Subquadratic nonobtuse triangulation of convex polygons

A convex polygon with n sides can be triangulated by O(n^1.85) triangles, without any obtuse angles. The construction uses a novel form of geometric divide and conquer

Embedding the dual complex of hyper-rectangular partitions

A rectangular partition is the partition of an (axis-aligned) rectangle into interior-disjoint rectangles. We ask whether a rectangular partition permits a "nice" drawing of its dual, that is, a straight-line embedding of it such that each dual vertex is placed into the rectangle that it represents. We show that deciding whether such a drawing exists is NP-complete. Moreover, we consider the drawing where a vertex is placed in the center of the represented rectangle and consider sufficient conditions for this drawing to be nice. This question is studied both in the plane and for the higher-dimensional generalization of rectangular partitions

Classificação e partição de polígonos simples

Mestrado em Matemática - EnsinoEsta dissertação tem como objectivo fazer um estudo sobre polígonos simples, nomeadamente no que concerne à sua classificação e partição. Começa-se por apresentar várias classes de polígonos simples fazendo depois uma classificação hierárquica. São apresentados alguns exemplos de polígonos simples segundo algumas características específicas. Posteriormente abordase o tema da partição clássica de polígonos simples. Faz-se uma resenha histórica sobre a evolução da complexidade da triangulação de polígonos simples, apresentam-se os algoritmos mais marcantes deste tipo de partição e mostra-se como, a partir de polígonos simples triangulados, se pode obter uma quadrangulação. Faz-se, também, uma abordagem a uma partição não clássica, como é o caso da pseudo-triangulação. Por fim, apresentam-se alguns problemas que ainda permanecem em aberto.The goal of this dissertation is to study simple polygons, namely concerning their classification and partition. We start by presenting several classes of simple polygons, performing next a sorted classification. Some examples of simple polygons are presented according to some specific characteristics. The classical partition of simple polygons theme is discussed next. We make an historical draft on the evolution of the triangulation complexity of simple polygons, the fundamental algorithms of this type of partition are described, and its shown how, starting with simple triangulated polygons, we can obtain a quadrangulation. An approach to non-classic partitions is done, e.g. the pseudo-triangulation. At last, some problems that remain unsolved are presented