Ostrowski-type inequalities in abstract distance spaces

Abstract

Для непорожньої множини $X$ми вводимо поняття відстані і псевдометрики зі значеннями у частково впорядкованій множині, що містить найменший елемент$$$\theta$$$. Якщо$$$h_X$$$— це відстань у$$$X$$$(псевдо метрика у$$$X$$$), то пара$$$(X,h_X)$$$називається простором з відстанню (відповідно псевдометричним простором). Якщо$$$(T,h_T)$$$і$$$(X,h_X)$$$— це псевдометричні простори,$$$(Y,h_Y)$$$— це простір з відстанню, а$$$H(T,X)$$$— це клас ліпшицевих функцій$$$f\colon T\to X$$, то для широкого класу \hyphenation{відображень} відображень  $$\Lambda\colon H(T,X)\to Y$$$ми доводимо точну нерівність, яка оцінює відхилення$$$h_Y(\Lambda f(\cdot),\Lambda f(t))$$$в термінах функції$$$h_T(\cdot, t)$$$. Ми також показуємо, що велика кількість відомих оцінок такого типу міститься у нашому загальному результаті.For non-empty sets X we define  notions of distance and pseudo metric with values in a partially ordered set that has a  smallest element$$$\theta$$$. If$$$h_X$$$is a distance in$$$X$$$(respectively, a pseudo metric in$$$X$$$), then the pair$$$(X,h_X)$$$is called a distance (respectively, a pseudo metric) space. If$$$(T,h_T)$$$and$$$(X,h_X)$$$are pseudo metric spaces,$$$(Y,h_Y)$$$is a distance space, and$$$H(T,X)$$$is a class of Lipschitz mappings$$$f\colon T\to X$$$, for a broad family of mappings$$$\Lambda\colon H  (T,X)\to Y$$$, we obtain a sharp inequality that estimates the deviation$$$h_Y(\Lambda f(\cdot),\Lambda f(t))$$$in terms of the function$$$h_T(\cdot, t)$$$. We also show that many known estimates of such kind are contained in our general result