Induktive Statistik: Formeln, Aufgaben, Klausurtraining

--

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung: eine Einführung für Wirtschaftswissenschaftler

Das Lehrbuch ist als Vorlesungs­begleit­text zu einem einsemestrigen Modul 'Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung' für Studierende Wirtschaftswissenschaftliche Bachelor-Studiengänge an der Universität Leipzig konzipiert. Der Text beinhaltet eine Einführung in die Deskriptive Statistik, die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Induktive Statistik. Darüber hinaus werden einige ausgewählte Aspekte thematisiert, die über den üblichen Inhalt einer Anfänger-Vorlesung hinaus­gehen, und interessierten Studierenden als Brücke zu Fortgeschrittenen-Kursen, insbesondere im Bereich Ökonometrie, dienen sollen.:1. Grundbegriffe der Statistik 1.1 Statistik und Wirtschaftswissenschaften 1.1.1 Bedeutung des Begriffs Statistik 1.1.2 Statistik als Hilfswissenschaft in den einzelnen ökonomischen Disziplinen 1.2 Statistische Daten und ihre Erhebung 1.2.1 Statistische Einheiten, statistische Massen und Merkmale 1.2.2 Daten, Merkmalsvariablen, Skalen 1.2.2.1 Klassifikationen von Variablen 1.2.2.2 Variablentransformationen 1.2.3 Aspekte der Datengewinnung 1.2.4 Klassifikation von Datensätzen 2. Deskription univariater Datensätze 2.1 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen 2.1.1 Häufigkeitsverteilungen bei diskreten Variablen (unklassierte Häufigkeitsverteilungen) 2.1.2 Klassierte Häufigkeitsverteilungen bei stetigen und quasistetigen Variablen 2.1.3 Empirische Verteilungsfunktion 2.1.4 Stem and Leaf Display 2.1.5 Typische Häufigkeitsverteilungen 2.2 Lagemaße 2.2.1 Modus 2.2.2 Median und weitere Quantile 2.2.3 Mittelwerte 2.2.3.1 Arithmetischer Mittelwert 2.2.3.2 Geometrischer und harmonischer Mittelwert 2.2.4 Weitere Eigenschaften der Lagemaße 2.2.4.1 Lagemaße und Transformationen 2.2.4.2 Ausreißer und Robustheit 2.2.4.3 Asymmetrische Verteilungen 2.3 Streuungsmaße 2.3.1 Spannweite und Quartilsabstand 2.3.2 Mittlere Abstände (mittlere absolute Abweichungen) 2.3.3 Varianz und Standardabweichung 2.3.4 Zusammenfassung (Aggregation) von statistischen Reihen 2.3.5 Streuungsmaße und Lineartransformationen 2.3.6 Relative Streuungsmaße (Variationskoeffizient) 2.4 Momente und Schiefemaße 2.4.1 Empirische Momente 2.4.2 Schiefemaße 2.5 Box-Plots und Vergleiche von Datensätzen 2.6 Konzentrationsmessung 2.6.1 Aufgabenstellungen der Konzentrationsmessung 2.6.2 Maße der relativen Konzentration 2.6.2.1 Lorenzkurve 2.6.2.2 Gini-Koeffizient 2.6.2.3 Variationskoeffizient 2.6.2.4 Kritik an den relativen Konzentrationsmaßen 2.6.3 Maße der absoluten Konzentration 2.6.3.1 Konzentrationsverhältnis und Konzentrationskurve 2.6.3.2 Herfindahl- und Rosenbluth-Koeffizient 3. Deskription bivariater Datensätze 3.1 Bivariate Häufigkeitsverteilungen und Randverteilungen 3.2 Bedingte Verteilungen 3.3 Maßzahlen für bivariate Verteilungen (Korrelationsrechnung) 3.3.1 Kovarianz und Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient 3.3.2 Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman 3.3.3 Kontingenzkoeffizient nach Pearson 3.3.4 Lineartransformationen und Linearkombinationen zweier Variablen 4 Mess- und Indexzahlen 4.1 Messzahlen und Änderungsraten 4.2 Indexzahlen 4.2.1 Preisindizes 4.2.2 Mengenindizes 4.2.3 Wertindex 4.2.4 Gesamtindex und Teilindizes 4.2.5 Neubasierung, Umbasierung und Verkettung 5 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 5.1 Wahrscheinlichkeit 5.1.1 Zufallsvorgang, Ergebnis, Ereignis 5.1.2 Ereignisfeld 5.1.3 Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsraum 5.2 Wahrscheinlichkeitskonzeptionen 5.2.1 Gleichmöglichkeitsmodell von Laplace 5.2.2 Statistische Wahrscheinlichkeit 5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 5.3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit 5.3.2 Theorem von Bayes 5.3.3 Unabhängigkeit von Ereignissen 6 