Hydrodynamische Lyapunov-Moden in mehrkomponentigen Lennard-Jones-Flüssigkeiten

Die Charakterisierung hochdimensionaler Systeme mit Lyapunov-Instabilität wird durch das Lyapunov-Spektrum und die zugehörigen Lyapunov-Vektoren ermöglicht. Für eine Vielzahl von derartigen Systemen (Coupled-Map-Lattices, Hartkugel-Systeme, Systeme mit ausgedehnten Potentialen ...) konnte durch die Untersuchung der Lyapunov-Vektoren die Existenz von hydrodynamischen Lyapunov-Moden nachgewiesen werden. Diese kollektiven Anregungen zeigen sich in Lyapunov-Vektoren, deren Lyapunov-Exponenten dem Betrage nach am kleinsten sind. Da Lyapunov-Exponenten charakteristische Zeitskalen innerhalb der Systeme repräsentieren, ist durch die Lyapunov-Moden eine Untersuchung des Langzeitverhaltens möglich. In dieser Arbeit werden die hydrodynamischen Lyapunov-Moden durch Molekulardynamiksimulationen von mehrkomponentigen Lennard-Jones-Flüssigkeiten untersucht. Die Charakterisierung der Lyapunov-Moden zeigt im weiteren eine Ähnlichkeit zu Dispersionsrelationen von Phononen

Zur Numerik nichtlinearer dynamischer Systeme: Teil 1: Gleichgewichtslösungen

Der Beitrag stellt die wesentlichen Algorithmen vor, die der Berechnung und Analyse von Gleichgewichtslösungen nichtlinearer dynamischer Systeme – beschrieben durch gewöhnliche Differenzialgleichungen – dienen. Schwerpunkt sind dabei parameterabhängige Systeme, für die praktikable Fortsetzungsmethoden eingeführt werden. Schließlich werden auftretende Bifurkationen klassifiziert und Verfahren zu deren Detektierung vorgestellt. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben dienen dabei der besseren Veranschaulichung abstrakter Sachverhalte.MSC 2010: 37M20 ; 65P30 ; 65P40 ; 65H1

Krylov-subspace based model reduction for simulation of machine tools

Die vorliegende Arbeit hat die Reduktion von Strukturmodellen, wie sie bei der Simulation von Werkzeugmaschinen zum Einsatz kommt, zum Thema. Dabei steht die Entwicklung neuer mathematischer Reduktionsverfahren, die auf Krylov-Unterräumen basieren im Fokus der Arbeit. Daneben wird auch die Bedeutung der Modellreduktion als wichtiges Hilfsmittel zur Gewährleistung einer effizienten Simulation im Gesamtentwicklungsprozess von Werkzeugmaschinen dargestellt. Für die Reduktion von Strukturmodellen werden bislang vorwiegend die sogenannten modalen Verfahren verwendet. Die mit diesen Verfahren reduzierten Modelle können im statischen Bereich einen erheblichen Fehler aufweisen. In der vorliegenden Arbeit werden neue Reduktionsverfahren, die auf der Grundlage mathematischer Methoden zur Modellreduktion aufbauen und eine Automatisierung des Modellreduktionsprozesses ermöglichen, entwickelt und validiert. Die neu entwickelten Verfahren basieren dabei auf einer angepassten iterativen und adaptiven Auswahl der für die mathematischen Reduktionsmethoden benötigten Parameter. Zudem basieren diese Verfahren auf globale Krylov-Unterräume und der Verwendung der globalen Arnoldi-Methode, die sich durch eine hohe Effizienz bei der Berechnung der Reduktion von Systemen mit mehreren Ein- und Ausgängen auszeichnet. Mit Hilfe einer geeigneten Methode zur Abschätzung des Approximationsfehlers des reduzierten Systems erlauben die neu entwickelten Verfahren eine automatische Modellreduktion ohne Benutzerinteraktion während des Reduktionsprozesses.The subject of the present work is the reduction of structural models, as used in the simulation of machine tools. The focus of the work is the development of new mathematical reduction procedures, based on Krylov-subspaces and distinguished by a feasible automation. In addition, however, the model reduction as an important tool for an efficient simulation in the overall development process of machine tools is presented. For the reduction of structure models usually the so-called modal method based on the solution of a eigenvalue problem is used. Reduced models obtained with the modal method can have considerable errors in the static area. In this work new reduction procedures, based on mathematical reduction methods, for automated reduction of finite element models are developed and validated. The new procedures are based on a adapted approach to choose optimal parameter for the mathematical reduction methods. Moreover the new procedures are based on global Krylov-subspaces and the global Arnoldi-method, characterized by high efficiency in the calculation of the reduction of systems with multiple inputs and outputs. By using a suitable method for estimation of the approximation error, a automated reduction process with any user interaction is suggested

