Ostrowski-type inequalities in abstract distance spaces

Для непорожньої множини $X$ми вводимо поняття відстані і псевдометрики зі значеннями у частково впорядкованій множині, що містить найменший елемент$$$\theta$$$. Якщо$$$h_X$$$— це відстань у$$$X$$$(псевдо метрика у$$$X$$$), то пара$$$(X,h_X)$$$називається простором з відстанню (відповідно псевдометричним простором). Якщо$$$(T,h_T)$$$і$$$(X,h_X)$$$— це псевдометричні простори,$$$(Y,h_Y)$$$— це простір з відстанню, а$$$H(T,X)$$$— це клас ліпшицевих функцій$$$f\colon T\to X$$, то для широкого класу \hyphenation{відображень} відображень  $$\Lambda\colon H(T,X)\to Y$$$ми доводимо точну нерівність, яка оцінює відхилення$$$h_Y(\Lambda f(\cdot),\Lambda f(t))$$$в термінах функції$$$h_T(\cdot, t)$$$. Ми також показуємо, що велика кількість відомих оцінок такого типу міститься у нашому загальному результаті.For non-empty sets X we define  notions of distance and pseudo metric with values in a partially ordered set that has a  smallest element$$$\theta$$$. If$$$h_X$$$is a distance in$$$X$$$(respectively, a pseudo metric in$$$X$$$), then the pair$$$(X,h_X)$$$is called a distance (respectively, a pseudo metric) space. If$$$(T,h_T)$$$and$$$(X,h_X)$$$are pseudo metric spaces,$$$(Y,h_Y)$$$is a distance space, and$$$H(T,X)$$$is a class of Lipschitz mappings$$$f\colon T\to X$$$, for a broad family of mappings$$$\Lambda\colon H  (T,X)\to Y$$$, we obtain a sharp inequality that estimates the deviation$$$h_Y(\Lambda f(\cdot),\Lambda f(t))$$$in terms of the function$$$h_T(\cdot, t)$$$. We also show that many known estimates of such kind are contained in our general result

Optimal recovery of mappings based on linear information with the help of $T$-splines in Banach spaces

Дана робота присвячена розв'язку задач оптимального відновлення відображення $A$(взагалі кажучи нелінійного), заданого на підмножині$$$\mathfrak{M}$$$банахового простору$$$H$$$, по інформації про елементи цієї підмножини, яка дається лінійним обмеженим оператором$$$T\colon H\to Y$$$, де$$$Y$$$— деякий банахів простір. Ми показуємо, що при певних умовах оптимальний метод відновлення дається абстрактними інтерполяційними сплайнами у просторі$$$H$$$, породженими оператором$$$T$$$($$$T$$$-інтерполяційними сплайнами).This work is dedicated to solving problems of optimal recovery of operator$$$A$$$(not necessarily linear), defined on a subset$$$\mathfrak{M}$$$of a Banach space$$$H$$$using information  about elements of the$$$\mathfrak{M}$$$, given by a linear bounded operator$$$T\colon H\to Y$$$where$$$Y$$$is some Banach space. We show that under certain condition the optimal method of recovery is given by abstract interpolation splines in$$$H$$$generated by$$$T$$$($$$T$$$-interpolating splines)

On the linear independence of spikes and sines

The purpose of this work is to survey what is known about the linear independence of spikes and sines. The paper provides new results for the case where the locations of the spikes and the frequencies of the sines are chosen at random. This problem is equivalent to studying the spectral norm of a random submatrix drawn from the discrete Fourier transform matrix. The proof involves depends on an extrapolation argument of Bourgain and Tzafriri.Comment: 16 pages, 4 figures. Revision with new proof of major theorem

Про нерівності типу Колмогорова для дробових похідних функцій, заданих на дійсній осі

We obtain new inequalities that generalize known result of Geisberg, which was obtained for fractional Marchaud derivatives, to the case of higher derivatives, at that the fractional derivative is a Riesz one. The inequality with second higher derivative is sharp.Одержано нові нерівності, які узагальнюють відомий результат Гейсберга, одержаний для дробових похідних у формі Маршо, на випадок більш високих порядків похідних, причому дробова похідна береться за Ріссом. Нерівність зі старшою другою похідною є точною

