Etude des graphes planaires cofinis selons leurs groupes de symétries

Les graphes cofinis constituent une famille de graphes possédant un groupe de symétries non trivial, comme les graphes de Cayley ou les graphes sommet-transitifs. Lorsque ces graphes sont en plus planaires, ces symétries peuvent se traduire de manière simple grâce à des symétries du plan dans lequel les graphes sont dessinés. L’ensemble de ces symétries ou automorphismes permet alors de décrire globalement le graphe à l’aide de données géométriques locales, par des structures appelées schémas d’étiquetage. Dans cette thèse, nous étudions les groupes de symétries et décrivons les schémas d’étiquetage des graphes planaires cofinis possédant une représentation topologique simple : les graphes planaires localement finis. Nous montrons comment ces schémas permettent de caractériser le graphe et ses plongements. Cette analyse permet d’énumérer cette famille des graphes planaires cofinis, en particulier lorsqu’ils sont de Cayley ou sommet-transitifs. A partir de ces résultats, nous nous intéressons à la structure des groupes d’automorphismes de cette famille de graphes. Des problèmes de la théorie combinatoire des groupes usuellement indécidables se trouvent devenir décidables dans notre cadre : c’est le cas en particulier des problèmes du mot, simple et généralisé. Les problèmes de décidabilité de la logique permettent de classifier ces graphes en deux grandes familles, selon leur largeur arborescente et la géométrie de leur plongement. Enfin, la question de l’extension de cette description à une famille de graphes plus généraux est étudiée. La classification de ces graphes en terme de bouts et de points d’accumulation dans les plongements permet d’obtenir des informations sur la forme que peuvent prendre les plongements des graphes planaires cofinis non localement finis. Nous discutons alors des difficultés d’extension de la méthode “localement finie” au cas général.The cofinite graphs represent a family of graphs possessing a non-trivial group of symmetries, such as the Cayley graphs and the vertex-transitive graphs. When such graphs are planar, these symmetries correspond merely to symmetries of the plan in which the graphs are embedded. This set of symmetries – or, more precisely, automorphisms – can provide a global description of the graph from local data, by means of structures called labeling schemes. In this thesis, we study the groups of symmetries and describe the labeling schemes of the planar cofinite graphs possessing a simple topological representation : the planar locally finite graphs. We prove how a labeling scheme allows to characterize the graph and its embeddings. This analysis allows the enumeration of this family of the planar cofinite graphs, in particular when they are vertex-transitive or Cayley graphs. With these results, it is possible to analyze the structure of the groups of automorphisms of this family of graphs. There exist problems of the combinatorial group theory unsolvable in general that become solvable within this framework. That is the case in particular of the simple and generalized word problems. Problems of decidability of logics allow for the classification of these graphs into two families, depending on their treewidth and the geometry of ther embedding. Finally, we raise the question of the extension to the more general family of the cofinite planar graphs. The classification of these graphs in terms of number of ends and of accumulation points in their embeddings provides information on the structure of the embeddings of these more general graphs. We discuss the problems raised by the extension of the “locally finite” method to the general case

