We obtain new inequalities that generalize known result of Geisberg, which was obtained for fractional Marchaud derivatives, to the case of higher derivatives, at that the fractional derivative is a Riesz one. The inequality with second higher derivative is sharp.Одержано нові нерівності, які узагальнюють відомий результат Гейсберга, одержаний для дробових похідних у формі Маршо, на випадок більш високих порядків похідних, причому дробова похідна береться за Ріссом. Нерівність зі старшою другою похідною є точною

Babenko, V.F.

Churilova, M.S.

Ukrainian

New exact inequalities for Hadamard fractional derivatives of functions, defined on the half-line, are obtained.Одержано нові точні нерівності для дробових похідних за Адамаром для функцій, визначених на півосі

Parfinovich, N.V.

Researches in Mathematics (E-Journal, Dnipro University)

Точні нерівності типу Колмогорова для дробових похідних за Адамаром функцій, визначених на піввісі

УДК517.5В.Ф. Бабенко", М.С. Чурілова"!з . ка * A `Дніпропетровський національнийуніверситетже . . . РУІнститут прикладної математикиі механіки НАН УкраїниПРО НЕРІВНОСТІ ТИПУКОЛМОГОРОВА ДЛЯ ДРОБОВИХПОХІДНИХ ФУНКЦІЙ, ЗАДАНИХ НА ДТИСНІЙ ОСІОдержано нові нерівності, які узагальнюють відомий результат Гейсберга, одержа-ний для дробових похідних у формі Маршо, на випадок більш високих порядків похідних,причому дробова похідна беретьсяза Ріссом. Нерівність зі старшою другою похідною є то-чною.Нерівності типу Колмогорова для норм проміжних похідних, особливо знепокращуваними константами, знаходять важливі застосування в багатьохга-лузях математики, і для цілих порядків похідних у цьому напрямку одержаночимало результатів [1]. Для дробових похідних таких нерівностей відомо знач-но менше. Деякі результати для похідних дробового порядкумістяться в (2-5;8-10; 121. |У даній статті для функцій, заданих на дійсній осі, для похідних за Ріссомустановлюється аналог результатаГейсберга |41, одержаного для дробових по-хідних у формі Маршо. При цьому порівняно з результатом Гейсберга збіль-шуються порядки як старших(цілих) похідних,так і проміжної (дробової).Наведемо спочатку основні використовувані означення.Через С - С(К) будемо позначатиг простір усіх неперервних та обмеженихна К функшй Г:В> К знормою ===боїЧерез Г, ‚ (в), 1<р<о, будемо позначати простір вимірюваних функційРІВ - В зі скінченною нормоюНИ,alldot)aspenesssup|4i. ‚ро.Для ге М та зе li,о] позначимочерез Гву;множину функцій Р:К -» К та-ких, що #9 (+) =Е) локально абсолютно неперервна та Ё®).е. L (R)i1 покла-демо Г,„(®):= L(RIAL, (R).Означення 1 [7,с. 95-97]. - Дробовапохідна у формі"Маро порядкуac (0, 1) функуй#: В. > Ввизначаеться формулою © В.Ф. Бабенко, М. С. Чурілова, 200828DINO) = FGegyfet(коли ці інтеграли існують), де T(x) - гама-функція Ейлера.. дяДля заданого 2.2 0 та ге М через Ф,, будемо позначати г-Й raперіодичний інтеграл від функції Фо (t) = $21 ЗаМ з нульовим середнм зна-ченням на періоді; Ф, = ф,,. Функції ф,, називають ідеальними сплайнамиЕй-лера.Ми також будемо використовувати такі функції: Ф,,, яка дорівнюєп кт . по+(2) ‚ якщо XE"| 1 max фу,(0), якщо хеВз$, =$ф,, та функцію @,, aKa дорівнює: ф, (х), якщо хе [- n/2, 7/2];max @,(t), якщо хе (x/ 2,00); min, (t), якщо хЕ (-,-п/2). |Результат Гейсберга (4) можна подати в такому вигляді.Теорема 1. Нехай а є (0,1). Для всіх функцій Ї є Li... (R) справедливmouniнерівності  DS,     ин. оi,|2.У даній статті одержано аналог теореми 1 для дробових похідних за Ріс-сом порядку © (0,2) |7; при цьому порядок старшоїпохідної може дорівню-вати = 2,3,..., та для г - 2знаходиться найкращаконстанта. oeОзначення 2. Дробова похідна за Ріссом ropaony ‹а є (0,2) функціїf:R—>R визначається формулоюово ОхБуох)F(x -а2Г(- а)соз(ол /2) 3J hits(коли цей інтеграл існує); причому при дб- | нормуючий множник вважаєтьсярівним своєму граничномузначенню при а. -» 1, тобто рівним (- 2/ п).