On Computing Multilinear Polynomials Using Multi-r-ic Depth Four Circuits

International audienceIn this paper, we are interested in understanding the complexity of computing multilinear polynomials using depth four circuits in which polynomial computed at every node has a bound on the individual degree of r (referred to as multi-r-ic circuits). The goal of this study is to make progress towards proving superpolynomial lower bounds for general depth four circuits computing multilinear polynomials, by proving better and better bounds as the value of r increases. Recently, Kayal, Saha and Tavenas (Theory of Computing, 2018) showed that any depth four arithmetic circuit of bounded individual degree r computing a multilinear polynomial on n^O(1) variables and degree d = o(n), must have size at least (n/r^1.1)^{\sqrt{d/r}} when r is o(d) and is strictly less than n^1/1.1. This bound however deteriorates with increasing r. It is a natural question to ask if we can prove a bound that does not deteriorate with increasing r or a bound that holds for a larger regime of r. We here prove a lower bound which does not deteriorate with r , however for a specific instance of d = d (n) but for a wider range of r. Formally, we show that there exists an explicit polynomial on n^{O(1)} variables and degree Θ(log^2(n)) such that any depth four circuit of bounded individual degree r < n^0.2 must have size at least exp(Ω (log^2 n)). This improvement is obtained by suitably adapting the complexity measure of Kayal et al. (Theory of Computing, 2018). This adaptation of the measure is inspired by the complexity measure used by Kayal et al. (SIAM J. Computing, 2017)

Grundlagen für die formale Spezifikation modularer zustandsbasierter Systeme

Diese Arbeit stellt Konzepte vor, die im Kontext zustands- oder objektbasierter Systeme die gemeinsame Behandlung von Implementierungssprachen und Spezifikationssprachen gestatten. Sie befaßt sich zum einen mit der formalen Definition einer Programmiersprache und zum anderen mit dem Entwurf einer Spezifikationssprache, die auf die Programmiersprache ausgerichtet ist. Abhängigkeiten zwischen diesen beiden Aspekten werden herausgearbeitet. Die Definition beider Sprachen erfolgt auf einem eigenständigen Berechnungsmodell, einer formal definierten abstrakten Maschine, zur Modellierung des Verhaltens von Objekten. Erweiterungen des Berechnungsmodells, die Rekursion, Verschachtelung von Programmeinheiten oder Typfragen betreffen, werden vorgestellt. Zur Spezifikation zustandsbasierter Systeme wird dynamische Logik, eine Erweiterung einer Prädikatenlogik erster Stufe, die Zustände explizit macht, eingesetzt. Mit Hilfe der dynamischen Logik kann das Verhalten von Objekten abstrakt beschrieben werden. Ein Beweissystem für die Logik wird definiert, mit dem auch die Verifikation einer Implementierung bezüglich einer Spezifikation möglich ist. Hierzu wird ein Korrektheitsbegriff definiert, der durch das Beweissystem operationalisiert wird. Zur Beschreibung von modularen Software-Systemen werden formale Parametrisierungs- und Schnittstellenkonzepte erarbeitet. Eine Reihe von Relationen wird definiert, die es ermöglichen, verschiedene Beziehungen zwischen Systemkomponenten zu modellieren. Horizontale und vertikale Entwicklung wird betrachtet

Astrophysikalische Staubbildung unter fluktuierenden Temperaturbedingungen

Nukleation und Wachstum von Staub ist astrophysikalisch insbesondere in den stellaren Winden von kühlen Riesen und Überriesen anzutreffen. In den vorliegenden Modellen für die circumstellaren Staubhüllen von AGB-Sternen bleibt bislang der Umstand weitgehend unberücksichtigt, daß Sternatmosphären turbulente physikalische Systeme sind. Ziel der Arbeit ist es daher, die Effekte von irregulären Schwankungen der Temperatur, die entscheidenden Einfluß auf die Vorgänge bei Staubbildung und Staubwachstum / -verdampfung hat, prototypartig zu untersuchen. Die für eine statistische Beschreibung der Staubbildung unter dem Einfluß solcher Temperaturfluktuationen verfolgte mathematische Zugangsweise einer Formulierung der Physik in stochastischen Prozessen soll dabei gleichzeitig die Verbindung leisten zwischen der physikalischen Problemsituation, für die keine befriedigende Turbulenztheorie vorliegt, und den in der Mathematik vorhandenen leistungsfähigen stochastischen Methoden. Unter der Annahme der Markov-Eigenschaft des betrachteten stochastischen Prozesses läßt sich ein System von Fokker-Planck-Gleichungen herleiten, als dessen Lösung sich die Wahrscheinlichkeit ergibt, zu einem gegebenen Zeitpunkt bestimmte Werte der Temperatur und der Staubbildung anzutreffen. Für eine konkrete Formulierung dieses Gleichungssystems wird die Übergangswahrscheinlichkeit des Markov-Prozesses physikalisch begründet angesetzt. Unter der Annahme einer Separierbarkeit der Übergangswahrscheinlichkeit aufgrund des Vernachlässigens der Rückwirkung der Staubbildung auf die Ursachen der Fluktuationen wird einerseits die Temperaturkomponente durch Lösung einer die Fluktuation statistisch beschreibenden stochastischen Differentialgleichung als Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß bestimmt; andererseits ergibt sich die Prozeßkomponente der Staubentwicklung mithilfe des deterministischen Systems der Momentengleichungen (Gail, Sedlmayr) für Staubbildung. Bei geeigneten Anfangs- und Randbedingungen wird das Problem bei Vorgabe von Windmodellen einer numerischen Behandlung zugeführt. Die Lösungen liefern für die Erwartungswerte als Ergebnis neben detaillierten Abhängigkeiten von den unterschiedlichen Parametern insbesondere: (a) Bedingt durch die Temperaturfluktuationen setzt die effektive Bildung von Staub deutlich früher, 'turbulenzgetrieben' im stellaren Wind ein. (b) Der Bereich der Sternatmosphäre, innerhalb dessen sich Staubbildung und -wachstum vollziehen, ist bei zunehmender Fluktuation deutlich ausgedehnter als im nicht-stochastischen Fall. Innerhalb dieser 'fluktuations-geprägten' Zone hängt der Verlauf der Lösungen von der Größe der Temperaturstandardabweichung ebenso ab wie von der Korrelationslänge; insbesondere entstehen rasch große Körner, deren weiteres Wachstum dann von den spezifischen Turbulenzbedingungen abhängt. (c) Während der makroturbulente Grenzfall in ein quasideterministisches Verhalten übergeht, prägen sich im Falle der Mikroturbulenz die charakteristischen Fluktuationseffekte in Abhängigkeit von der Temperaturstreuung voll aus. Aufgrund dieser Effekte ist es für zukünftige Forschungsschritt

