124 research outputs found
ACL ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ΄Ρ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΡ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ²
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ,ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΡ,ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΊΠΎΠΌΡΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² R
ΠΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π° ΠΊΡΡΠ³Π°
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ p-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ
p > 2. ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π° ΠΊΡΡΠ³Π°. Π Π΅ΡΠ΅Π½Π°
ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π° ΠΊΡΡΠ³Π°.Π ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½ΡΡΠΎ ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π²Ρ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΡΠ·ΠΌΠΈ Π²ΡΠ΄Π½ΠΎΡΠ½ΠΎ p-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠΈ p > 2. ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ² Π²ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Π²ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΡΡΠ½ΠΊΠΈ Π·Π½ΠΈΠ·Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Ρ ΠΊΡΡΠ³Π°. Π ΠΎΠ·Π²'ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Π΅ΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΠ°Π»ΡΠ½Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎ ΠΌΡΠ½ΡΠΌΡΠ·Π°ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΡΠΎΠ½Π°Π»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Ρ ΠΊΡΡΠ³Π°.We study the ring Q-homeomorphisms with respect to p-modulus, p Λ 2, in the complex plane and establish lower bounds for
the area of an image of a disc. The extremal problem concerning a minimization of the area functional is solved
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ°Π²ΡΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π²Π°-ΠΠΎΡΠΈΡΠ° ΠΎ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΎΠΉ
ΠΠ»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ
, ΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΊΠΎΠ½-
ΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ°Π²ΡΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π²Π° β ΠΠΎΡΠΈΡΠ° ΠΎ
Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠ΅. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·-
ΠΌΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° Π‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²Π° W1,n
loc , n β₯ 3, Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΠ»Π°ΡΠ°ΡΠΈΡ KO(x, f) ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ
ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² Rn Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ nβ1, ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½Ρ Π² Rn, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Knβ1
O (x, f) β€ Q(x)
ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Q(x), ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅
ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ (FMO) Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎ-
ΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. Π£ΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΠΉ Π²ΡΡΠ΅
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²Π΅ΡΠ΅Π½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ,
ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ
ΠΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ p-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ
Π‘ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ
Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ² ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ p-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π² RβΏ, n > 2. ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ ΡΠ΅Π»ΡΠΉ ΡΡΠ΄ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ΅ΡΠΈΠ½Π³Π° ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅Π²ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΠ± ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ΅ ΠΈΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΡΡ
ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ, ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π° ΡΠ°ΡΠ° ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Π»Π΅ΠΌΠΌΡ ΠΠΊΠΎΠΌΠ°βΠ¨Π²Π°ΡΡΠ°
Π ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΡ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ² Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ
Π Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΡ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ² Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΡ Π½Π° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ
ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ
ΠΈ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π° ΠΈΡ
Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡΠ²ΡΠ·Ρ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅.Π£ Π΄Π°Π½iΠΉ ΡΠΎΠ±ΠΎΡi ΡΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½ΡΡΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ½i ΡΠ° ΠΊiΠ»ΡΡΠ΅Π²i Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡiΠ·ΠΌΠΈ Π½Π° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ
ΡiΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΈΠ΄Π°Ρ
i Π²ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΡ
Π²Π·Π°ΡΠΌΠΎΠ·Π²βΡΠ·ΠΎΠΊ Π½Π° ΠΌΠ΅ΠΆi.In this article lower and ring Q-homeomorphisms on the smooth Riemannian manifolds are considered and its relationship become established
ΠΠ± ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π° ΡΠ°ΡΠ° Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ²