Iterationsverfahren und Operatorgleichungen in der Elastizitätstheorie

In dieser Arbeit werden zwei Prinzipien zur Aufstellung von Iterationsverfahren zur Lösung elastostatischer Probleme aufgestellt. Beide Prinzipien beruhen auf dem Ersatz des vorgelegten Problems in einem vorgegebenen Realkörper durch ein abgeändertes Problem in einem mathematisch einfacher zu behandelnden Grundkörper. Und zwar wird beim Prinzip der sukzessiven Belastung der Unterschied zwischen Realkörper und Grundkörper durch zusätzliche Kräfte, beim Prinzip der sukzessiven Verspannung durch zusätzliche Eigenspannungsquellen ausgeglichen. In beiden Fällen können die zusätzlichen Kräftebelebungen bzw. Eigenspannungsquellen iterativ angenähert werden; dadurch wird die Lösung des vorgelegten Problems im Realkörper auf eine Folge von Problemen in dem einfacheren Grundkörper zurückgeführt. Bei der Anwendung auf Randwertprobleme unterscheiden sich Realkörper und Grundkörper durch ihre Begrenzungen, bei der Anwendung auf Nichthomogenitätsprobleme durch ihre elastischen Eigenschaften. In §1 erläutern wir beide Prinzipien zunächst an ebenen Randwertproblemen. Da die praktische Anwendbarkeit von den Eigenschaften der nach diesen Prinzipien konstruierten Operatoren abhängt, wird in §2 eine elementare Einführung in die Theorie der reellen Hilbertschen Räume gegeben, und es werden die in diesem Zusammenhang wichtigsten Sätze über symmetrische Operatoren angegeben. In §3 werden - unter gleichzeitiger Anwendung auf Nichthomogenitätsprobleme - die Ergebnisse von §2 auf den Hilbert-Raum der elastischen Zustände übertragen, ohne zunächst auf Einzelheiten der numerischen oder halbnumerischen Durchführung einzugehen. Dies geschieht in §4 am Beispiel eines nach dem Prinzip der sukzessiven Belastung aufgestellten Iterationsverfahrens zur Lösung des Randwertproblems der belasteten Scheibe, welches bis zu den wichtigsten Einzelheiten der numerischen Durchführung diskutiert wird. In §5 schließlich werden Methoden zur Beschleunigung der Konvergenz besprochen und das Verfahren von §4 mit anderen numerischen oder halbnumerischen Verfahren verglichen. Ein praktisch wichtiges Ergebnis folgt aus dem Vergleich des Verfahrens von §4, einer Integralgleichungsmethode mit dem Rand als Integrationsgebiet, mit anderen Verfahren, welche mit diskreten Gitterpunkten im Inneren des ebenen Körpers arbeiten. Es ist bekannt, daß im zweiten Falle die finiten Gleichungssysteme mit wachsender Zahl der Gitterpunkte immer schlechter bestimmt werden. D.h., das Verhältnis des größten zum kleinsten Eigenwert der finiten Ersatzmatrix wird immer größer, was sich in steigender Anfälligkeit gegen Rundungsfehler äußert. Bei dem Verfahren von §4 dagegen strebt das Spektrum der finiten Ersatzmatrix bei feinerer Unterteilung des Integrationsgebiets gegen das Spektrum eines beschränkten symmetrischen Operators, dessen größter Eigenwert in praktisch sinnvollen Fällen ein relativ kleines Vielfaches des kleinsten Eigenwertes ist. Da sich die Integralgleichungsmethode bequem den verschiedensten Bereichsformen anpassen läßt, erscheint die Methode von §4 als ein sehr genaues und vielseitig anwendbares Verfahren.Two principles for setting up iteration procedures for solving problems in linear elastostatics will be established in this paper. Both principles rest upon replacing the problem posed in a given real body by a changed problem in a basic body that can be treated more simply mathematically. The difference between the real body and the basic body is being compensated for by additional forces after the principle of successive loading, and by additional sources of internal stress after the principle of successive distortion. In both cases the additional distributions of forces resp. sources of internal stress may be approximated by iteration; thereby the solution of the problem posed in the real body is being reduced to a sequence of problems in the simpler basic body. On application to boundary value problems, real body and basic body will differ by their boundaries, on application to non-homogeneity problems, they will differ by their elastic properties. In §1, we will explain both principles beforehand on plane boundary value problems. As the practical applicability depends on the properties of the operators constructed after those principles, there will be given in §2 an elementary introduction into the theory of the real Hilbert space, and the theorems most important in this connection about symmetric operators will be stated. In §3 these results will be transferred - under simultaneous application to non-homogeneity problems - to the Hilbert space of elastic states, without referring to details of numerical or half-numerical performance. This will be done in §4 for the example of an iteration procedure established after the principle of successive loading for the boundary value problem of the plate loaded in its plane, where the discussion includes the most important features of numerical calculation. In §5, finally, methods for improving convergence will be discussed, and the method of §4 will be compared with other numerical and half-numerical procedures. A practically important result follows from comparison of the procedure of §4, an integral equation method with the boundary as integration domain, with other procedures that work with discrete mesh points in the interior of the plane body. It is well known that in the latter case the condition of the finite systems of linear equations becomes worse with growing number of mesh points. That is, the ratio of the greatest to the smallest eigenvalue of the finite matrix replacing the operator becomes bigger and bigger, which results in a growing sensitivity against round-off errors. For the procedure of §4, on the other hand, the spectrum of the finite matrix tends with finer sub-division of the integration domain against the spectrum of a bounded symmetric operator, whose greatest eigenvalue is a comparatively small multiple of the smallest one in practical cases. As the method of integral equations may be adapted easily to a great variety of domains, the procedure of §4 appears to be rather accurate and many-sided in applications

