Finite element approximation of non-Fickian polymer diffusion

The problem of nonlinear non-Fickian polymer diffusion as modelled by a diffusion equation with an adjoined spatially local evolution equation for a viscoelastic stress is considered (see, for example, Cohen, White & Witelski, SIAM J. Appl. Math. 55, pp. 348–368, 1995). We present numerical schemes based, spatially, on the Galerkin finite element method and, temporally, on the Crank-Nicolson method. Special attention is paid to linearising the discrete equations by extrapolating the value of the nonlinear term from previous time steps. Optimal a priori error estimates are given, based on the assumption that the exact solution possesses certain regularity properties, and numerical experiments are given to support these error estimates

Anomalous diffusion in polymers: long-time behaviour

We study the Dirichlet boundary value problem for viscoelastic diffusion in polymers. We show that its weak solutions generate a dissipative semiflow. We construct the minimal trajectory attractor and the global attractor for this problem.Comment: 13 page

Finite element approximation of a non-local problem in non-fickian polymer diffusion

This is the post-print version of the Article. Copyright @ 2011 Institute for Scientific Computing and InformationThe problem of non-local nonlinear non-Fickian polymer diffusion as modelled by a diffusion equation with a nonlinearly coupled boundary value problem for a viscoelastic ‘pseudostress’ is considered (see, for example, DA Edwards in Z. angew. Math. Phys., 52, 2001, pp. 254—288). We present two numerical schemes using the implicit Euler method and also the Crank-Nicolson method. Each scheme uses a Galerkin finite element method for the spatial discretisation. Special attention is paid to linearising the discrete equations by extrapolating the value of the nonlinear terms from previous time steps. A priori error estimates are given, based on the usual assumptions that the exact solution possesses certain regularity properties, and numerical experiments are given to support these error estimates. We demonstrate by example that although both schemes converge at their optimal rates the Euler method may be more robust than the Crank-Nicolson method for problems of practical relevance

Mixed and galerkin finite element approximation of flow in a linear viscoelastic porous medium

This is the post-print version of the Article. The official published version can be accessed from the link below - Copyright @ 2013 ElsevierThis article has been made available through the Brunel Open Access Publishing Fund.We propose two fully discrete mixed and Galerkin finite element approximations to a system of equations describing the slow flow of a slightly compressible single phase fluid in a viscoelastic porous medium. One of our schemes is the natural one for the backward Euler time discretization but, due to the viscoelasticity, seems to be stable only for small enough time steps. The other scheme contains a lagged term in the viscous stress and pressure evolution equations and this is enough to prove unconditional stability. For this lagged scheme we prove an optimal order a priori error estimate under ideal regularity assumptions and demonstrate the convergence rates by using a model problem with a manufactured solution. The model and numerical scheme that we present are a natural extension to ‘poroviscoelasticity’ of the poroelasticity equations and scheme studied by Philips and Wheeler in (for example) [Philip Joseph Philips, Mary F.Wheeler, Comput. Geosci. 11 (2007) 145–158] although — importantly — their algorithms and codes would need only minor modifications in order to include the viscous effects. The equations and algorithms presented here have application to oil reservoir simulations and also to the condition of hydrocephalus — ‘water on the brain’. An illustrative example is given demonstrating that even small viscoelastic effects can produce noticeable differences in long-time response. To the best of our knowledge this is the first time a mixed and Galerkin scheme has been analysed and implemented for viscoelastic porous media

Computational modeling of material behavior on different scales based on continuum mechanics

