Schémas de type Godunov pour la modélisation hydrodynamique et magnétohydrodynamique

The main objective of this thesis concerns the study, design and numerical implementation of finite volume schemes based on the so-Called Godunov-Type solvers for hyperbolic systems of nonlinear conservation laws, with special attention given to the Euler equations and ideal MHD equations. First, we derive a simple and genuinely two-Dimensional Riemann solver for general conservation laws that can be regarded as an actual 2D generalization of the HLL approach, relying heavily on the consistency with the integral formulation and on the proper use of Rankine-Hugoniot relations to yield expressions that are simple enough to be applied in the structured and unstructured contexts. Then, a comparison between two methods aiming to numerically maintain the divergence constraint of the magnetic field for the ideal MHD equations is performed and we show how the 2D Riemann solver can be employed to obtain robust divergence-Free simulations. Next, we derive a relaxation scheme that incorporates gravity source terms derived from a potential into the hydrodynamic equations, an important problem in astrophysics, and finally, we review the design of finite volume approximations in curvilinear coordinates, providing a fresher view on an alternative discretization approach. Throughout this thesis, numerous numerical results are shown.L’objectif principal de cette thèse concerne l’étude, la conception et la mise en œuvre numérique de schémas volumes finis associés aux solveurs de type Godunov. On s’intéresse à des systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires, avec une attention particulière sur les équations d’Euler et les équations MHD idéale. Tout d’abord, nous dérivons un solveur de Riemann simple et véritablement multidimensionnelle, pouvant s’appliquer à tout système de lois de conservation. Ce solveur peut être considéré comme une généralisation 2D de l’approche HLL. Les ingrédients de base de la dérivation sont : la consistance avec la formulation intégrale et une utilisation adéquate des relations de Rankine-Hugoniot. Au final nous obtenons des expressions assez simples et applicables dans les contextes des maillages structurés et non structurés. Dans un second temps, nous nous intéressons à la préservation, au niveau discret, de la contrainte de divergence nulle du champ magnétique pour les équations de la MHD idéale. Deux stratégies sont évaluées et nous montrons comment le solveur de Riemann multidimensionnelle peut être utilisé pour obtenir des simulations robustes à divergence numérique nulle. Deux autres points sont abordés dans cette thèse : la méthode de relaxation pour un système Euler-Poisson pour des écoulements gravitationnels en astrophysique, la formulation volumes finis en coordonnées curvilignes. Tout au long de la thèse, les choix numériques sont validés à travers de nombreux résultats numériques

Godunov-type schemes for hydrodynamic and magnetohydrodynamic modeling

L’objectif principal de cette thèse concerne l’étude, la conception et la mise en œuvre numérique de schémas volumes finis associés aux solveurs de type Godunov. On s’intéresse à des systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires, avec une attention particulière sur les équations d’Euler et les équations MHD idéale. Tout d’abord, nous dérivons un solveur de Riemann simple et véritablement multidimensionnelle, pouvant s’appliquer à tout système de lois de conservation. Ce solveur peut être considéré comme une généralisation 2D de l’approche HLL. Les ingrédients de base de la dérivation sont : la consistance avec la formulation intégrale et une utilisation adéquate des relations de Rankine-Hugoniot. Au final nous obtenons des expressions assez simples et applicables dans les contextes des maillages structurés et non structurés. Dans un second temps, nous nous intéressons à la préservation, au niveau discret, de la contrainte de divergence nulle du champ magnétique pour les équations de la MHD idéale. Deux stratégies sont évaluées et nous montrons comment le solveur de Riemann multidimensionnelle peut être utilisé pour obtenir des simulations robustes à divergence numérique nulle. Deux autres points sont abordés dans cette thèse : la méthode de relaxation pour un système Euler-Poisson pour des écoulements gravitationnels en astrophysique, la formulation volumes finis en coordonnées curvilignes. Tout au long de la thèse, les choix numériques sont validés à travers de nombreux résultats numériques.The main objective of this thesis concerns the study, design and numerical implementation of finite volume schemes based on the so-Called Godunov-Type solvers for hyperbolic systems of nonlinear conservation laws, with special attention given to the Euler equations and ideal MHD equations. First, we derive a simple and genuinely two-Dimensional Riemann solver for general conservation laws that can be regarded as an actual 2D generalization of the HLL approach, relying heavily on the consistency with the integral formulation and on the proper use of Rankine-Hugoniot relations to yield expressions that are simple enough to be applied in the structured and unstructured contexts. Then, a comparison between two methods aiming to numerically maintain the divergence constraint of the magnetic field for the ideal MHD equations is performed and we show how the 2D Riemann solver can be employed to obtain robust divergence-Free simulations. Next, we derive a relaxation scheme that incorporates gravity source terms derived from a potential into the hydrodynamic equations, an important problem in astrophysics, and finally, we review the design of finite volume approximations in curvilinear coordinates, providing a fresher view on an alternative discretization approach. Throughout this thesis, numerous numerical results are shown

Multi-Mesh-Scale Approximation of Thin Geophysical Mass Flows on Complex Topographies

International audienceThis paper is devoted to a multi-mesh-scale approach for describing the dynamic behaviors of thin geophysical mass flows on complex topographies. Because the topographic surfaces are generally non-trivially curved, we introduce an appropriate local coordinate system for describing the flow behaviors in an efficient way. The complex surfaces are supposed to be composed of a finite number of triangle elements. Due to the unequal orientation of the triangular elements, the distinct flux directions add to the complexity of solving the Riemann problems at the boundaries of the triangular elements. Hence, a vertex-centered cell system is introduced for computing the evolution of the physical quantities, where the cell boundaries lie within the triangles and the conventional Riemann solvers can be applied. Consequently, there are two mesh scales: the element scale for the local topographic mapping and the vertex-centered cell scale for the evolution of the physical quantities. The final scheme is completed by employing the HLL-approach for computing the numerical flux at the interfaces. Three numerical examples and one application to a large-scale landslide are conducted to examine the performance of the proposed approach as well as to illustrate its capability in describing the shallow flows on complex topographies