Berechnung von STM-Profilkurven und von Quantenbillards endlicher Wandhoehe

Die Arbeit befasst sich mit zweierleiZum einen wird der STM-Abbildungsprozess simuliert, indem Probe und Spitze durch zweidimensionale Sommerfeld-Metalle frei waehlbarer Geometrie beschrieben werden und der Tunnelstrom im Transfer-Hamiltonian-Formalismus bestimmt wird. Die Berechnung der Eigenzustaende der Elektroden erfolgt numerisch durch Diskretisierung der Schroedingergleichung im Differenzenverfahren. Ueber die geometrische Entfaltung der erhaltenen Konstantstromprofile mit der Spitzengeometrie werden der Vergleich zum geometrischen (mechanischen) Abtasten gezogen und Moeglichkeiten einer Vermessung von Spitze und Probe diskutiert. Zum anderen wird durch Berechnung von Eigenzustaenden in grossen zweidimensionalen Potentialkaesten (Quantenbillards) endlicher Wandhoehe der Frage nachgegangen, welchen Einfluss klassisch verbotene Gebiete (Aussenraum, Tunnelbarriere) auf Eigenfunktionen in semiklassisch grossen Systemen haben. Betrachtet wird insbesondere ein Gesamtsystem bestehend aus zwei Potentialkaesten, die ueber eine Tunnelbarriere koppeln (¨Quantenbillards endlicher Wandhoehe im Tunnelkontakt¨). Bei einer Reihe von Zustaenden zeigen sich Scars, die aus der Barriere austreten und in diese zuruecklaufen. Das Gesamtsystem ist in hohem Masse nichtintegrabel, ¨sichtbar¨ wird dieses aber nur fuer Bahnen entweder des Kontinuums oder fuer komplexe Orbits. Eine semiklassische Beschreibung dieses Phaenomens mit der gegenwaertigen, auf klassischen Orbits fussenden Theorie periodischer Bahnen ist nicht mehr moeglich. Die Einbeziehung komplexer Orbits oder Bahnen des Kontinuums (¨ungebundener Orbits¨) wird durch diese Ergebnisse angemahnt