Die Modellierung und Simulation von Materialverhalten ist seit Jahrzehnten wichtiger Bestandteil ingenieurwissenschaftlicher Forschung. Sowohl innovative Ingenieurmaterialien (wie z.B. Leichtbaustoffe) als auch klassische Werkstoffe (z.B. Metalle) verlangen bei ihrer Entwicklung bzw. bei der Ermittlung ihrer mechanischen Eigenschaften ein stark verzahntes Wissen des Ingenieurs. In dem multidisziplinären Forschungsfeld sind Materialwissenschaftler, Ingenieure, Mathematiker und Physiker aktiv und profitieren von interdisziplinären Ansätzen. - Modellierung inelastischen Werkstoffverhaltens von Metallen - In vielen ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen wie z.B. Umformprozessen spielt die Deformation von metallischen Materialien eine wichtige Rolle. Metalle verhalten sich bis zu einer kritischen Spannung linear-elastisch. Bei größeren Deformationen sinkt die Steigung der Spannungs-Dehnungskurve und schließlich beginnt das Material sich plastisch zu verfestigen. Das Werkstoffverhalten ist abhängig von mehreren Phänomenen auf verschiedenen Skalen, wie z.B. der Mikroebene. Ein gutes Beispiel hierfür sind polykristalline metallische Werkstoffe. In deren Fall hat man festgestellt, dass die zugrunde liegende Mikrostruktur, z.B. die Kornmikrostruktur, eine große Rolle spielt. Relevante Aspekte hierbei sind die Abhängigkeit des Materialverhaltens von der Korngröße oder von der Interaktion zwischen Versetzungen und Korngrenzen. Wenn das umzuformende Metallstück ungefähr die gleiche Größe hat wie die Kristalle, aus denen es besteht, dann ist die Spannungs- Dehnungskurve im plastischen Bereich stark von der Korngröße abhängig. Dieses Verhalten nennt man Größeneffekt. Im Gegensatz zur herkömmlichen Kristallplastizität werden die genannten Aspekte von den Ansätzen der erweiterten Kristallplastizität bzw. der Gradientenkristallplastizität berücksichtigt. Bei der Anwendung solcher Modelle und deren Umsetzung in die numerische Simulation ergeben sich mehrere Herausforderungen. Nicht zuletzt gehören dazu die Analyse der entsprechenden gekoppelten Anfangs-Randwertprobleme und die Entwicklung von effektiven numerischen Lösungsstrategien für diese Probleme. In den Kapiteln 2–6 werden erweiterte Kristallplastizitätstheorien betrachtet. Dabei werden große Deformationen berücksichtigt, basierend auf nicht-linearer Kontinuumsmechanik. Die resultierenden mathematischen Gleichungen sind hochgradig nicht-linear und miteinander gekoppelt, so dass ein effizienter numerischer Algorithmus benötigt wird. Modellierung und Simulation von Polareis in der Antarktis Inlandeisflächen und Gletscher spielen für das Erdklima eine sehr wichtige Rolle. Rund 90% des irdischen Eises und damit 75% der weltweiten Süßwasserreserven sind in der bis zu 4500m dicken Eisdecke der Antarktis enthalten. Das antarktische Inlandeis ist die größte einzelne Eismasse der Erde. Fast der gesamte Kontinent ist durch das ca. 12 Millionen km2 große Eisschild der Antarktis bedeckt. Eis in natürlichen Landeismassen, wie z.B. polaren Eisflächen oder Gletschern, besteht aus Milliarden individuellen hexagonalen Eiskristallen, so genannten “ice Ih”. Diese haben typischerweise einen Durchmesser von wenigen Millimetern oder Zentimetern. Diese Größenskala steht im Kontrast zu der Größe der Masse, die üblicherweise zwischen mehreren HundertMetern bis zu Tausende von Kilometern rangiert. Es ist seit langem bekannt, dass obwohl die Verteilung der kristallographischen Achsen an der Oberfläche von Eisflächen zufällig ist und das Materialverhalten somit dort als isotrop angesehen werden kann, sich dieses Verhalten an tieferen Stellen verändert. In der Tiefe beginnen die Kristalle, sich zu verschiedenen Typen von anisotropen Gebilden mit bevorzugten kristallographischen Achsen zu entwickeln. In Kapitel 7 wird ein Computermodell für den anisotropen Eisfluss basierend auf den Felddaten der EPICA (European Project for Ice Coring in Antarctica) Eisbohrungen an der Kohnen Station vorgestellt. Die Kohnen Station ist die einzige deutsche polare Forschungsstation in der Antarktis und liegt im Dronning Maud Land. Hauptziel des EPICA an der Kohnen Station