Eindimensionale Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 6.1 Zufallsvariable 6.2 Messbarkeit, Induziertes W-Maß 6.3 Verteilungsfunktion 6.4 Arten von Zufallsvariablen 6.5 Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 6.5.1 Mittelwert und Varianz 6.5.2 Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 6.5.3 Quantile 6.5.4 Lineartransformationen von Zufallsvariablen 7 Mehrdimensionale Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.1 Zufallsvektor und gemeinsame Verteilungsfunktion 7.2 Diskrete und stetige Zufallsvektoren 7.3 Randverteilungen von Zufallsvektoren und unabhängige Zufallsvariablen 7.4 Momente eines Zufallsvektors 7.5 Bedingte Verteilungen 7.6 Linearkombinationen mehrerer Zufallsvariablen 8 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungsmodelle 8.1 Diskrete Verteilungsmodelle 8.1.1 Binomialverteilung 8.1.2 Poisson-Verteilung 8.1.3 Geometrische Verteilung 8.1.4 Hypergeometrische Verteilung 8.2 Stetige Verteilungsmodelle 8.2.1 Exponentialverteilung 8.2.2 Normalverteilung oder Gauss-Verteilung 8.2.2.1 Definition und Eigenschaften der Normalverteilung 8.2.2.2 Bedeutung der Normalverteilung 8.2.2.3 Verteilungsfunktion 8.2.2.4 Quantile und zentrale Schwankungsintervalle 8.2.2.5 Zentraler Grenzwertsatz 8.2.3 Multivariate Normalverteilung 8.2.4 Stichprobenverteilungen 8.2.5 Exkurs: Zwei nützliche Beweishilfsmittel 8.2.5.1 Ungleichung von Tschebyscheff 8.2.5.2 Momenterzeugende Funktion 8.3 Tabellarische Übersicht einiger Verteilungsmodelle 9 Einfache Zufallsstichproben, Stichprobenfunktionen und Gesetze der großen Zahlen 9.1 Einfache Zufallsstichproben 9.2 Stichprobenfunktionen und Gesetze der großen Zahlen 10 Schätzen der Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 10.1 Punktschätzung 10.1.1 Kriterien für die Wahl einer Schätzfunktion 10.1.2 Rao-Cramér-Ungleichung 10.1.3 Gewinnung von Schätzfunktionen 10.1.3.1 Methode der Momente 10.1.3.2 Maximum-Likelihood-Methode 10.2 Intervallschätzung 10.2.1 Konfidenzintervalle für die Parameter einer Normalverteilung 10.2.1.1 Konfidenzintervall für den Mittelwert 10.2.1.2 Konfidenzintervall für die Varianz 10.2.2 Approximative Konfidenzintervalle für den Mittelwert nicht normalverteilter, insbesondere dichotomer Grundgesamtheiten 10.2.3 Anmerkungen zur Wahl des Konfidenzniveaus und zur Planung von Stichprobenerhebungen 11 Testen von Hypothesen 11.1 Parametertests 11.1.1 Grundaufbau eines Parametertests 11.1.2 Tests über die Parameter normalverteilter Grundgesamtheiten 11.1.2.1 Tests über den Mittelwert bei bekannter Varianz (Gauss-Test) 11.1.2.2 Tests über den Mittelwert bei unbekannter Varianz (t-Test) 11.1.2.3 Tests über die Varianz (Chi-Quadrat-Streuungstest) 11.1.3 Approximative Tests über den Mittelwert nicht normalverteilter, insbesondere dichotomer Grundgesamtheiten (approximative Gauss-Tests) 11.1.4 Kenngrößenvergleiche auf der Basis zweier unabhängiger Stichproben 11.1.4.1 Mittelwertvergleiche bei normalverteilten Grundgesamtheiten (Zwei-Stichproben- t-Test, Welch-Test) 11.1.4.2 Varianzvergleich bei normalverteilten Grundgesamtheiten (Zwei-Stichproben-F-Test) 11.1.4.3 Approximative Mittelwertvergleiche bei beliebig verteilten Grundgesamtheiten (approximative Zwei-Stichproben-Gauss-Tests) 11.1.5 Mittelwertvergleich auf der Basis zweier verbundener Stichproben 11.1.6 Gütefunktionen von Parametertests 11.2 Anpassungstests 11.2.1 Chi-Quadrat-Anpassungstest 11.2.2 Q-Q-Plot 12 Regressionsanalyse (Lineare Einfachregression) 12.1 Deskriptive Regression 12.1.1 Anpassung der Regressionsgeraden mittels Kleinste-Quadrate-(KQ)-Methode 12.1.2 Eigenschaften der empirischen Regressionsgeraden 12.1.3 Streuungszerlegung und Bestimmtheitsmaß 12.1.4 Lineare Regression in Matrixform 12.1.5 Nichtlineare Zusammenhänge 12.2 Das (klassische) lineare Regressionsmodell 12.2.1 Kleinste-Quadrate-Schätzung der Modellparameter 12.2.2 Konfidenzintervalle und Tests 12.2.3 Punkt- und Intervallprognosen 12.2.4 Theoretische Hintergründe 12.2.5 Ausblick: Lineare Mehrfachregression Literaturverzeichni