Kohn-Sham-Dichtefunktionaltheorie-Untersuchung ausgewählter Polyoxometallate (M = Mo, W) und Molekulardynamik-Simulationen dendrimer-eingekapselter Keggin-Ionen

Brodbeck R. Kohn-Sham-Dichtefunktionaltheorie-Untersuchung ausgewählter Polyoxometallate (M = Mo, W) und Molekulardynamik-Simulationen dendrimer-eingekapselter Keggin-Ionen. Bielefeld (Germany): Bielefeld University; 2006.In dieser Arbeit wurden (i) ausgewählte Polyoxomolybdate und -wolframate mit Hilfe der Kohn-Sham-Dichtefunktionaltheorie (KSDFT) untersucht und (ii) Molekulardynamik (MD)-Simulationen dendrimer-eingekapselter [alpha]-Dodecawolframatophosphate und -zinkate durchgeführt: (i) Zur Bestimmung von Referenzdaten zur Parametrisierung eines empirischen Polyoxowolframat-Kraftfelds wurden das Hexamolybdat und -wolframat, das [alpha]-Dodecamolybdatophosphat, das [alpha]-Dodecawolframatophosphat und -zinkat, das [alpha]-Octadecawolframatodiphosphat und das Triacontawolframatopentaphosphat mit dem B3LYP-Funktional, effektiven Rumpfpotentialen und korrespondierenden Basissätzen (erweitert mit diffusen und Polarisations-Funktionen) nach Stevens et al. durch Strukturoptimierungen, Berechnungen des molekularen elektrostatischen Potentials und Normalschwingungsanalysen (letzteres nur für die Hexametallate und die [alpha]-Dodecametallatophosphate) untersucht. Bei den Polyoxomolybdaten wurden niedersymmetrische, bei den Polyoxowolframaten jedoch hochsymmetrische Gleichgewichtsstrukturen gefunden (wie aus Röntgen-Kristallstrukturanalysen schon experimentell bekannt, jedoch theoretisch bisher übersehen). Die Ursache der niedersymmetrischen Gleichgewichtsstrukturen der Polyoxomolybdate ist höchstwahrscheinlich ein Pseudo-Jahn-Teller-Effekt. Bei den Strukturen ergeben sich winkeltreue Aufweitungen (um 1-2 Prozent) gegenüber exp. Kernabständen. Bei den Normalschwingungsfrequenzen finden sich für IR-aktive Moden systematisch zu hohe, für Raman-aktive Moden unsystematische Abweichungen gegenüber exp. Schwingungsfrequenzen. Des weiteren ergeben sich durch Kopplung quasientarteter Moden und/oder durch Mängel des verwendeten Dichtefunktionals signifikante Abweichungen zwischen theor. und exp. Intensitäten. Die Analyse der Bindungsverhältnisse (durch Interpretation der Kohn-Sham-Molekülorbitale bzw. Berechnung von Partialladungen nach Weinholdt et al.) ergeben eine Donor-Acceptor-Wechselwirkung mit signifikanten kovalenten Anteilen zwischen eingekapseltem Anion und dem (formal) neutralen Metall-Sauerstoff-Käfig. (ii) Aus den Daten von (i) wurde ein empirisches Polyoxowolframat-Kraftfeld parametrisiert, mit dem sich die Strukturen des [alpha]-Dodecawolframatophosphats und -zinkats und des [alpha]-Octadecawolframatodiphosphats gut, die der anderen untersuchten Polyoxowolframate nur mit signifikanten Abweichungen (aufgrund zu unterschiedlicher Strukturparameter zwischen diesen und den besser beschriebenen Verbindungen) reproduzieren lassen. Die Normalschwingungsfrequenzen des [alpha]-Dodecawolframatophosphats werden zufriedenstellend reproduziert. Mit diesem Kraftfeld wurden MD-Simulationen von dendrimer-eingekapselten [alpha]-Dodecawolframatophosphat- und -zinkat-Ionen in Chloroform bei 300 K und 1 bar durchgeführt. Bei den Dendrimeren handelt es sich um amphiphile Dendrimere der ersten und zweiten Generation des N-Methyl-3,5-bis(tert-butyl)pyridinium-Ions und des Bis(3,5-dimethoxybenzyl)dimethylammonium-Ions. Die dendrimer-eingekapselten Keggin-Ionen sind Modellsysteme sogenannter Dendrizyme, Hybridmaterialien aus in Redoxreaktionen katalytisch-aktiven Polyoxometallat-Anionen, den Dendrizymkernen, und amphiphilen Dendrimer-Kationen, der Dendrizymschale. Dendrizyme wirken als substratselektiver Katalysator. Aus der Analyse der aufgezeichneten Trajektorien (mittels radialer und räumlicher Paarverteilungsfunktionen, zeitlich gemittelter Strukturen, Ortsfluktuationen und Translations-Diffusionskoeffizienten) wurde (a) die konformative Dynamik der Dendrizymschale in Abhängigkeit von Dendrimertyp, Dendrimergeneration und Anzahl koordinierter Dendrimere untersucht und (b) die Substratselektivität der Dendrizymschale durch Bestimmung der Permeabilität für Chloroform-Moleküle (dem Lösemittel) charakterisiert

