Characteristic formulas over intermediate logics

We expand the notion of characteristic formula to infinite finitely presentable subdirectly irreducible algebras. We prove that there is a continuum of varieties of Heyting algebras containing infinite finitely presentable subdirectly irreducible algebras. Moreover, we prove that there is a continuum of intermediate logics that can be axiomatized by characteristic formulas of infinite algebras while they are not axiomatizable by standard Jankov formulas. We give the examples of intermediate logics that are not axiomatizable by characteristic formulas of infinite algebras. Also, using the Goedel-McKinsey-Tarski translation we extend these results to the varieties of interior algebras and normal extensions of S

Degrees of the finite model property: the antidichotomy theorem

A classic result in modal logic, known as the Blok Dichotomy Theorem, states that the degree of incompleteness of a normal extension of the basic modal logic $\sf K$ is $1$ or $2^{\aleph_0}$. It is a long-standing open problem whether Blok Dichotomy holds for normal extensions of other prominent modal logics (such as $\sf S4$ or $\sf K4$) or for extensions of the intuitionistic propositional calculus $\mathsf{IPC}$. In this paper, we introduce the notion of the degree of finite model property (fmp), which is a natural variation of the degree of incompleteness. It is a consequence of Blok Dichotomy Theorem that the degree of fmp of a normal extension of $\sf K$ remains $1$ or $2^{\aleph_0}$. In contrast, our main result establishes the following Antidichotomy Theorem for the degree of fmp for extensions of $\mathsf{IPC}$: each nonzero cardinal $\kappa$ such that $\kappa \leq \aleph_0$ or $\kappa = 2^{\aleph_0}$ is realized as the degree of fmp of some extension of $\mathsf{IPC}$. We then use the Blok-Esakia theorem to establish the same Antidichotomy Theorem for normal extensions of $\sf S4$ and $\sf K4$

Decidability of admissibility:On a problem by friedman and its solution by rybakov

Rybakov (1984) proved that the admissible rules of IPC are decidable. We give a proof of the same theorem, using the same core idea, but couched in the many notions that have been developed in the mean time. In particular, we illustrate how the argument can be interpreted as using refinements of the notions of exactness and extendibility

Free Heyting algebra endomorphisms: Ruitenburg’s Theorem and beyond

Ruitenburg\u2019s Theorem says that every endomorphism f of a finitely generated free Heyting algebra is ulti- mately periodic if f fixes all the generators but one. More precisely, there is N 65 0 such that f^N+2 = f^N , thus the period equals 2. We give a semantic proof of this theorem, using duality techniques and bounded bisimulation ranks. By the same techniques, we tackle investigation of arbitrary endomorphisms of free algebras. We show that they are not, in general, ultimately periodic. Yet, when they are (e.g. in the case of locally finite subvarieties), the period can be explicitly bounded as function of the cardinality of the set of generators

Finitely generated free Heyting algebras via Birkhoff duality and coalgebra

Algebras axiomatized entirely by rank 1 axioms are algebras for a functor and thus the free algebras can be obtained by a direct limit process. Dually, the final coalgebras can be obtained by an inverse limit process. In order to explore the limits of this method we look at Heyting algebras which have mixed rank 0-1 axiomatizations. We will see that Heyting algebras are special in that they are almost rank 1 axiomatized and can be handled by a slight variant of the rank 1 coalgebraic methods

Die Komplexität der Formelauswertung in intuitionistischen Logiken

Der Intuitionismus ist eine Denkweise, die auf Intuition und Konstruktivismus basiert. Mathematisch gesehen werden hier nur konstruktive Beweise anerkannt und der Begriff der Wahrheit wird durch "beweisbar" ersetzt. Die intuitionistische Logik greift diesen Gedanken in der Form auf, dass das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten nicht gültig ist. Eine Aussage "A oder nicht A" gilt nur dann als wahr, wenn entweder A oder das Gegenteil von A bewiesen werden kann. Für die intuitionistische Aussagenlogik gibt es eine Semantik, die jener der Modallogik sehr ähnlich ist. In diesem Sinne kann man sie auch als spezielle Modallogik auffassen. Wir beschäftigen uns in dieser Arbeit im Wesentlichen mit der Formelauswertung in intuitionistischen Logiken und untersuchen ihre Komplexität. Dabei betrachten wir Fragmente, die durch verschiedene Einschränkungen entstehen. Auf der semantischen Seite beschränken wir die zugelassenen Modelle. Auf der syntaktischen Seite kann man die Zahl der Variablen einschränken oder nur bestimmte Operatoren zulassen. Unsere ersten Ergebnisse beziehen sich auf Logiken, bei denen es nur endlich viele paarweise nicht äquivalente Formeln gibt. Hier zeigen wir, dass das Formelauswertungsproblem, das Erfüllbarkeitsproblem und das Tautologieproblem sehr einfach zu lösen sind. Weiter betrachten wir die Logik, bei der nur eine Variable zugelassen ist. Für diese Logik zeigen wir, dass die Formelauswertung AC1-vollständig ist. Dies ermöglicht eine neue Sicht auf die Klasse AC1, da es das erste vollständige natürliche Problem für diese Klasse ist. Außerdem untersuchen wir, für welche Logiken das Formelauswertungsproblem die maximale Komplexität erreicht. Hier geht es insbesondere um die genaue Abgrenzung - also um die Frage, welche Freiheitsgrade man in einer Logik mindestens braucht, damit die Formelauswertung derart komplex ist. Am Ende betrachten wir noch einige Modallogiken, die Begleiter von intuitionistischen Logiken sind