Improving the robustness of the control volume finite element method with application to multiphase porous media flow

Control volume finite element methods (CVFEMs) have been proposed to simulate flow in heterogeneous porous media because they are better able to capture complex geometries using unstructured meshes. However, producing good quality meshes in such models is nontrivial and may sometimes be impossible, especially when all or parts of the domains have very large aspect ratio. A novel CVFEM is proposed here that uses a control volume representation for pressure and yields significant improvements in the quality of the pressure matrix. The method is initially evaluated and then applied to a series of test cases using unstructured (triangular/tetrahedral) meshes, and numerical results are in good agreement with semianalytically obtained solutions. The convergence of the pressure matrix is then studied using complex, heterogeneous example problems. The results demonstrate that the new formulation yields a pressure matrix than can be solved efficiently even on highly distorted, tetrahedral meshes in models of heterogeneous porous media with large permeability contrasts. The new approach allows effective application of CVFEM in such models

Métodos multimalla geométricos en mallas semi-estructuradas de Vorono

En este proyecto se presenta un metodo de discretización de ecuaciones en derivadas parciales en mallas triangulares semi-estructuradas usando volumenes finítos y como punto representativo el punto de Voronoi. La posterior discretización se resualve usando metodos multimalla semi-estructurados y se presentan un conjunto de nuevos suavizadores asi como un algoritmo de Galerkin de tipo RAP para cuando las condiciones no son homogeneas en toda la superficie. Finalmente se muestran un conjunto de ejemplo numéricos para demostrar los resultados obtenidos

A Constrained Resampling Strategy for Mesh Improvement

In many geometry processing applications, it is required to improve an initial mesh in terms of multiple quality objectives. Despite the availability of several mesh generation algorithms with provable guarantees, such generated meshes may only satisfy a subset of the objectives. The conflicting nature of such objectives makes it challenging to establish similar guarantees for each combination, e.g., angle bounds and vertex count. In this paper, we describe a versatile strategy for mesh improvement by interpreting quality objectives as spatial constraints on resampling and develop a toolbox of local operators to improve the mesh while preserving desirable properties. Our strategy judiciously combines smoothing and transformation techniques allowing increased flexibility to practically achieve multiple objectives simultaneously.  We apply our strategy to both planar and surface meshes demonstrating how to simplify Delaunay meshes while preserving element quality, eliminate all obtuse angles in a complex mesh, and maximize the shortest edge length in a Voronoi tessellation far better than the state-of-the-art

Semi-Structured multigrid methods on Voronoi meshes to the resolution of the Darcy-Oberbeck-Boussinesq model

