Symbolic dynamics for a kinds of piecewise smooth maps

Acknowledgments We sincerely thank the people who give valuable comments. The paper is supported by the National Natural Science Foundation of China (NNSFC) (Nos. 12362002 and 12172340), the Fundamental Research Funds for the Central Universities, China University of Geosciences (Wuhan) (Nos. G1323523061 and G1323523041), and the Young Top-notch Talent Cultivation Program of Hubei Province.Peer reviewe

Period adding structure in a 2D discontinuous model of economic growth

We study the dynamics of a growth model formulated in the tradition of Kaldor and Pasinetti where the accumulation of the ratio capital/workers is regulated by a two-dimensional discontinuous map with triangular structure. We determine analytically the border collision bifurcation boundaries of periodicity regions related to attracting cycles, showing that in a two-dimensional parameter plane these regions are organized in the period adding structure. We show that the cascade of flip bifurcations in the base one-dimensional map corresponds for the two-dimensional map to a sequence of pitchfork and flip bifurcations for cycles of even and odd periods, respectively

Local and Global Dynamics in a Neoclassical Growth Model with NonConcave Production Function and NonConstant Population Growth Rate

In this paper we analyze the dynamics shown by the neoclassical one-sector growth model with differential savings as in Bohm and Kaas [J. Econom. Dynam. Control, 24 (2000), pp. 965--980] while assuming a sigmoidal production function as in [V. Capasso, R. Engbers, and D. La Torre, Nonlinear Anal., 11 (2010), pp. 3858--3876] and the labor force dynamics described by the Beverton--Holt equation (see [R. J. H. Beverton and S. J. Holt, Fishery Invest., 19 (1957), pp. 1--533]). We prove that complex features are exhibited, related both to the structure of the coexisting attractors (which can be periodic or chaotic) and to their basins (which can be simple or nonconnected). In particular we show that complexity emerges if the elasticity of substitution between production factors is low enough and shareholders save more than workers, confirming the results obtained with concave production functions. Anyway, in contrast to previous studies, the use of the S-shaped production function implies the existence of a poverty trap: by performing a global analysis we study the properties of the regions generating trajectories converging to it

On the significance of borders: the emergence of endogenous dynamics

We propose a prototype model of market dynamics in which all functional relationships are linear. We take into account three borders, defined by linear functions, that are intrinsic to the economic reasoning: non-negativity of prices; downward rigidity of capacity (depreciation); and a capacity constraint for the production decision. Given the linear specification, the borders are the only source for the emerging of cyclical and more complex dynamics. In particular, we discuss centre bifurcations, border collision bifurcations and degenerate flip bifurcations—dynamic phenomena the occurrence of which are intimately related to the existence of borders

NONLINEAR DYNAMICS AND ECONOMIC GROWTH. THE INFLUENCE OF ELASTICITY OF SUBSTITUTION BETWEEN INPUT FACTORS AND DIFFERENTIAL SAVINGS PROPENSITIES.

Questa tesi analizza le dinamiche qualitative e quantitative del modello di crescita economica Solow-Swan con differenti tassi di risparmio per lavoratori e capitalisti considerando differenti funzioni di produzione, al fine di studiare come le dinamiche di lungo periodo di un\u2019economia sono influenzate dall\u2019elasticit\ue0 di sostituzione tra i fattori della produzione e da differenti propensioni al risparmio. Nel primo capitolo \ue8 discusso il problema di stabilire una relazione tra elasticit\ue0 di sostituzione ed i livelli di capitale ed output pro capite quando si considera una funzione di produzione con elasticit\ue0 di sostituzione variabile. Nel capitolo vengono proposte definizioni di elasticit\ue0 di sostituzione associata a differenti attrattori ed \ue8 introdotto un metodo di misura. L\u2019obiettivo \ue8 di comparare modelli dinamici di crescita con funzioni di produzione di tipo VES, sigmoidale o CES. A tal fine, il metodo proposto \ue8 applicato al modello di Kaldor considerando una tecnologia VES. Ne emerge che quando le dinamiche sono semplici (convergenza ad un punto fisso), un Paese in cui l\u2019elasticit\ue0 di sostituzione tra capitale e lavoro \ue8 pi\uf9 elevata \ue8 caratterizzato da un pi\uf9 alto livello di equilibrio del capitale e dell\u2019output pro capite. Nel caso in cui l\u2019equilibrio di lungo periodo \ue8 invece un ciclo o una dinamica pi\uf9 complessa, tale relazione \ue8 ambigua. Nel secondo capitolo \ue8 analizzato il modello di Kaldor assumendo che la tecnologia sia descritta dalla funzione di produzione Shifted Cobb-Douglas, una funzione di produzione che, differentemente dalla CES e VES precedentemente considerate in letteratura, permette di analizzare le dinamiche sia delle economie non sviluppate che di quelle in via di sviluppo e delle economie sviluppate. Il modello che ne risulta \ue8 descritto da una mappa discontinua con presenza di trappola della povert\ue0. Inoltre fenomeni di multistabilit\ue0 possono emergere: oltre al \u201cvizioso circolo della povert\ue0\u201d, le dinamiche di lungo periodo possono includere fluttuazioni economiche o convergenza ad un livello positivo di capitale pro capite. Possono inoltre emergere bacini complessi; in tal caso una politica economica finalizzata ad aumentare il capitale pro capite pu\uf2 fallire e l\u2019economia pu\uf2 essere catturata dalla trappola della povert\ue0. Nell\u2019ultimo capitolo il modello di crescita neoclassico a tempo discreto e con differenti propensioni al risparmio \ue8 studiato assumendo la funzione di produzione Kadiala, rilevante dal punto di vista economico per la sua peculiarit\ue0 di presentare una elasticit\ue0 di sostituzione simmetrica rispetto al capitale ed al lavoro. Viene mostrato che, se i lavoratori risparmiano pi\uf9 dei capitalisti, il percorso di crescita \ue8 limitato ed il limite \ue8 indipendente dal tasso di risparmio dei capitalisti. Inoltre, la crescita delle economie non sviluppate \ue8 influenzata dal tasso di risparmio dei capitalisti mentre il livello di capitale pro capite delle economie sviluppate \ue8 influenzato dalla propensit\ue0 al risparmio dei lavoratori. Fenomeni di multistabilit\ue0 possono emergere, pertanto il modello \ue8 in grado di spiegare la coesistenza di economie non sviluppate, in via di sviluppo e sviluppate. Fluttuazioni e dinamiche complesse si verificano quando l\u2019elasticit\ue0 di sostituzione tra i fattori della produzione \ue8 minore di uno ed i capitalisti risparmiano pi\uf9 dei lavoratori

Endogenous cycles in discontinuous growth models

In this paper we consider a discontinuous one-dimensional piecewise linear model describing a neoclassical growth model. These kind of maps are widely used in the applied context. We determine the analytical expressions of border collision bifurcation curves, responsible for the observed dynamics, which consists of attracting cycles of any period and of quasiperiodic trajectories in exceptional cases