ist die Rekonstruktion des antarktischen Klimas in den letzten hunderttausend Jahren mittels Tiefeisbohrungen. Aufgrund dieser Bohrungen sind Daten über die Anisotropie des Eises sowie über den Eisfluss vorhanden. Physikalisch gesehen ist Eis ein kristalliner Festkörper, d.h. natürliches terrestrisches Eis setzt sich aus Milliarden Eiskristallen zusammen. An der Oberfläche von Eisflächen bzw. in kleinen Eismassen ist die Verteilung der kristallographischen Achsen zufällig. Das makroskopische Materialverhalten von Eis kann in diesen Fällen folglich vereinfachend als isotrop angenommen werden. Bei dicken Eisschichten verändert sich dieses Verhalten jedoch in der Tiefe, d.h. die Kristalle richten sich mit bevorzugter kristallographischer Achse aus. Diese Anisotropie bewirkt unter Last eine im Vergleich zu isotropen Oberflächeneis eine bis zu zehnfach schnellere Deformation. Daher müssen für dicke Eisschichten anisotrope Materialgesetze formuliert werden. Das zugrunde liegende Modell, das so genannte continuum-mechanical, anisotropic flow model based on an anisotropic flow enhancement factor model (kurz: CAFFE-Modell), erfüllt alle grundlegenden Prinzipien der klassischen Kontinuumsmechanik und berücksichtigt die Anisotropie des Eis. Die Gewebebildung wird mittels einer Massenbilanz, die mehrere Rekristallisationseffekte beinhaltet, modelliert. Rekristallisation ist der Abbau von Kristallgitterfehlern durch Neubildung des Gefüges. Die Polygonisierung, d.h. die Rekristallisation durch Partikelrotation, ist eine stetige dynamische Rekristallisierung und wird im CAFFE-Modell durch den Orientierungsfluss beschrieben. Letzterer wird als diffusiver Prozess modelliert. Hierbei wird eine Verallgemeinerung des so genannten Fickschen Diffusionsgesetz angesetzt. -Modellierung von Lösungsdurchdringung in Polymeren: case II Diffusion - Klassische Diffusion (“case I Diffusion”) wird üblicherweise mit Hilfe des Fickschen Gesetzes modelliert. Im Fall von glasigen Polymeren in Umgebung der Glas¨ubergangstemperatur list dies jedoch nicht möglich. Wenn eine Lösung mit niedrigem Molekulargewicht in der Nähe der Glasübergangstemperatur in ein sprödes Polymer diffundiert, durchläuft das Polymer einen Phasenwechsel von Glas zu Gummi. Dieser Diffusionsvorgang wird nach Alfrey et al. [11] als “case II Diffusion” bezeichnet. Im Gegensatz zur klassischen Diffusion ist im Fall der case II Diffusion die Massenaufnahme der Lösung durch das Polymer nicht proportional zur Wurzel aus der Zeit, sondern linear in der Zeit. Zusätzlich teilt eine scharfe Front das Polymer in zwei Regionen. Vor der Front, wo das Polymer spröde ist, ist die Konzentration der Lösung deutlich geringer als hinter der Front. Ein typisches Beispielsystem ist Polymethylmethacrylat (PMMA) und Methanol. Die Werkstoffmodellierung von Polymeren, in denen case II Diffusion stattfindet, ist insbesondere in der pharmazeutischen und der Automobilindustrie von Interesse. In der Literatur existieren viele verschiedene Modellansätze, die unterschiedliche charakteristische Merkmale der case II Diffusion beschreiben können. Es existiert zur Zeit jedoch noch kein Ansatz, der alle Eigenschaften abbilden kann. In Kapitel 8 werden bestehende Modelle besprochen, miteinander verglichen, sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. - Modellierung von nicht-klassischer Diffusion in weiteren biologischen und physikalischen Vorgängen - Neben der case II Diffusion in Polymeren existieren weitere biologische und physikalische Prozesse, in denen nicht-klassische (d.h. nicht-Ficksche) Diffusion statt findet. Einige dieser Fälle werden in Kapitel 9 genauer betrachtet. Der Fokus liegt dabei auf der Untersuchung von Wellen- und Schockausbreitungsphänomenen. Unter anderem wird ein modifiziertes SIR Modell für Epidemien betrachtet. Mit Hilfe dieses Modells kann die Seuchenausbreitung und -übertragung durch Individuen simuliert werden. Die Bevölkerungsgruppe wird in diesem Zusammenhang in potentielle Empfänger (S), Infizierte (I) und Genesende (R) unterteilt. Die Verbreitung der Krankheit wird dabei mittels eines nicht-klassischen Diffusionsgesetz modelliert

