Combinatorial Markov chains on linear extensions

We consider generalizations of Schuetzenberger's promotion operator on the set L of linear extensions of a finite poset of size n. This gives rise to a strongly connected graph on L. By assigning weights to the edges of the graph in two different ways, we study two Markov chains, both of which are irreducible. The stationary state of one gives rise to the uniform distribution, whereas the weights of the stationary state of the other has a nice product formula. This generalizes results by Hendricks on the Tsetlin library, which corresponds to the case when the poset is the anti-chain and hence L=S_n is the full symmetric group. We also provide explicit eigenvalues of the transition matrix in general when the poset is a rooted forest. This is shown by proving that the associated monoid is R-trivial and then using Steinberg's extension of Brown's theory for Markov chains on left regular bands to R-trivial monoids.Comment: 35 pages, more examples of promotion, rephrased the main theorems in terms of discrete time Markov chain

Linear extensions and shelling orders

We prove that linear extensions of the Bruhat order of a matroid are shelling orders and that the barycentric subdivision of a matroid is a Coxeter matroid, viewing barycentric subdivisions as subsets of a parabolic quotient of a symmetric group. A similar result holds for order ideals in minuscule quotients of symmetric groups and in their barycentric subdivisions. Moreover, we apply promotion and evacuation for labeled graphs of Malvenuto and Reutenauer to dual graphs of simplicial complexes, providing promotion and evacuation of shelling orders

Markov chains, R\mathscr R-trivial monoids and representation theory

We develop a general theory of Markov chains realizable as random walks on $\mathscr R$-trivial monoids. It provides explicit and simple formulas for the eigenvalues of the transition matrix, for multiplicities of the eigenvalues via M\"obius inversion along a lattice, a condition for diagonalizability of the transition matrix and some techniques for bounding the mixing time. In addition, we discuss several examples, such as Toom-Tsetlin models, an exchange walk for finite Coxeter groups, as well as examples previously studied by the authors, such as nonabelian sandpile models and the promotion Markov chain on posets. Many of these examples can be viewed as random walks on quotients of free tree monoids, a new class of monoids whose combinatorics we develop.Comment: Dedicated to Stuart Margolis on the occasion of his sixtieth birthday; 71 pages; final version to appear in IJA

Bender--Knuth Billiards in Coxeter Groups

Let $(W,S)$ be a Coxeter system, and write $S=\{s_i:i\in I\}$, where $I$ is a finite index set. Fix a nonempty convex subset $\mathscr{L}$ of $W$. If $W$ is of type $A$, then $\mathscr{L}$ is the set of linear extensions of a poset, and there are important Bender--Knuth involutions $\mathrm{BK}_i\colon\mathscr{L}\to\mathscr{L}$ indexed by elements of $I$. For arbitrary $W$ and for each $i\in I$, we introduce an operator $\tau_i\colon W\to W$ (depending on $\mathscr{L}$) that we call a noninvertible Bender--Knuth toggle; this operator restricts to an involution on $\mathscr{L}$ that coincides with $\mathrm{BK}_i$ in type $A$. Given a Coxeter element $c=s_{i_n}\cdots s_{i_1}$, we consider the operator $\mathrm{Pro}_c=\tau_{i_n}\cdots\tau_{i_1}$. We say $W$ is futuristic if for every nonempty finite convex set $\mathscr{L}$, every Coxeter element $c$, and every $u\in W$, there exists an integer $K\geq 0$ such that $\mathrm{Pro}_c^K(u)\in\mathscr{L}$. We prove that finite Coxeter groups, right-angled Coxeter groups, rank-3 Coxeter groups, affine Coxeter groups of types $\widetilde A$ and $\widetilde C$, and Coxeter groups whose Coxeter graphs are complete are all futuristic. When $W$ is finite, we actually prove that if $s_{i_N}\cdots s_{i_1}$ is a reduced expression for the long element of $W$, then $\tau_{i_N}\cdots\tau_{i_1}(W)=\mathscr{L}$; this allows us to determine the smallest integer $\mathrm{M}(c)$ such that $\mathrm{Pro}_c^{{\mathrm{M}}(c)}(W)=\mathscr{L}$ for all $\mathscr{L}$. We also exhibit infinitely many non-futuristic Coxeter groups, including all irreducible affine Coxeter groups that are not of type $\widetilde A$, $\widetilde C$, or $\widetilde G_2$.Comment: 51 pages, 12 figure

Jeu de taquin

L'objet principal de ce mémoire est l'étude du jeu de taquin du point de vue de la combinatoire algébrique. Il s'appuie sur l'article de Mark Haiman « Dual equivalence with a conjecture of Proctor », Discrete Mathematics, 99, 1992 79-113. Dans cet article, Haiman étudie, entre autres, le jeu de taquin de Schützenberger, avec des preuves différentes de celle de Schützenberger; les preuves de Haiman se font uniquement en termes de jeu de taquin. Nous expliquerons la preuve des deux théorèmes fondamentaux du jeu de taquin dus à Schützenberger. Le premier théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.3) affirme que le redressé par jeu de taquin d'un tableau gauche quelconque ne dépend que de ce tableau, et pas de la suite de glissements choisis. C'est un théorème de confluence en somme. La preuve de Haiman utilise, d'une part, la notion d'équivalence duale des tableaux gauches, qu'il a défini. Il prouve entre autres que tous les tableaux de forme normale sont dualement équivalents (Corollaire 2.2.1). Il démontre aussi que l'équivalence duale des tableaux gauches se ramène à une suite d'équivalences duales élémentaires, c'est-à-dire d'équivalences duales de sous-tableaux à trois cases, appelés « miniatures » (Théorème 2.2.1). D'autre part, il utilise la notion de jeu de taquin « piloté » : les glissements du tableau sont déterminés par un autre tableau. Ceci permet à Haiman de démontrer un très beau résultat de dualité (Lemme 2.3.1) : les cases laissées vacantes dans le tableau T, lors d'un jeu de taquin piloté par le tableau S, déterminent un tableau, lequel est égal au tableau obtenu à partir de S par jeu de taquin piloté par T. Le second théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.6) affirme que le nombre de tableaux gauches de forme λ qui se redressent par jeu de taquin en un tableau normal T fixé, ne dépend que de la forme gauche λ et de la forme du tableau T (c'est ce qui permet à Lascoux et Schützenberger de donner la première preuve complète de la règle de Littlewood-Richardson). Notamment, le lien entre le jeu de taquin et l'algorithme de Robinson-Schensted est clairement établi : le jeu de taquin permet de simuler cet algorithme (Proposition 3.0.1) et l'équivalence des tableaux par jeu de taquin se ramène à l'égalité des tableaux d'insertion de Schensted de leur permutation ligne-à-ligne (Corollaire 4.0.5), alors que l'équivalence duale se ramène à l'égalité des tableaux d'indexation (Théorème 3.0.2). \ud ______________________________________________________________________________ \ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : jeu de taquin, Schützenberger, Haiman, équivalence duale, tableaux, algorithme de Robinson-Schensted