La mayoría de los problemas en física e ingeniería se modelan mediante ecuaciones en derivadas parciales. Como mayores exponentes de este hecho tenemos las ecuaciones de Maxwell, el problema elástico o las ecuaciones de Navier-Stokes. La resolucíon de las ecuaciones en derivadas parciales se basa en el uso de métodos numéricos que están basados en un proceso de discretización. Lo cual, conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones algebraicas cuya resolución puede llegar a ser muy costosa. Por tanto, desarrollar métodos eficientes repercute en la posibilidad de realizar más ensayos con un menor costo de recursos. Hay dos grandes grupos de resolución de estos sistemas de ecuaciones, uno serian los métodos basados en el método del gradiente conjugado, y el otro los métodos multimalla. Es importante remarcar, que los métodos multimalla se pueden usar como precondicionadores de los métodos de gradiente conjugado. Esta tesis, se va a centrar en los métodos multimalla. Los métodos multimalla, son conocidos por ser muy rápidos resolviendo problemas de tipo parabólico y elíptico. Dentro de los métodos multimalla, nos encontramos dos familias. Los métodos geométricos son especialmente rápidos y tienen un bajo consumo de memoria, pero tienen la limitación de que el dominio debe ser regular y la malla estructurada, lo que limita su aplicación. Por otra parte, tenemos los métodos algebraicos, los cuales son mas lentos y requieren más memoria pero se pueden aplicar a dominios de cualquier complejidad. Una alternativa que pretende obtener lo mejor de ambos métodos es el uso de métodos geométricos en mallas semi-estructuradas. Estos consisten en crear una malla inicial no estructurada que se adapte a la geometría del dominio para posteriormente, refinar regularmente esta malla inicial hasta alcanzar la precisión deseada. De esta manera, obtenemos una malla que se adapta al dominio, y dentro de esta malla, dominios estructurados donde podemos aplicar métodos multimalla geométricos. Se han realizado estudios con mallas rectangulares y con triangulares, estas ultimas con nodos en los vértices. Generalmente, las mallas utilizadas para triangular un dominio son las mallas de Delaunay porque se construyen muy rápidamente y además, tienden a dar una triangulación con pocos triángulos puntiagudos y muchos triángulos acutángulos. La malla dual de Delaunay es conocida como malla de Voronoi. La línea que une los vértices de Voronoi es perpendicular a la triangulación de Delaunay. Por tanto, su uso para discretizar ecuaciones en derivadas parciales es muy interesante, ya que para discretizar las derivadas en la dirección normal basta con un cociente de diferencias. Utilizaremos triángulos acutángulos, por lo que el punto de Voronoi siempre estará dentro del triángulo. Pero su posición cambia en función de la forma del triángulo, lo cual, puede dar lugar a grandes anisotropías debidas al mallado y no al problema. Uno de los componentes más importantes de los métodos multimalla es el suavizador. El estudio de suavizadores para mallas centradas en celdas es escaso y nulo para mallas semi-estructuradas. Por tanto, el estudio de nuevos suavizadores es uno de nuestros objetivos. Para ello, deberemos estudiar la complejidad del problema y diseñar nuevos suavizadores que sean capaces de tratar con esta anisotropía inducida por la malla. A la vez que desarrollamos el método multimalla genérico, nos centraremos en la resolución del modelo Darcy-Oberbeck-Boussinesq. Este modelo tiene a su vez un sistema de ecuaciones de tipo mixto con incógnitas de presión y de velocidad. Por tanto, deberemos extender lo estudiado para resolver este sistema. Localizaremos las proyecciones de la velocidad en los lados de los triángulos. En este punto tenemos dos opciones, el uso de suavizadores de tipo Vanka, dentro del cual deberemos resolver cada vez un sistema de ecuaciones de tipo punto silla, o de tipo distributivo. Como no podemos saber de antemano cual sería mas eficiente, deberemos analizar ambos. El modelo Darcy-Oberbeck-Boussinesq, es un modelo que se utiliza para calcular el comportamiento de flujos en medios porosos saturados, los cuales son movidos por diferencias de densidad dentro del fluido. Este modelo puede ser utilizado en el problema de almacenaje de CO2 en acuíferos salinos. Notemos que la velocidad y la concentración están acopladas, haciendo que el problema sea altamente no lineal. De hecho, al poco tiempo del comienzo del proceso se crean inestabilidades difícilmente modelizables que exigen pasos de tiempo muy pequeños