Oszillierende Ornstein-Uhlenbeck Prozesse und Modellierung von Elektrizitätspreisen

Diese Arbeit beschäftigt sich mit sogenannten oszillierenden Ornstein-Uhlenbeck Prozessen. Diese neuartigen, stationären Prozesse gehören zu der Klasse "zeitstetiger Moving-Average Prozesse". Die Eigenschaften der Prozesse motivieren uns zur Konstruktion eines neuen Spotpreismodells für Elektrizitätspreise. So treten in den Preiskurven der Strombörsen sehr hohe oder niedrige Preise oft nur sehr kurz auf. Die schnelle Rückkehr zu einem durchschnittlichen Niveau wird als "mean reverting-Effekt" bezeichnet. Bei Elektrizitätspreisen tritt dieser Effekt insofern auf, dass die Preise schnell zu einem oszillierenden, saisonalen Trend zurückkehren. In der bisherigen Fachliteratur werden die Preisdaten daher vor der stochastischen Modellierung durch eine deterministische Trend-Funktion bereinigt. Ein Ziel der Konstruktion eines neues Modell ist es, dem Problem der eindeutigen Identi fizierbarkeit dieser Trend-Funktion zu begegnen und auf die Verwendung einer solchen zu verzichten. Die Dynamiken von oszillierenden Ornstein-Uhlenbeck Prozessen zeigen, dass sich der gewünschte "mean-reverting-Effekt" modellieren lässt. So zeigt sich, dass der Trend eines klassischen Ornstein-Uhlenbeck Prozesses wie gewünscht durch einen zufälligen, oszillierender Prozess ersetzt wird. Aber auch das periodische, abklingende Verhalten der Abhängigkeitsstruktur der Spotpreise in Form der empirischen Autokorrelationsfunktion kann durch die analytische Autokorrelationsfunktion des Modells reproduziert werden. Ferner können die Prozesse dazu genutzt werden, Sprünge in den Preiskurven zu modellieren. Am Ende des Abschnitt zeigt sich, dass sich für zwei mögliche Derivate eine explizite Preisformel zur Bewertung auf Basis des Modells herleiten lässt. Im zweiten Teil der Arbeit richtet sich der Blick auf die statistische Kalibrierung oszillierender Ornstein-Uhlenbeck Prozesse. Zur Konstruktion von Schätzern für die Parameter wird die sogenannte Momentenmethode vorgeschlagen. Um die Konsistenz der resultierenden Schätzer zu gewährleisten, wird die Ergodizität der Prozesse gezeigt. Die asymptotische Normalität der Schätzer ergibt sich noch nicht aus den zentralen Grenzwertsätzen von Cohen und Lindner (2014). Dies motiviert uns zum Beweis einer Verallgemeinerung, welche für zeitstetige Moving Average und insbesondere oszillierende Ornstein-Uhlenbeck Prozesse genutzt werden kann. Im letzten Teil der Arbeit approximieren wir auf Grundlage von Beobachtungen der Prozesse den sogenannten "treibenden Lévy-Prozess". Hierzu stehen unterschiedliche Beobachtungssituationen im Fokus. Wir untersuchen jeweils einen Schätzer für den Erwartungswert des Lévy-Prozesses. Es stellt sich heraus, dass dieser erwartungstreu, stark konsistent und asymptotisch normal ist. Unter hochfrequenten Beobachtungen gelingt es darüber hinaus, eine Approximation des Lévy-Prozesses zu gewinnen, die in einem gewissen Sinne gegen den tatsächlichen Lévy-Prozess konvergiert, wenn das Beobachtungsintervall vergrößert und die Beobachtungsabst ände verfeinert werden. Auf Grundlage des Resultats lässt sich zeigen, dass auch die empirische Varianz der Approximationen einen schwach konsistenten Schätzer für die Varianz des Lévy-Prozesses darstellt. Abschließend zeigt eine Simulationsstudie, dass die konstruierten Schätzer in unterschiedlichen Situationen sehr gute Ergebnisse liefern

Über die Grundzustandsdichte relativistischer Coulomb-Systeme

