controller able to stabilize the Non-minimum phase system