Coloriage du plan discret par jeux de tuiles déterministes

In this thesis, we study some properties of the sets of tilings generated by Wang tilesets that exhibit one or more directions of local determinism, focusing in particular on tilesets that are simultaneously deterministic in the four diagonal directions, referred to as 4-way deterministic. After having exposed an alternative construction of a 4-way deterministic aperiodic tileset, we study several decision problems on these objects and complete in particular Lukkarila’s result of undecidability of the Domino Problem in the 4-way deterministic setting proving the undecidability of the 4-way deterministic periodic Domino Problem. We also prove that some complex families of colorings of the plane such that those generated by substitutions remain sofic in the 4-way deterministic setting. We propose a bi-determinization of the constructions by Durand, Romashchenko and Shen of fixed-point tilesets and give some first applications. Finally, we investigate the idea of extending the radius of the local rule of determinism in order to reduce the set of directions of expansiveness and thus allow the local realization of non-trivial particles and collisions systems. We introduce a new and convenient syntactic model to deal with radius two and revisit some of Lukkarila’s problems in this setting.Nous étudions dans ce mémoire les propriétés des ensembles de pavages engendrés par des jeux de tuiles de Wang exhibant une ou plusieurs directions de déterminisme local, en accordant une importance toute particulière aux jeux déterministes dans les quatre directions diagonales simultanément, dits 4-way déterministes. Après avoir proposé une construction alternative d’un jeu de tuiles apériodique 4-way déterministe, nous étudions plusieurs problèmes de décision sur ces objets et complétons en particulier le résultat d’indécidabilité du problème du pavage dans le cadre 4-way déterministe établi par Lukkarila en montrant l’indécidabilité du problème du pavage périodique 4-way déterministe. Nous montrons également que des familles complexes de coloriages du plan telles que celles engendrées par les substitutions restent sofiques dans un cadre 4-way déterministe. Nous proposons une bi-déterminisation des constructions de jeux de tuiles point-fixe de Durand, Romashchenko et Shen et en tirons quelques premières applications. Enfin, nous considérons l’opportunité d’élargir le rayon de la règle locale de déterminisme afin de limiter les directions d’expansivité et ainsi de permettre la construction localement déterministe de systèmes de particules et collisions non triviaux. Nous introduisons un nouveau modèle syntaxique commode afin de travailler à rayon deux et revisitons des problématiques de Lukkarila dans ce cadre

Modélisation procédurale de mondes virtuels par pavage d'occultation

Demonstration videos can be found on fr.linkedin.com/in/doriangomez/Cette thèse porte sur la modélisation procédurale de mondes virtuels étendus dans le domaine de l’informatique graphique. Nous proposons d’exploiter les propriétés de visibilité entre régions élémentaires de la scène, que nous appelons tuiles, pour contrôler sa construction par pavage rectangulaire. Deux objectifs distincts sont visés par nos travaux : (1) fournir aux infographistes un moyen efficace pour générer du contenu 3D pour ces scènes virtuelles de très grande taille, et (2) garantir, dès la création du monde, des performances de rendu et de visualisation efficace. Pour cela, nous proposons plusieurs méthodes de détermination de la visibilité en 2D et en 3D. Ces méthodes permettent l’évaluation d’ensembles potentiellement visibles (PVS) en temps interactif ou en temps réel. Elles sont basées sur les calculs de lignes séparatrices et de lignes de support des objets, mais aussi sur l’organisation hiérarchique des objets associés aux tuiles. La première technique (2D) garantit l’occultation complète du champ visuel à partir d’une distance fixe, spécifiée par le concepteur de la scène, depuis n’importe quel endroit sur le pavage. La seconde permet d’estimer et de localiser les tuiles où se propage la visibilité, et de construire le monde en conséquence. Afin de pouvoir générer des mondes variés, nous présentons ensuite l’extension de cette dernière méthode à la 3D. Enfin, nous proposons deux méthodes d’optimisation du placement des objets sur les tuiles permettant d’améliorer leurs propriétés d’occultation et leurs impacts sur les performances de rendu tout en conservant l’atmosphère créée par l’infographiste par ses choix de placement initiaux.This thesis deals with procedural modeling applied to extended worlds for computer graphics.We study visibility applied to tiling patterns, aiming at two distinct objectives : (1) providing artists with efficient tools to generate 3D content for very extended virtual scenes, and (2) guaranteeing that this content improves performance of subsequent renderings, during its construction. We propose several methods for 2D and 3D visibility determination, in order to achieve interactive or real-time evaluation of potentially visible sets (PVS). They are based on the concepts of separating and supporting lines/planes, as well as objects hierarchies over tiles. Our first 2D method guarantees full occlusion of the visual field (view frustum) beyond a fixed distance, regardless of the observer’s location on a tiling. The second method enables fast estimation and localization of visible tiles, and builds up a virtual world accordingly. We also extend this method to 3D. Finally, we present two methods to optimize objects locations on tiles, and show how to improve rendering performance for scenes generated on the fly

Surprenante beauté des mathématiques

Dans cet article, nous dissertons sur le côté esthétique des mathématiques. Selon nous, la beauté des mathématiques apparaît souvent au travers de raisonnements lumineux mais surprenants. Nous illustrons ce point au moyen de trois exemples concrets, simples et empruntés au mathématicien russe Lazebnik