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ p-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ p β₯ n. ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΡΠ²Π΅ΡΡ
Ρ ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π° ΡΠ°ΡΠ° ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅,
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΌΠΌΡ ΠΠΊΠΎΠΌΠ°βΠ¨Π²Π°ΡΡΠ°. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ
ΠΈΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ
ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° Π. Π. ΠΠ°Π²ΡΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π²Π° ΠΎΠ± ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π° ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΡ
ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ
. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°ΠΌ ΠΡΠ»ΠΈΡΠ°βΠ‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²Π° W loc^1,Ο
Π² R^n, n β₯ 3 ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΠ°Π»ΡΠ΄Π΅ΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ο ΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°ΠΌ Π‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²Π° Wloc^1,p
ΠΏΡΠΈ p > n β 1. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ².Π ΠΎΠ·Π³Π»ΡΠ½ΡΡΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ½i Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡiΠ·ΠΌΠΈ Π²iΠ΄Π½ΠΎΡΠ½ΠΎ p-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ p β₯ n. ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΊΠ»Π°ΡiΠ² Π²iΠ΄ΠΎΠ±ΡΠ°-
ΠΆΠ΅Π½Ρ Π²ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΡiΠ½ΠΊΡ Π·Π²Π΅ΡΡ
Ρ ΠΌiΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Ρ ΠΊΡΠ»i i, ΡΠΊ Π½Π°ΡΠ»iΠ΄ΠΎΠΊ, ΠΎΡΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Π²iΠ΄ΠΎΠΌΠΎΡ
Π»Π΅ΠΌΠΈ IΠΊΠΎΠΌΠ°βΠ¨Π²Π°ΡΡΠ°. ΠΠ°Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΎΡiΠ½ΠΊΠ° Ρ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎΡΡΠΆΠ½ΠΈΠΌ ΡΠ·Π°Π³Π°Π»ΡΠ½Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π΄ΠΎΠ±ΡΠ΅ Π²iΠ΄ΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»Ρ-
ΡΠ°ΡΡ Π. Π. ΠΠ°Π²ΡΠ΅Π½ΡΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎ ΠΎΡiΠ½ΠΊΡ ΠΏΠ»ΠΎΡi ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Ρ ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π·iΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΠΈΡ
Π²iΠ΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½-
Π½ΡΡ
. ΠΠ°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π·Π°ΡΡΠΎΡΡΠ²Π°Π½Π½Ρ ΡΠΈΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡiΠ² Π΄ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡiΠ² ΠΡΠ»iΡΠ°βΠ‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΡΠ²Π° W loc^1,Ο Π² R^n, n β₯ 3
Π·Π° ΡΠΌΠΎΠ²ΠΎΡ ΡΠΈΠΏΡ ΠΠ°Π»ΡΠ΄Π΅ΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡiΡ Ο i, Π·ΠΎΠΊΡΠ΅ΠΌΠ°, Π΄ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡiΠ² Π‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΡΠ²Π° Wloc^1,p ΠΏΡΠΈ p > nβ1.
ΠΠΎΠ±ΡΠ΄ΠΎΠ²Π°Π½i ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ΠΈ Π²iΠ΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠ½iΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡiΠ².We consider the lower Q-homeomorphisms with respect to p-modulus for p β₯ n. For such classes of
mappings, we establish an upper estimate of the measure of the image of balls and, as a consequence,
obtain one analog of the known IkomaβSchwartz lemma. The present estimate is a far-reaching
generalization of the well-known Lavrentβev result on the estimate of the area of the image of a
disk under quasiconformal mappings. We give also the corresponding applications of these results
to the OrliczβSobolev classes W loc^1,Ο in R^n, n β₯ 3, under a condition of the Calderon type on Ο and,
in particular, to the Sobolev classes Wloc^1,p with p > n β 1. The constructed examples of mappings
demonstrate a precision of the obtained results
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ
Q-Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ² ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ p-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π² RβΏ, n β₯ 2. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΡΠ΅Π»ΡΠΉ ΡΡΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎΠΊ Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ
ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ
Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Q. Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°ΠΌ ΠΡΠ»ΠΈΡΠ°βΠ‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²Π° W1,Ο loc Π² Rβ₯, n β₯> 3 ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΠ°Π»ΡΠ΄Π΅ΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ο ΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°ΠΌ Π‘ΠΎΠ±ΠΎΠ»Π΅Π²Π° W1,p loc ΠΏΡΠΈ p > n -1. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π³ΠΎΠΌΠ΅ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌΠ° Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΎΡΡΠ°.The asymptotic behavior of lower Q-homeomorphisms relative to a p-modulus in RβΏ, n β₯> 2, at a point is studied. A number of logarithmic estimates for the lower limits under various conditions imposed on the function Q are obtained. Some applications of these results to the OrliczβSobolev classes W1,Ο loc in RβΏ, n β₯ 3 under the Calderon-type condition imposed on the function Ο and, in particular, to the Sobolev classes W1,p loc for p > n β 1 are given. The example of a homeomorphism with finite distortion which shows the exactness of the found order of growth is constructed
- β¦