A unified computational framework for process modeling and performance modeling of multi-constituent materials

This thesis presents new theoretical and computational developments and an integrated approach for interface and interphase mechanics in the process and performance modeling of fibrous composite materials. A new class of stabilized finite element methods is developed for the coupled-field problems that arise due to curing and chemical reactions at the bi-material interfaces at the time of the manufacturing of the fiber-matrix systems. An accurate modeling of the degree of curing, because of its effects on the evolving properties of the interphase material, is critical to determining the coupled chemo-mechanical interphase stresses that influence the structural integrity of the composite and its fatigue life. A thermodynamically consistent theory of mixtures for multi-constituent materials is adopted to model curing and interphase evolution during the processing of the composites. The mixture theory model combines the composite constituent behaviors in an effective medium, thereby reducing the computational cost of modeling chemically reacting multi-constituent mixtures, while retaining information involving the kinematic and kinetic responses of the individual constituents. The effective medium and individual constituent behaviors are each constrained to mutually satisfy the balance principles of mechanics. Even though each constituent is governed by its own balance laws and constitutive equations, interactive forces between constituents that emanate from maximization of entropy production inequality provide the coupling between constituent specific balance laws and constitutive models. The mixture model is cast in a finite strain finite element framework that finds roots in the Variational Multiscale (VMS) method. The deformation of multi-constituent mixtures at the Neumann boundaries requires imposing constraint conditions such that the constituents deform in a self-consistent fashion. A set of boundary conditions is presented that accounts for the non-zero applied tractions, and a variationally consistent method is developed to enforce inter constituent constraints at Neumann boundaries in the finite deformation context. The new method finds roots in a local multiscale decomposition of the deformation map at the Neumann boundary. Locally satisfying the Lagrange multiplier field and subsequent modeling of the fine scales via edge bubble functions results in closed-form expressions for a generalized penalty tensor and a weighted numerical flux that are free from tunable parameters. The key novelty is that the consistently derived constituent coupling parameters evolve with material and geometric nonlinearity, thereby resulting in optimal enforcement of inter-constituent constraints. A class of coupled field problems for process modeling and for performance molding of fibrous composites is presented that provides insight into the theoretical models and multiscale stabilized formulations for computational modeling of multi-constituent materials

Fractional Calculus and the Future of Science

Newton foresaw the limitations of geometry’s description of planetary behavior and developed fluxions (differentials) as the new language for celestial mechanics and as the way to implement his laws of mechanics. Two hundred years later Mandelbrot introduced the notion of fractals into the scientific lexicon of geometry, dynamics, and statistics and in so doing suggested ways to see beyond the limitations of Newton’s laws. Mandelbrot’s mathematical essays suggest how fractals may lead to the understanding of turbulence, viscoelasticity, and ultimately to end of dominance of the Newton’s macroscopic world view.Fractional Calculus and the Future of Science examines the nexus of these two game-changing contributions to our scientific understanding of the world. It addresses how non-integer differential equations replace Newton’s laws to describe the many guises of complexity, most of which lay beyond Newton’s experience, and many had even eluded Mandelbrot’s powerful intuition. The book’s authors look behind the mathematics and examine what must be true about a phenomenon’s behavior to justify the replacement of an integer-order with a noninteger-order (fractional) derivative. This window into the future of specific science disciplines using the fractional calculus lens suggests how what is seen entails a difference in scientific thinking and understanding

Modeling particulate complex flows using XFEM

Particulate flows arise in a wide class of research areas and industrial processes, for example, fluidized suspensions, materials separation, rate of mixing enhancement, filled polymers, etc. In many of the applications, the fluid phase displays complex non-Newtonian flow behavior. Adding particles in a complex fluid further complicates the flow behavior. In order to study the particle motion in complex fluids such as viscoelastic fluids, a numerical analysis is an essential requirement due to inherent nonlinear behavior of the fluids. An extended finite element method (XFEM) has been developed for the direct numerical simulation of particulate complex flows. The main advantage of the method is that the movement of particles can be simulated on a fixed Eulerian mesh without any need of remeshing. The proposed method has been applied to various particulate flow problems: • Flow of a viscoelastic fluid around a stationary cylinder The method is verified by comparing the solutions with those of simulations using a boundary-fitted mesh and a fictitious domain method. Our method shows a significant improvement of local accuracy around the rigid body compared to the fictitious domain method, obtaining solutions similar to those of boundary-fitted mesh solutions. • Particle migration in circular Couette flow of a viscoelastic fluid The particle migrates to a stabilized radial position near the outer cylinder regardless of its initial position. As the fluid elasticity increases, the particle migrates more rapidly toward the outer cylinder, and the stabilized radial position of the particle shifts toward the outer cylinder. With increasing the particle size, the particle migrates more rapidly toward the outer cylinder. • Dynamics of particles suspended in two-phase flows A model for the dynamics of particles suspended in two-phase flows is presented by coupling the Cahn-Hilliard theory with the extended finite element method. To demonstrate and validate the technique, the dynamics of a single particle at a fluid-fluid interface is studied. In particular, the effects of interfacial thickness, surface tension, particle size and viscosity ratio of two fluids are investigated. As interfacial thickness increases; surface tension increases; particle size decreases; or viscosity ratio decreases, the particle moves rapidly towards its equilibrium position. The movement of a particle passing through multiple layers of fluids is also presented to demonstrate the wide applicability of the method to problems associated with complex morphology of the fluids