Complex dynamics of financial indices

This paper presents a novel method for the analysis of nonlinear financial and economic systems. The modeling approach integrates the classical concepts of state space representation and time series regression. The analytical and numerical scheme leads to a parameter space representation that constitutes a valid alternative to represent the dynamical behavior. The results reveal that business cycles can be clearly revealed, while the noise effects common in financial indices can elegantly be filtered out of the results

An FFT method for the numerical differentiation

We consider the numerical differentiation of a function tabulated at equidistant points. The proposed method is based on the Fast Fourier Transform (FFT) and the singular value expansion of a proper Volterra integral operator that reformulates the derivative operator. We provide the convergence analysis of the proposed method and the results of a numerical experiment conducted for comparing the proposed method performance with that of the Neville Algorithm implemented in the NAG library

On-line robot dynamic identification based on power model, modulating functions and causal Jacobi estimator

International audienceThis paper estimates robot dynamic parameters by means of power model associated with modulating functions, which avoids measuring or calculating the joint acceleration. At the same time, an advanced causal Jacobi derivative estimator is applied in order to get on-line robust derivatives from noisy measurements. In the end simulation results on two degrees of freedom planar robot are presented and comparisons with traditional off-line identification method are drawn

Adaptive parameter choice for one-sided finite difference schemes and its application in diabetes technology

AbstractIn this paper we discuss the problem of approximation of the first derivative of a function at the endpoint of its definition interval. This problem is motivated by diabetes therapy management, where it is important to provide estimations of the future blood glucose trend from current and past measurements. A natural way to approach the problem is to use one-sided finite difference schemes for numerical differentiation, but, following this way, one should be aware that the values of the function to be differentiated are noisy and available only at given fixed points. Then (as we argue in the paper) the number of used point values is the only parameter to be employed for regularization of the above mentioned ill-posed problem of numerical differentiation. In this paper we present and theoretically justify an adaptive procedure for choosing such a parameter. We also demonstrate some illustrative tests, as well as the results of numerical experiments with simulated clinical data

Чисельне диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є

A methodology for numerical differentiation of periodic tabular-specified functions using the Fourier polynomial of the n-th order has been developed, which makes it possible to calculate derivatives of the k-th order (k £ n) at any points between arbitrarily located interpolation nodes. The latest research and publications were analyzed, which made it possible to establish the complexity of the task of calculating the derivatives of the function by the values ​​of the argument on a certain interval of values ​​of the tabular function. The formulation of the problem of numerical differentiation of periodic tabular-specified functions using the Fourier polynomial of the n-th order is given.  It is established that any tabular-specified function is first smoothed by some function, which is a global (local) interpolation polynomial or a polynomial obtained by OLS (Ordinary Least Squares) with some error. The derivative of such a tabular function is understood as the derivative of its interpolant. A method of numerical differentiation of periodic tabular-specified functions has been developed, the essence of which is reduced to the product of the Fourier series vector of the n-th order by the matrix of the k-th order of its differentiation (k £ n) and the column vector of the coefficients of the corresponding interpolant. Some statements of problems of numerical differentiation of periodic tabular-specified functions using the Fourier polynomial of the n-th order, corresponding algorithms for their solution and concrete examples of implementation are given. It was established that to calculate the derivative of the k-th order from the table function based on the accepted value of the argument, the following actions must be performed: form a matrix equation based on the table data and solve it; substitute into the corresponding matrix expression  the obtained root from the matrix equation  and the value of the argument and perform the matrix multiplication actions specified in the expression. The check has been made of the correctness of performing  calculations using the appropriate central difference formulas.  It was established that the calculated derivatives of the k-th order using the formulas of central finite differences practically coincide with the values ​​obtained using the Fourier interpolation polynomial of the n-th order, that is, the values ​​of the derivatives are calculated correctly.Розроблено методологію чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку, яка дає можливість обчислювати похідні k-го порядку (k £ n) в будь-яких точках між довільно розташованими вузлами інтерполяції. Проаналізовано останні дослідження та публікації, що дало змогу встановити складність задачі обчислення похідних від функції за значеннями аргумента на деякому інтервалі значень табличної функції. Наведено постановку задачі чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку. Встановлено, що будь-яку таблично-задану функцію спочатку згладжують деякою функцією, котра є глобальним (локальним) інтерполяційним многочленом або многочленом, який отримано за МНК (англ. Ordinary Least Squares, OLS) з деякою похибкою. Під похідною від такої табличної функції розуміють похідну від її інтерполянти. Розроблено метод чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій, сутність якого зводиться до добутку вектора-рядка Фур'є n-го порядку на матрицю k-го порядку його диференціювання (k £ n) і на вектор-стовпець коефіцієнтів відповідної інтерполянти. Наведено деякі постановки задач чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку, відповідні алгоритми їх розв'язання та конкретні приклади реалізації. Встановлено, що для обчислення похідної k-го порядку від табличної функції за прийнятим значенням аргумента потрібно виконати такі дії: за даними таблиці сформувати матричне рівняння та розв'язати його; підставити у відповідний матричний вираз отриманий корінь з матричного рівняння та значення аргумента і виконати вказані у виразі дії множення матриць. Здійснено перевірку правильності виконання розрахунків з використанням відповідних центральних різницевих формул. Встановлено, що обчислені похідні k-го порядку з використанням формул центральних скінченних різниць практично  збігаються зі значеннями, отриманими за допомогою інтерполяційного многочлена Фур'є n-го порядку, тобто значення похідних обчислено правильно

Error analysis of Jacobi derivative estimators for noisy signals

International audienceRecent algebraic parametric estimation techniques (see \cite{garnier,mfhsr}) led to point-wise derivative estimates by using only the iterated integral of a noisy observation signal (see \cite{num0,num}). In this paper, we extend such differentiation methods by providing a larger choice of parameters in these integrals: they can be reals. For this, %as in \cite{num0,num}, the extension is done via a truncated Jacobi orthogonal series expansion. Then, the noise error contribution of these derivative estimations is investigated: after proving the existence of such integral with a stochastic process noise, their statistical properties (mean value, variance and covariance) are analyzed. In particular, the following important results are obtained: \begin{description} \item[$a)$] the bias error term, due to the truncation, can be reduced by tuning the parameters, \item[$b)$] such estimators can cope with a large class of noises for which the mean and covariance are polynomials in time (with degree smaller than the order of derivative to be estimated), \item[$c)$] the variance of the noise error is shown to be smaller in the case of negative real parameters than it was in \cite{num0,num} for integer values. \end{description} Consequently, these derivative estimations can be improved by tuning the parameters according to the here obtained knowledge of the parameters' influence on the error bounds