Multivariate GRBF-Netzwerke und Systeme lokaler Experten

Solange der Mensch seit Beginn der modernen Wissenschaft versucht, seine kognitiven Fähigkeiten durch anatomische, physiologische und psychologische Untersuchungen zu verstehen, werden diese Forschungen auch von der Entwicklung mathematischer Modelle begleitet. Dies geschieht in der Hoffnung, zu einem tieferen Verständnis der Gehirnfunktionen zu gelangen und in jüngster Zeit mit dem Ziel, neuartige mathematische Verfahren, z.B. zur Mustererkennung und Funktionenapproximation, zu erhalten. Im Rahmen dieses Ansatzes wurde vor etwa 10 Jahren das radiale Basisfunktionen (RBF)-Netzwerk eingeführt, welches bestimmte Strukturen im cerebellaren Cortex modelliert. In früheren Arbeiten wurden tiefgehende Beziehungen zwischen diesem dreischichtigen Netzwerkmodell und der maximum likelihood (ML)-Schätzung von empirischen Datenverteilungen durch Mischungen univariater Normalverteilungen aufgedeckt. Solche Netzwerke eignen sich zur datengetriebenen Funktionenapproximation und zur Lösung von Klassi- fikationsaufgaben. Ausgehend von diesen Beobachtungen wird in der vorliegenden Arbeit das RBF-Modell stufenweise verallgemeinert. Zunächst wird mit dem generalisierten radialen Basisfunktionen (GRBF)-Netzwerk ein Modell vorgestellt, dessen Parameter sich aus ML-Schätzungen von Datenverteilungen durch Mischungen multivariater Normalverteilungen ableiten lassen. Damit wird erstmals ein Verfahren eingeführt, mit dem alle Netzwerkparameter simultan optimiert werden können. Ein deterministisches Abkühlschema sorgt dabei für die sichere Konvergenz des zugehörigen sequentiellen stochastischen Lernprozesses. Anschließend wird ein neues Modell zur Funktionenapproximation, der sogenannte LLMApproximator , vorgestellt, das ebenfalls auf Dichteschätzungen durch Mischungen multivariater Normalverteilungen beruht und sich in Spezialfällen auf das GRBF-Netzwerk reduziert. Im LLM-Verfahren wird die zu approximierende Funktion durch eine Interpolation lokaler linearer Regressionsmodelle dargestellt. In Verallgemeinerung dieser Verfahren wird schließlich ein Konstruktionsprinzip für Systeme lokaler Experten formuliert, das sowohlWettbewerb als auch Kooperation unterschiedlicher Experten zur Lösung einer gemeinsamen Aufgabe organisiert. Die Arbeitsweisen des LLM-Approximators als auch des Systems lokaler Experten werden am Beispiel von Regelungsproblemen illustriert. Zunächst wird die Regelung eines virtuellen Bioreaktors mit Hilfe des LLM-Approximators vorgestellt. Anschließend wird das System lokaler Experten für die Regelung einer realen, komplexen industriellen Anlage verwendet. Dabei handelt es sich um die Anlage zur Rückstandsverbrennung im Werk Burghausen der Wacker-Chemie GmbH