The best approximation of closed operators by bounded operators in Hilbert spaces

We solve the problem of the best approximation of closed operators by linear bounded operators in Hilbert spaces under assumption that the operator transforms orthogonal basis in Hilbert space into an orthogonal system. As a consequence, sharp additive Hardy-Littlewood-Pólya type inequality for multiple closed operators is established. We also demonstrate application of these results in concrete situations: for the best approximation of powers of the Laplace-Beltrami operator on classes of functions defined on closed Riemannian manifolds, for the best approximation of differentiation operators on classes of functions defined on the period and on the real line with the weight $e^{-x^2}$, and for the best approximation of functions of self-adjoint operators in Hilbert spaces

Effect of B2O3 addition to Magnesium, Zirconium, Hafnium fluorides on the parameters of thin films formed from them

For the first time, the influence of a B2O3 additive on Magnesium, Zirconium, and Hafnium fluorides, encompassing their structural and optical properties, was subjected to investigation. The phase composition of the MgF2–B2O3 system was ascertained through the utilization of X-ray phase analysis and infrared (IR) transmission spectroscopy. Notably, a discernible presence of a newly formed phase, characterized as a complex compound of Magnesium fluoroborate (Mg3(BO3)F3), was unveiled. In the instances of the ZrF4–B2O3 and HfF4–B2O3 systems, the modification in the characteristics of IR spectra was attributed to the α → β phase transitions occurring within the respective metal tetrafluorides. Subsequently, thin-film coatings of metal fluorides treated with the B2O3 additive were fabricated employing thermal evaporation under vacuum conditions. It was determined that the refractive index of MgF2 experienced a slight reduction (from 1.42 to 1.41) following the incorporation of the additive, while the mechanical strength exhibited a marginal augmentation. Conversely, the refractive index of coatings derived from Zirconium and Hafnium tetrafluorides, subsequent to heat treatment with B2O3, remained nearly constant at 1.53 across all samples. Additionally, an evaluation of the volatility of the samples was carried out, revealing a slight increase in volatility following treatment with the B2O3 additive, with the exception of the MgF2–B2O3 system. A plausible mechanism elucidating the influence of B2O3 on oxygen-containing impurities present in metal fluorides is proposed

Сульфідування оксиду Цинку взаємодією із сульфідом Стибію

The mechanism of interaction between ZnO and Sb2S3 in the temperature range of 500-700°С was studied. The methods of differential thermal analysis, X-ray diffraction, diffuse reflectance spectroscopy and IR transmission spectroscopy, as well as thermodynamic calculations established the exchangeable acid-base reaction mechanism with the removal of the most volatile of the products – Sb2O3. The final and only product of interaction in the system is ZnS of cubic modification (sphalerite) without phase impurities. Condensate mainly contains Antimony oxides of various compositions. In the same way, it is possible to remove oxygen-containing impurities (mainly ZnO) from zinc sulfide obtained by the method of self-propagating high-temperature synthesis.Досліджено механізм взаємодії між ZnO та Sb2S3 в інтервалі температур 500-700°С. Методами диференціального термічного аналізу, рентгенівської дифракції, спектроскопії дифузного відбиття та ІЧ спектроскопії пропускання, а також термодинамічних розрахунків встановлено обмінний кислотно-основний механізм реакцій з видаленням найбільш леткого з продуктів – Sb2O3. Кінцевим і єдиним продуктом взаємодії в системі є ZnS кубічної модифікації (сфалерит) без фазових домішок. Конденсат містить переважно оксиди Стибію різного складу. Таким же чином можливо видалити оксигенвмісні домішки (переважно ZnO) із сульфіду цинку, отриманого методом самопоширюваного високотемпературного синтезу

Володимир Олександрович Кофанов (до 75-річчя від дня народження)

Володимир Олександрович Кофанов (до 75-річчя від дня народження)Volodymyr Oleksandrovych Kofanov (to 75th anniversary