Entwicklung kontinuumskompatibler Federmodelle

Die numerische Simulation des Versagensverhaltens von Werkstoffen ist eine Problemstellung, die bis heute noch nicht vollständig gelöst ist. Neben den klassischen Kontinuumsmodellierungen wie den erweiterten Finiten Elementen werden hierfür oftmals diskrete Modelle verwendet. Diese bieten den Vorteil, dass das diskrete Phänomen des Risses durch einfaches Entfernen von diskreten Elementen modelliert werden kann, wohingegen Kontinuumsmethoden eine kontinuierliche Beschreibung des Verschiebungsfelds in der Nähe der Rissspitze erfordern. Die Zuverlässigkeit bestehender diskreter Modelle ist jedoch durch signifikante Probleme in ihrer Modellierung stark eingeschränkt. So können sie bislang in der Regel homogene, klassische Kontinua nur unter Beschränkung auf isotrope Materialien bestimmter Querkontraktionszahlen abbilden. Zudem kann die Homogenität des diskreten Modells nur gewährleistet werden, indem periodische Rechengitter verwendet oder Kontinuumselemente wie Finite Elemente in das Modell eingebaut werden. Auch plastisches Verhalten - insbesondere die reine deviatorische Natur des plastischen Fließens - kann in diesen Modellen nicht abgebildet werden. In dieser Arbeit wird ein neues, kontinuumskompatibles Federmodell für zwei- und dreidimensionale quasistatische Anwendungen entwickelt, das diesen Beschränkungen nicht unterworfen ist. Hierzu werden neue Federzellen eingeführt, die mithilfe einer Kombination aus Normalkraft- und Winkelfedern einen beliebigen konstanten Dehnungszustand bei einem homogenen Material abbilden können. Es wird gezeigt, dass dieses Modell somit in der Lage ist, für Netze aus Simplex-Zellen beliebiger Geometrie ein beliebiges homogenes Material mit anisotropen Elastizitätseigenschaften im linear-elastischen Fall zu approximieren. Sie verhalten sich damit im linear-elastischen Fall so wie die linearen Dreiecks- und Tetraederelemente, die aus der Methode der Finiten Elemente bekannt sind. In der Folge wird das zweidimensionale Federmodell um eine Modellierung für elasto-plastisches Materialverhalten mit isotroper Verfestigung erweitert und dargelegt, wie auch andere Plastizitätsformulierungen in das Federmodell integriert werden können. Bei dieser Plastizitätsmodellierung werden mithilfe des dehnungsbasierten Ansatzes der Kontinuumsplastizität die plastischen Änderungen der Federn berechnet. Es wird demonstriert, dass das entwickelte Modell - erstmals für ein diskretes Modell - in der Lage ist, auch die Volumenerhaltung der plastischen Verformung exakt abzubilden. Zusätzlich wird auf den Effekt der Lokalisierung der plastischen Dehnung in Scherbändern eingegangen. Abschließend wird eine Formulierung für die Simulation von Rissen für dieses Modell vorgestellt. Analog zu diskreten Modellen aus der Literatur werden dabei sowohl dehnungsbasierte Bruchkriterien für die Federn verwendet, die die Lage der Federn berücksichtigen, als auch solche, die unabhängig von der Orientierung der Federn sind. Es kann dabei gezeigt werden, dass dieses Rissmodell im Stande ist, in Versuchen ermittelte Risspfade zu reproduzieren, sofern ein geeignetes Bruchkriterium für die Federn gewählt wird. Auch der duktile Bruch kann mit diesem Ansatz bei Nutzung der entwickelten Plastizitätsformulierung approximiert werden. Das neu entwickelte Modell ist damit in der Lage, die erwähnten Nachteile der aus der Literatur bekannten diskreten Federmodelle zu beheben, während es zugleich in der Risssimulation, für die solche Modelle regelmäßig verwendet werden, die Pfade des Risswachstums zuverlässig vorhersagen kann.One of the major problems which are yet to be solved by means of modern numerical simulations is the simulation of the fracture process of materials. To achieve this end, both simulation techniques describing the material as a continuous system and techniques using a discrete approach are used. The advantage of the latter is the fact that in these models a crack is simply formed by removal of a discrete element, whereas the former needs a description of the displacement field in the vicinity of the crack. However, discrete models currently described in literature show severe problems. The most pressing problem is that they cannot be used for modelling arbitrary homogeneous materials in computations with aperiodic meshes. While some models are able to model some homogeneous materials, they are still limited in their choice of the material parameters. In specific, these models allow only the use of isotropic materials with a fixed Poisson's ratio. An additional problem of these models is that nonlinear phenomena of the continuous material such as plasticity cannot be modelled at all without violating constraints posed by the observation of these phenomena. For example, in the case of plastic deformation the strict deviatoric nature of the plastic flow cannot be enforced upon existing discrete models. This means that such models are so far not suitable for the fracture simulation of materials with a non-negligible plastic flow before fracture. In this work, a new discrete lattice spring model for two- and three-dimensional quasi-static applications is proposed. With this model, which is comprised of normal springs and angular springs arranged in triangular and tetrahedral cells, an arbitrary homogenous material can be approximated. Within the limits of a linear-elastic analysis, this approximation is exact for every constant strain field within each cell. It thus has in this case the same properties as constant strain triangles and constant strain tetrahedrons known from the Finite Element Method. Following the introduction of this new lattice spring model, a method of modelling elasto-plastic behaviour in this model is proposed. Using a strain-driven plasticity model, both perfect plasticity and plasticity with hardening and softening can be reproduced with this approach. By mapping the continuum plastic flow resulting from this approach to the lattice springs, the discrete nature of the model is maintained. In addition, the compliance with the deviatoric nature of the plastic flow in this approach is proven and localisation phenomena occurring in this model are discussed. Finally, the fracture modelling within the context of the proposed model is discussed. Following literature, strain-driven fracture criteria are chosen for the model. These are applied both in a directional, that is along the axes of the springs, and in a rotationally invariant version. As is shown in simulations, the right choice of the fracture criterion leads to the development of crack paths during simulations, which closely follow those observed in experiments. This is the case for both brittle fracture and ductile fracture when using the proposed plasticity formulation. It is thus justified to conclude that the proposed model can be used to solve the aforementioned problems of the discrete models in literature whilst their main advantage, that is the ability to predict crack paths with simple fracture models, is being retained