Важливу роль у наших міркуваннях відіграватиме теорема порівнянняКолмогорова для похідних. Наведемо її формулювання як воно дається в16, с. 122). Нехаймк)є1,(ВУ , є. (D°£)(x) =Теорема 2. Нехай Р є М, (К.) (г 21,2...) та |ЕЇ, ру. для деякого3. Тоді:291) якщо f(x)= Фо (У), то Е’) «ру,(У) (для г «| у припущенні, щоЕх) існує);2) справедливі непокращувані(в умовах теореми) нерівностіIrs       «ФонКіото.Наведемо основнийрезультатданоїстатті.Теорема 3. Нехай ae (0,2) i r=2,3,.... Тоді для всіх функційfel,„(В) справедлива нерівністьрег Peaps=. о)ФІ     ©Для г=2 константа рес, |. ДоДо у (2) є непокращуваною та (2) перетво-рюється на рівність для функціїФ,.Зауваження. Для ає (0,1) твердженнятеореми встановлено авторами в[10]. У данйй роботі ми покажемо, що міркуванняз (10) практично без змін пе-реносяться на випадок й, є(0,2).Доведення. Візьмемо спочатку."функцію Г таку, що |e!"I, =1 та вибе-ремо2.» 0 так, щоб |І.=$... -Будемо оцінювати|eЕо)Me._ Зауважимо, що ми можемо вважати функцію. Епарною,оскільки для)= f fx)fСх)парної функції f“(x подобою, ЯКО ВИПЛИВА 3 означення похідної,(рчче"Уо)« (реро), та, згідно. 3 властивостями_норми,ь гІ. «|,ler,длива 1 для #.‚ Для доведення нерівності (2) доведемо оцінку(2-4)=05,©). о ©Для цього, враховуючипарність Ї , покажемо, що для всіх h > 0 |[F(h)-£(0)| <6,.(h)-G,,(0)].  4  Е“| ; отже, якщо нерівність справедлива для Ї", вона також справе-Розглянемо 3 випадки.301) Hexat cnowatky 0<h<x Нехай 8(х)=х+ h, якщо хе (- h, 0];2(х)=-х+1, якшо хе (0,h), i 2(к)=0, якщо х є (- В, В). Неважко перевіри-ти, щоf(h)- £(0)=4Че(хе(хх.24,Yepes r(f,х) будемо позначати спадне переставлення звуження функціїIf| на проміжок [- hh] (означення 1 властивост! спадного переставлення [6,с.111-113].Спочатку доведемо одну допоміжну нерівність для переставлень. Точ-ніше, покажемо, що для всіх х є (0,2h)feos, , х)- Р", x)fax >0. | _ (4)0Варто зазначити, що це". о)» г(Р",0) (це випливає з означення пере- ставлення та з того факту, що оскільки ll. =[6.. | ‚ то за теоремою 2> Ноfs lor, ). Далі, покажемо, що різниця (x)= r(6",,x)-r(£”,x) at    знак на інтервалі [0,2h] не більше одного разу. Дійсно, припустимо, що \у зм1-нює знак більше одного разу. Тоді існують три точки у, «У, «У такі, щому, )» 0, wly,)<0 Ta зму)» 0. Позначимо - через 7, та 25(у, «2, «У, 42, « уз ) найближчідо точки у, нуліцієїрізниці. Тоді на інтер-валі (2,2,) буде w(x) < 0 (та w(z,)= 0). Таким чином, на інтервалі (у», 2»)Яихi). НехайХо (0,х, } — така точка, що ГР", х, |= |+хо) . Тоді обов'язково -иіснує така точка х,, що ц'(х,)» 0 і отже (Г(б",х,) Е(f"ху»|=7.23% о): а (5)Але ця нерівність суперечлива. Дійсно,ms :1хо)ЕТem | yer | 2)Фа Ха | , Хо |де точки ху та X, € TAKHMH,Io $")= Pre (x?)= кбжо До того ж іс-==1иКmpd ри 2НЕЕ г 1       нує щонайменше дві точки X} Ta Xx; Taxi, LO  31вх?) єПЕ(жЇ. Але тодіЕЕ:|6;хо) , За теоремою 2 маємо lf"(|<= lorхіДіщо суперечить(5).Нарешті,2h 2h[r(%,..x}dx > [Е"„х)ах0 0Дійсно,згідно з властивостями переставлень ця нерівність еквівалентна нерів-ностіh  їжуг Дах 2 £"(x)|dx ‚Зяка є частковим випадком результату Б. Боянова і Н. Найдьонова |11, теорема3].Ураховуючи все вищесказане, бачимо, що різниця w(x) змінює знак з«у»на «-» та інтеграл від y(x) по інтервалу [0,3], де вона додатна, більший заінтеграл по інтервалу Їх,2h], де вона від'ємна. Таким чином, первіснаP(xучЇмо зростаючи до точки Х та спадаючи після неї, зменшується навеличину, яка менша за максимальне значенняw(x).у точці xX, Я отже залиша-ється невід'ємною. Нерівність(4) доведено.Тоді, згідно 3лемою 3.2.6 [6, с.1 14щекаКиJaxx. ©0Повернемося тепер до нашої оцінки. Враховуючи.