Diese Dissertation widmet sich den Eigenschaften von Grundzuständen großer, relativistischer Coulomb-Systeme. Ein Beispiel für ein solches System ist ein neutrales Atom. Diese können durch relativistische Vielteilchen-Hamilton-Operatoren beschrieben werden, wie zum Beispiel den Chandrasekhar- oder projizierten Coulomb-Dirac-Operatoren. Atome mit hoher Kernladungszahl weisen zwei besonders interessante Längenskalen auf, die Thomas-Fermi- und die Scott-Längenskala. Auf Ersterer befindet sich der Großteil der Elektronen, die zur führenden Ordnung der Grundzustandsenergie im Grenzwert großer Teilchenzahlen beitragen. Elektronen, die sich auf der Scott-Skala befinden, sind sehr nahe am Kern lokalisiert und verursachen Quantenkorrekturen der Grundzustandsenergie. Wegen des Heisenbergschen Unschärfeprinzips muss davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit dieser Elektronen ein wesentlicher Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ist und die Quantenkorrekturen daher zusätzlich relativistisch korrigiert werden. Das Ziel dieser Arbeit ist das Studium der Einteilchendichte eines Grundzustands auf diesen beiden Längenskalen im Grenzwert großer Teilchenzahlen. Auf der Thomas-Fermi-Längenskala zeigen wir, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands gegen die wasserstoffartige Thomas-Fermi-Dichte konvergiert. Wir zeigen zuerst schwache Konvergenz in den semiklassischen $L^p$-R\"aumen für den Chandrasekhar- und den Brown--Ravenhall-Operator. In einer gemeinsamen Arbeit mit Heinz Siedentop [125] beweisen wir außerdem die Konvergenz der Dichte in der Coulomb-Norm für den Chandrasekhar-, den Brown-Ravenhall- und den Furry-Operator. Diese Ergebnisse zeigen, dass sich der Hauptteil der Elektronen eines relativistisch beschriebenen Atoms dennoch nicht-relativistisch verhält. Auf der Scott-Skala beweisen wir, basierend auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank, Heinz Siedentop und Barry Simon, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands des Chandrasekhar-Operators schwach gegen die Summe der Quadrate der Eigenfunktionen des entsprechenden Einteilchen-Wasserstoff-Operators konvergiert. Die Konvergenz gilt sowohl für die gesamte Dichte als auch in jedem festen Drehimpulskanal. Die Klasse der erlaubten Test-Funktionen, für die diese Konvergenzen gelten, beinhaltet kompakt getragene Funktionen, die integrierbar oder durch ein Vielfaches des Coulomb-Potentials beschränkt sind. Dies bestätigt die von Lieb [115] geäußerte, sogenannte starke Scott-Vermutung für relativistische Coulomb-Systeme und zeigt insbesondere, dass kernnahe Elektronen relativistische Korrekturen erzeugen. Als Nebenprodukt erhalten wir außerdem eine punktweise obere Schranke an die relativistische Wasserstoff-Dichte, welche im Einklang mit dem asymptotischen Verhalten der nicht-relativistischen Wasserstoff-Dichte für große Abstände zum Kern steht. Im Anschluß illustrieren wir, wie diese Ergebnisse auf den Furry-Operator verallgemeinert werden können. Ein wichtiges Werkzeug für den Beweis der starken Scott-Vermutung basiert auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank und Heinz Siedentop [66]. Wir betrachten den fraktionalen Laplace-Operator mit Hardy-Potential und kritischer oder subkritischer Kopplungskonstante. Es wird gezeigt, dass die $L^2$-Normen, die durch Potenzen dieses Operators erzeugt werden, zu den $L^2$-Normen, die durch Potenzen des fraktionalen Laplace-Operators erzeugt werden, äquivalent sind. Darüberhinaus erhalten wir verallgemeinerte und umgekehrte Hardy-Ungleichungen. Eine Verallgemeinerung auf $L^p$ ist m\"oglich, wenn ein Mikhlin-Multiplikator-Satz für den verallgemeinerten Hardy-Operator bewiesen werden kann, was bisher nur für positive Kopplungskonstanten gelungen ist. Dies ist eine Verallgemeinerung des Ergebnisses für den gewöhnlichen, nicht-fraktionalen Hardy-Operator von Killip u. a. [102].This dissertation is dedicated to the study of properties of large relativistic Coulomb systems, a neutral atom being one particular example. Such systems can be described by relativistic many-particle quantum Hamiltonians such as the Chandrasekhar or projected Coulomb-Dirac operators. Heavy atoms possess two very interesting length scales, namely the Thomas-Fermi and the Scott length scale. The bulk of the electrons contributing to the leading