Towards the Integration of an Intuitionistic First-Order Prover into Coq

An efficient intuitionistic first-order prover integrated into Coq is useful to replay proofs found by external automated theorem provers. We propose a two-phase approach: An intuitionistic prover generates a certificate based on the matrix characterization of intuitionistic first-order logic; the certificate is then translated into a sequent-style proof.Comment: In Proceedings HaTT 2016, arXiv:1606.0542

A Rewrite System for Proof Constructivization

International audienceProof constructivization is the problem of automatically extracting constructive proofs out of classical proofs. This process is required when classical theorem provers are integrated in intuitionistic proof assistants. We use the ability of rewrite systems to represent partial functions to implement heuristics for proof constructivization in Dedukti, a logical framework based on rewriting in which proofs are first-class objects which can be the subject of computation. We benchmark these heuristics on the proofs output by the automated theorem prover Zenon on the TPTP library of problems

On the logical complexity of cyclic arithmetic

We study the logical complexity of proofs in cyclic arithmetic ($\mathsf{CA}$), as introduced in Simpson '17, in terms of quantifier alternations of formulae occurring. Writing $C\Sigma_n$ for (the logical consequences of) cyclic proofs containing only $\Sigma_n$ formulae, our main result is that $I\Sigma_{n+1}$ and $C\Sigma_n$ prove the same $\Pi_{n+1}$ theorems, for all $n\geq 0$. Furthermore, due to the 'uniformity' of our method, we also show that $\mathsf{CA}$ and Peano Arithmetic ($\mathsf{PA}$) proofs of the same theorem differ only exponentially in size. The inclusion $I\Sigma_{n+1} \subseteq C\Sigma_n$ is obtained by proof theoretic techniques, relying on normal forms and structural manipulations of $\mathsf{PA}$ proofs. It improves upon the natural result that $I\Sigma_n$ is contained in $C\Sigma_n$. The converse inclusion, $C\Sigma_n \subseteq I\Sigma_{n+1}$, is obtained by calibrating the approach of Simpson '17 with recent results on the reverse mathematics of B\"uchi's theorem in Ko{\l}odziejczyk, Michalewski, Pradic & Skrzypczak '16 (KMPS'16), and specialising to the case of cyclic proofs. These results improve upon the bounds on proof complexity and logical complexity implicit in Simpson '17 and also an alternative approach due to Berardi & Tatsuta '17. The uniformity of our method also allows us to recover a metamathematical account of fragments of $\mathsf{CA}$; in particular we show that, for $n\geq 0$, the consistency of $C\Sigma_n$ is provable in $I\Sigma_{n+2}$ but not $I\Sigma_{n+1}$. As a result, we show that certain versions of McNaughton's theorem (the determinisation of $\omega$-word automata) are not provable in $\mathsf{RCA}_0$, partially resolving an open problem from KMPS '16

Proof-theoretic Semantics for Intuitionistic Multiplicative Linear Logic

This work is the first exploration of proof-theoretic semantics for a substructural logic. It focuses on the base-extension semantics (B-eS) for intuitionistic multiplicative linear logic (IMLL). The starting point is a review of Sandqvist’s B-eS for intuitionistic propositional logic (IPL), for which we propose an alternative treatment of conjunction that takes the form of the generalized elimination rule for the connective. The resulting semantics is shown to be sound and complete. This motivates our main contribution, a B-eS for IMLL , in which the definitions of the logical constants all take the form of their elimination rule and for which soundness and completeness are established