властивості перестав-лень та нерівність (6), маємоIf(h)-коеРв(«дах-h <-—5(є", x)r(g,x)dx s<ely м г ~25 [rlИФ, Ххx)r(g,x)dx =aт [65.69(x)dx = Ox. (b)-G,,, (0),0 24що Й потрібно було довести.2) Нехай тепер 5: <h< 5 . Якщо припустити, що для деякого Пlf(h)~ £(0)| > Фу,(в)- 9»,(0), | |то одержуємо суперечність з лемою 3.3.1 (6,с. 119), яка використовується придоведеннітеореми2, і отже, оскільки Ї(х) та ©, ,(x) задовольняють умовитео-реми 2, маємо(в) КО)є,(а), (0).32гт Lo. в3) Для В <|E+) ця нерівність негайно випливає з обмеження№]. = li... -Використовуючи доведену нерівність, одержуємо (зауважимо, iO KOHC-  an,- танта Г(- 0)со5-- є від'ємною при розглядуваних значеннях а.)  fth)+f(-h)—2f(0(реє0є =|ee cy lap2Г(-ии:5< -1 уфыСВ)- 2$.(0) =2Г(- a.)cos> о в(рф,До) є ра,ДО ›‚тобто оцінку (3) доведено.4 цієї оцінки випливає нерівність. «рф,|. = hte D°G,          Підставляючи в одержану нерівність 2., яке за припущенням було вибране рів-ним ^= (5.1. fo)            Ne, для функцій 3| =1 отримуемо нерівність (2):«рIp <воЯкщо тепер взяти довільну функцію + таку, що дес9і.» 0, то, розгля af 0°ф5Е    rf.о родаючи. функцію fe=тoy Ta застосовуючи до неїдоведону нерівність, onep-" жуємо, що нерівність (2) мае місце для всіх функцій f = І,„®).Коли г=-2,то для , є Li,a(R) нерівність перетворюється на рівність, оскільки ler.=,Теорему доведено.Для г» 2 функція бє І.В), оскільки вже її другапохідна має роз-риви в точках - д,л. Тому в цьому випадку ми не можемо застосувати нашунерівність до Ф, і не можемонічого сказатипро точність доведеноїнерівності.Застосувавши до нерівностей (1) та (2) метод Стейна [13] (див. також11, с. 841), одержимо їхні аналоги у просторі г. (В), 1<р<о; при цьомупи-тання про точність одержаних нерівностей залишається відкритим.‘ - . oe 2Теорема 4. 1) Нехай ає (0,1). Для всіх функцій РєЇ/,, (R), l<p<o,справедливі нерівності33 Pe              a|.о2) Нехай с є (0,2) i r=2,3,... Todi для вах функцийfel),(R),1<p<o, pace’ нерівність     об  6, |.сБібліографічні посилання1. Бабенко В.Ф. Неравенства для производных и их приложения / В.Ф. Бабенко,Н.П. Корнейчук, В.А. Кофанов // К., 2003. - 590 с.2. Бабенко В.Ф. Про нерівності типу Колмогоровадля похідних дробового порядку/В.Ф. Бабенко, М.Г. Чурілова:Й Вісник Дніпропетр. ун-ту, Математика. - 2001,Вин.6. — С. 16-20.3. Бабенко В.Ф. О неравенствахтипа Колмогорова для дробных производныхв мно-гомерном случае / В.Ф.Бабенко, М.С. Чурилова// Вісник Дніпропетр. ун-ту, Мате-матика.-- 2003, Вип.8. - С. 26-30.4. Гейсберг С.П.Обобщение неравенства Адамара. Исследования по некоторьм про-блемам конструктивной теорий функций/// C6.‚ науч. тр. ЛОМИ.- 1965. -- 50. -С. 42-54.5. Гейсберг С.П. Дробные.Производные ‘ограниченных на оси функций // Известиявузов. — Математика 11 (1968). — С.51-569.6. КорнейчукН.П. Точные константывтеорииприближений. - М., 1987. - 424с.7. СамкоС.Г. Интегральипроизводньіє дробного порядкаи некоторвіє их приложе-ния./ С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев // Минск,1987. — 650 с.8. ЧуриловаМ.С. `О неравенствахтипаЛандау-Колмогоровадля дробных производ-:ньх на отрезке // Вісник Дніпропетр. ун-ту, Математика, - 2005, Вип.10. - С. 47-—56.9. Arestov V.V. Inequalities ‘for fractional derivatives оon the half.line // Approximation the-ory, Banach center publications. — 1979. -- Мої. 4. -Р. 19-34.10. Babenko V.F. On the Kolmogorov type inequalities for fractional derivatives / V.F. Ba-benko, M.G. Churilova // East Journ. on Approx. — 2002. — V.8, Мо 4. - Р. 437-446.11, Bojanov B. An extension of the Landau-Kolmogorov inequality. A solution of Erdos- problem / B. Bojanov, N. Najdenov // Journal d’Analyse Mathematique. — 1999. — Vol.78.—P. 263-280.12. Magarill-I’yaev G.G. On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on thehalf-line / G.G. Magarill-II’yaev,V.М. Tikhomirov // Anal. Math. — 1981. ~ Vol. 7, №1.— Р. 37-47.13. Stein E.M. Functions of exponential type // Ann. Math. — 1957. — V. 65, Ne 3. — P. 582-592.Надійшла до редколегії20.02.08.34