order of the ground state energy in the limit of large particle numbers is located on the former length scale and is described semiclassically. Electrons on the Scott length scale are localized very close to the nucleus and generate quantum corrections to the ground state energy. By Heisenberg's uncertainty principle, the innermost electrons' velocities are a substantial fraction of the velocity of light. Consequently, a relativistic description is mandatory. The aim of this thesis is to give new insights on properties of the one-particle ground state density on these two length scales in the limit of large particle numbers. Our first result shows that the rescaled one-particle density of a ground state on the Thomas--Fermi length scale converges to the hydrogenic Thomas-Fermi density. We show that the density converges weakly in the semiclassical $L^p$ spaces for the Chandrasekhar and the Brown-Ravenhall operator. Moreover, based on a joint work with Heinz Siedentop [125], we prove that the density also converges in Coulomb norm for the Chandrasekhar, the Brown-Ravenhall, and the Furry operator. These results show that the bulk of the electrons in a relativistically described system in fact still behaves non-relativistically. Based on a joint work with Rupert L. Frank, Heinz Siedentop, and Barry Simon, we prove that the rescaled one-particle density of a ground state of the Chandrasekhar operator on the Scott length scale converges weakly to the sum of the squares of the eigenfunctions of the corresponding one-particle operator. In particular, we show convergence in each fixed angular momentum channel and convergence of the total density. The class of test functions for which this weak convergence holds contains in particular compactly supported functions that are integrable or bounded by a multiple of the Coulomb potential. This proves Lieb's so-called strong Scott conjecture [115] for relativistic Coulomb systems and shows in particular that relativistic effects occur close to the nucleus. As a byproduct we obtain a pointwise upper bound on the relativistic hydrogenic density which is in accordance with the asymptotic behavior of the non-relativistic hydrogenic density for large distances to the nucleus. Afterwards, we generalize these results to the Furry operator. One crucial tool for the proof of the strong Scott conjecture is established in a joint work with Rupert L. Frank and Heinz Siedentop [66]. We consider the fractional Laplace operator with Hardy potential and critical or subcritical coupling constant. We show that the $L^2$ norms that are generated by powers of this operator are equivalent to the norms generated by powers of the fractional Laplacian. Moreover, we derive generalized and reversed Hardy inequalities for this generalized Hardy operator. A generalization of these results to $L^p$ is possible if a Mikhlin multiplier theorem associated to this operator can be proven. So far, this was only feasible if the coupling constant is positive. This is a generalization of the result concerning the ordinary, non-fractional Hardy operator, obtained by Killip et al [102]

Über die Grundzustandsdichte relativistischer Coulomb-Systeme

Diese Dissertation widmet sich den Eigenschaften von Grundzuständen großer, relativistischer Coulomb-Systeme. Ein Beispiel für ein solches System ist ein neutrales Atom. Diese können durch relativistische Vielteilchen-Hamilton-Operatoren beschrieben werden, wie zum Beispiel den Chandrasekhar- oder projizierten Coulomb-Dirac-Operatoren. Atome mit hoher Kernladungszahl weisen zwei besonders interessante Längenskalen auf, die Thomas-Fermi- und die Scott-Längenskala. Auf Ersterer befindet sich der Großteil der Elektronen, die zur führenden Ordnung der Grundzustandsenergie im Grenzwert großer Teilchenzahlen beitragen. Elektronen, die sich auf der Scott-Skala befinden, sind sehr nahe am Kern lokalisiert und verursachen Quantenkorrekturen der