Sur l'analyse statique des requêtes SPARQL avec la logique modale

Static analysis is a core task in query optimization and knowledge base verification. We study static analysis techniques for SPARQL, the standard language for querying Semantic Web data. Specifically, we investigate the query containment problem and the query-update independence analysis. We are interested in developing techniques through reductions to the validity problem in logic.We address SPARQL query containment with optional matching. We focus on the class of well-designed SPARQL queries, proposed in the literature as a fragment of the language with good properties regarding query evaluation. SPARQL is interpreted over graphs, hence we encode it in a graph logic, specifically the modal logic K interpreted over label transition systems. We show that this logic is powerful enough to deal with query containment for the well-designed fragment of SPARQL. We show how to translate RDF graphs into transition systems and SPARQL queries into K-formulae. Therefore, query containment in SPARQL can be reduced to unsatisfiability in K.We also report on a preliminary overview of the SPARQL query-update problem. A query is independent of an update when the execution of the update does not affect the result of the query. Determining independence is especially useful in the contest of huge RDF repositories, where it permits to avoid expensive yet useless re-evaluation of queries. While this problem has been intensively studied for fragments of relational calculus, no works exist for the standard query language for the semantic web. We report on our investigations on how a notion of independence can be defined in the SPARQL contextL’analyse statique est une tâche essentielle dans l’optimisation des requêtes et la vérification de la base de graphes RDF. Nous étudions des techniques d’analyse statique pour SPARQL, le langage standard pour l’interrogation des données du Web sémantique. Plus précisément, nous étudions le problème d’inclusion des requêtes et de l’analyse de l’indépendance entre les requêtes et la mise à jour de la base de graphes RDF.Nous sommes intéressés par le développement de techniques grâce à des réductions au problème de la satisfaisabilité de la logique.Nous nous traitons le problème d’inclusion des requêtes SPARQL en présence de l’opérateur OPTIONAL. L’optionalité est l’un des constructeurs les plus compliqués dans SPARQL et aussi celui qui rend ce langage plus expressif que les langages de requêtes classiques, comme SQL.Nous nous concentrons sur la classe de requêtes appelée "well-designed SPARQL", proposées dans la littérature comme un fragment du langage avec de bonnes propriétés en matière d’évaluation des requêtes incluent l’opération OPTIONAL. À ce jour, l’inclusion de requête a été testée à l’aide de différentes techniques: homomorphisme de graphes, bases de données canoniques, techniques de la théorie des automates et réduction au problème de la validité d’une logique. Dans cette thèse, nous utilisons la dernière technique pour tester l’inclusion des requêtes SPARQL avec OPTIONAL utilisant une logique expressive appelée «logique K». En utilisant cette technique, il est possible de régler le problème d’inclusion des requêtes pour plusieurs fragment de SPARQL, même en présence de schémas. Cette extensibilité n’est pas garantie par les autres méthodes.Nous montrons comment traduire a graphe RDF en un système de transitions, ainsi que une requête SPARQL en une formula K. Avec ces traductions, l’inclusion des requêtes dans SPARQL peut être réduite au test de la validité d’une formule logique. Un avantage de cette approche est d’ouvrir la voie pour des implémentations utilisant solveurs de satisfiabilité pour K.Nous présentons un banc d’essais de tests d’inclusion pour les requêtes SPARQL avec OPTIONAL. Nous avons effectué des expériences pour tester et comparer des solveurs d’inclusion de l’état de l’art.Nous présentons également un aperçu préliminaire du problème d’indépendance entre requête et mise à jour. Une requête est indépendante de la mise à jour lorsque l’exécution de la mise à jour ne modifie pas le résultat de la requête. Bien que ce problème ait été intensivement étudié pour des fragments de calcul relationnel, il n’existe pas de travaux pour le langage de requêtes standard pour le web sémantique. Nous proposons une définition de la notion de l’indépendance dans le contexte de SPARQL et nous établissons des premières pistes de analyse statique dans certains situations d’inclusion entre une requête et une mise à jour

Automated Deduction – CADE 28

This open access book constitutes the proceeding of the 28th International Conference on Automated Deduction, CADE 28, held virtually in July 2021. The 29 full papers and 7 system descriptions presented together with 2 invited papers were carefully reviewed and selected from 76 submissions. CADE is the major forum for the presentation of research in all aspects of automated deduction, including foundations, applications, implementations, and practical experience. The papers are organized in the following topics: Logical foundations; theory and principles; implementation and application; ATP and AI; and system descriptions