Zur kategoriellen Beschreibung von Schichtenarchitekturen

Es wird ein kategorieller Modellierungsansatz für Schichtenarchitekturen vorgestellt. Das Modell gliedert sich in ein graphbasiertes statisches Modell, das die Konfiguration der Komponenten und Konnektoren beschreibt, und ein dynamisches Modell, in dem die Berechnung von Aufrufen zur Laufzeit untersucht wird. Das Verhalten einer Komponente wird als Morphismus in einer lextensiven Kategorie beschrieben. Untersuchungen zu Terminierungsfragen und Verhaltensähnlichkeit sowie ein formaler Ansatz für Modelltransformationen schließen sich an

Eine Methode zur Lösung beliebiger bosonischer und fermionischer Vielteilchensysteme

In der vorliegenden Arbeit werden mehrere Klassen quantenmechanischer Vielteilchensysteme im Formalismus der zweiten Quantisierung aus dem Blickpunkt von Symmetrien sowohl numerisch als auch analytisch untersucht. Um die numerischen Berechnungen durchführen zu können, wurde ein Computerprogramm mit Namen "ArbModel" mit den entsprechenden Fähigkeiten entwickelt. Hierbei wurde großen Wert auf Allgemeinheit gelegt, so dass Hamiltonians zu einer sehr großen Anzahl unterschiedlichster Modelle aufgestellt und diagonalisiert werden können. Alle Ideen, die für die Programmierung eines derartigen Programms notwendig sind, wurden erklärt und in dem numerischen Code verwirklicht. Mit diesem Programm zur Verfügung wurden Vielteilchensysteme, welche lediglich aus identischen Teilchen bestehen, im Allgemeinen untersucht. Es wurden allgemeine Bedingungen für das Vorhandensein einer dynamischen Symmetrie hergeleitet. Bedingungen für die schwächere Forderung nach der Erhaltung der sog. Senioritätsquantenzahl wurden ebenfalls im Detail untersucht. Obwohl derartige Untersuchungen in der Vergangenheit bereits stattgefunden haben, konnten neue Fälle gefunden und neue Bedingungen aufgestellt werden. Als überraschendes Ergebnis wurden Beispiele entdeckt, für welche die Seniorität im Allgemeinen gebrochen, für ein paar spezifische Zustände jedoch erhalten ist. Diese Zustände sind lösbar und entsprechende Formeln für ihre Anregungsenergien wurden angegeben. Alle analytischen Ergebnisse wurden mit "ArbModel" überprüft. Als weitere Anwendungen für den numerischen Code wurden die Vorhersagen einer sehr neuen Theorie, welche Quantenphasenübergänge mit sog. Verzweigungspunkten in Verbindung bringt, verifiziert. Hierfür wurde das sd-Interacting-Boson-Model 1 (sd-IBM1) mit einer sehr hohen Teilchenzahl verwendet. Außerdem wurde eine bestimmte dynamische Symmetrie des Interacting-Boson-Fermion-Models untersucht. Verzweigungsregeln für diese Bose-Fermi-Symmetrie wurden aufgestellt, sowie Auswahlregeln für M1-Übergänge abgeleitet. Auch hier verifiziert der numerische Code alle analytischen Ergebnisse. Da "ArbModel" alle analytischen Ergebnisse dieser Arbeit reproduziert, wurde somit auch der Beweis für Korrektheit dieses Programms gegeben