Grundzustandsenergie. Wegen des Heisenbergschen Unschärfeprinzips muss davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit dieser Elektronen ein wesentlicher Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ist und die Quantenkorrekturen daher zusätzlich relativistisch korrigiert werden. Das Ziel dieser Arbeit ist das Studium der Einteilchendichte eines Grundzustands auf diesen beiden Längenskalen im Grenzwert großer Teilchenzahlen. Auf der Thomas-Fermi-Längenskala zeigen wir, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands gegen die wasserstoffartige Thomas-Fermi-Dichte konvergiert. Wir zeigen zuerst schwache Konvergenz in den semiklassischen $L^p$-R\"aumen für den Chandrasekhar- und den Brown--Ravenhall-Operator. In einer gemeinsamen Arbeit mit Heinz Siedentop [125] beweisen wir außerdem die Konvergenz der Dichte in der Coulomb-Norm für den Chandrasekhar-, den Brown-Ravenhall- und den Furry-Operator. Diese Ergebnisse zeigen, dass sich der Hauptteil der Elektronen eines relativistisch beschriebenen Atoms dennoch nicht-relativistisch verhält. Auf der Scott-Skala beweisen wir, basierend auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank, Heinz Siedentop und Barry Simon, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands des Chandrasekhar-Operators schwach gegen die Summe der Quadrate der Eigenfunktionen des entsprechenden Einteilchen-Wasserstoff-Operators konvergiert. Die Konvergenz gilt sowohl für die gesamte Dichte als auch in jedem festen Drehimpulskanal. Die Klasse der erlaubten Test-Funktionen, für die diese Konvergenzen gelten, beinhaltet kompakt getragene Funktionen, die integrierbar oder durch ein Vielfaches des Coulomb-Potentials beschränkt sind. Dies bestätigt die von Lieb [115] geäußerte, sogenannte starke Scott-Vermutung für relativistische Coulomb-Systeme und zeigt insbesondere, dass kernnahe Elektronen relativistische Korrekturen erzeugen. Als Nebenprodukt erhalten wir außerdem eine punktweise obere Schranke an die relativistische Wasserstoff-Dichte, welche im Einklang mit dem asymptotischen Verhalten der nicht-relativistischen Wasserstoff-Dichte für große Abstände zum Kern steht. Im Anschluß illustrieren wir, wie diese Ergebnisse auf den Furry-Operator verallgemeinert werden können. Ein wichtiges Werkzeug für den Beweis der starken Scott-Vermutung basiert auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank und Heinz Siedentop [66]. Wir betrachten den fraktionalen Laplace-Operator mit Hardy-Potential und kritischer oder subkritischer Kopplungskonstante. Es wird gezeigt, dass die $L^2$-Normen, die durch Potenzen dieses Operators erzeugt werden, zu den $L^2$-Normen, die durch Potenzen des fraktionalen Laplace-Operators erzeugt werden, äquivalent sind. Darüberhinaus erhalten wir verallgemeinerte und umgekehrte Hardy-Ungleichungen. Eine Verallgemeinerung auf $L^p$ ist m\"oglich, wenn ein Mikhlin-Multiplikator-Satz für den verallgemeinerten Hardy-Operator bewiesen werden kann, was bisher nur für positive Kopplungskonstanten gelungen ist. Dies ist eine Verallgemeinerung des Ergebnisses für den gewöhnlichen, nicht-fraktionalen Hardy-Operator von Killip u. a. [102].This dissertation is dedicated to the study of properties of large relativistic Coulomb systems, a neutral atom being one particular example. Such systems can be described by relativistic many-particle quantum Hamiltonians such as the Chandrasekhar or projected Coulomb-Dirac operators. Heavy atoms possess two very interesting length scales, namely the Thomas-Fermi and the Scott length scale. The bulk of the electrons contributing to the leading order of the ground state energy in the limit of large particle numbers is located on the former length scale and is described semiclassically. Electrons on the Scott length scale are localized very close to the nucleus and generate quantum corrections to the ground state energy. By Heisenberg's uncertainty principle, the innermost electrons' velocities are a substantial fraction of the velocity of light. Consequently, a relativistic description is mandatory. The aim of this thesis is to give new insights on properties of the one-particle ground state density on these two length scales in the limit of large particle numbers. Our first result shows that the rescaled one-particle density of a ground state on the Thomas--Fermi length scale converges to the hydrogenic Thomas-Fermi density. We show that the density converges weakly in the semiclassical $L^p$ spaces for the Chandrasekhar and the Brown-Ravenhall operator. Moreover, based on a joint work with Heinz Siedentop [125], we prove that the density also converges in Coulomb norm for the Chandrasekhar, the Brown-Ravenhall, and the Furry operator. These results show that the bulk of the electrons in a relativistically described system in fact still behaves non-relativistically. Based on a joint work with Rupert L. Frank, Heinz Siedentop, and Barry Simon, we prove that the rescaled one-particle density of a ground state of the Chandrasekhar operator on the Scott length scale converges weakly to the sum of the squares of the eigenfunctions of the corresponding one-particle operator. In particular, we show convergence in each fixed angular momentum channel and convergence of the total density. The class of test functions for which this weak convergence holds contains in particular compactly supported functions that are integrable or bounded by a multiple of the Coulomb potential. This proves Lieb's so-called strong Scott conjecture [115] for relativistic Coulomb systems and shows in particular that relativistic effects occur close to the nucleus. As a byproduct we obtain a pointwise upper bound on the relativistic hydrogenic density which is in accordance with the asymptotic behavior of the non-relativistic hydrogenic density for large distances to the nucleus. Afterwards, we generalize these results to the Furry operator. One crucial tool for the proof of the strong Scott conjecture is established in a joint work with Rupert L. Frank and Heinz Siedentop [66]. We consider the fractional Laplace operator with Hardy potential and critical or subcritical coupling constant. We show that the $L^2$ norms that are generated by powers of this operator are equivalent to the norms generated by powers of the fractional Laplacian. Moreover, we derive generalized and reversed Hardy inequalities for this generalized Hardy operator. A generalization of these results to $L^p$ is possible if a Mikhlin multiplier theorem associated to this operator can be proven. So far, this was only feasible if the coupling constant is positive. This is a generalization of the result concerning the ordinary, non-fractional Hardy operator, obtained by Killip et al [102]

Theorie und Methodik der Statistik

Das vorliegende Skript ist aus dem Lehrveranstaltungszyklus Theorie und Methodik der Statistik hervorgegangen, den ich an der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der TU Dresden im Hauptstudium der Diplomstudiengänge und in den Masterstudiengängen gehalten habe. Es gibt 16 ältere Auflagen, die während mehr als 15 Jahren kontinuierlich überarbeitet, erweitert und korrigiert wurden. Für Hinweise auf Fehler und für Erweiterungs- und Verbesserungsvorschläge danke ich mehreren Studenten und allen Mitarbeitern, die in dieser Zeit am Lehrstuhl für Quantitative Verfahren, insbesondere Statistik beschäftigt waren. Die 30 Kapitel verteilen sich auf die fünf Teile Grundlagen, Schätzen und Testen, Korrelation und Regression, Stochastische Prozesse und Multivariate Verfahren, die jeweils Grundlage einer Lehrveranstaltung waren. Viele Kapitel haben einen abschließenden Abschnitt "Weiterführendes" mit zusätzlichem und ergänzendem Material, das in der Vorlesung nicht behandelt wurde, sowie zusätzlichen Eräauterungen, Beispielen und Anmerkungen. Zur verwendeten Notation und zu mathematischen Grundlagen siehe Anhang A