The number of rational numbers determined by large sets of integers

When $A$ and $B$ are subsets of the integers in $[1,X]$ and $[1,Y]$ respectively, with $|A| \geq \alpha X$ and $|B| \geq \beta X$, we show that the number of rational numbers expressible as $a/b$ with $(a,b)$ in $A \times B$ is $\gg (\alpha \beta)^{1+\epsilon}XY$ for any $\epsilon > 0$, where the implied constant depends on $\epsilon$ alone. We then construct examples that show that this bound cannot in general be improved to $\gg \alpha \beta XY$. We also resolve the natural generalisation of our problem to arbitrary subsets $C$ of the integer points in $[1,X] \times [1,Y]$. Finally, we apply our results to answer a question of S\'ark\"ozy concerning the differences of consecutive terms of the product sequence of a given integer sequence.Comment: 11 page

Contribution au probleme de Goldbach: tout entier superieur a 1 somme d'au plus 13 nombres premiers

SIGLEINIST T 75102 / INIST-CNRS - Institut de l'Information Scientifique et TechniqueFRFranc

Chowla’s Conjecture: From the Liouville Function to the Moebius Function

International audienceThis aim of this short note is to try to clarify the links between different version of the “Chowla conjecture”

On the Missing Log Factor

International audienceThis is a written account of a talk with the same title given during the main Chaire Morlet conference. Its guideline is the elementarily proven bound |\sum _{n\leqslant x}\mu (n)/n|\leqslant 1. The trivial bound for the implied summation is \log x+ \operatorname {\mathrm {\mathcal {O}}}(1), while the Prime Number Theorem tells us that it is o(1). Our starting estimate thus lies in-between, a fact that we explore under different lights

Séries de Dirichlet à deux variables et distribution des valeurs de fonctions arithmétiques

Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables: g(s_1,s_2,a,r) = somme_d=1 r(d) / a(d)s1ds2, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons lim_x?8 1/X somme_d<x_a(d)<z r(d) (0<z=X) et mesurons la vitesse de convergence vers la loi limite. La classe de fonctions a(d) est beaucoup plus large que celle considérée jusqu'à maintenant. L'introduction de r(d) semble nouvelle.We deal with two problems related to Dirichlet series. First we study the analytic continuation of a class of Dirichlet series with two variables: g(s_1,s_2,a,r) = sum_d=1 r(d) / a(d)s1ds2, where a(d) is a positive multiplicative function and r(d) is a multiplicative function. We prove, under suitable hypotheses, a general Theorem which allows us to approach this Dirichlet series by a known series, up to another series for which we get very precise upper bounds. Then we use this tool to get quantitative results on the distribution of values of arithmetical functions. Under suitable hypotheses on the functions a(d) and r(d), we determine lim_x?8 1/X sum_d<x_a(d)<z r(d) (0<z=X) and estimate the rate of convergence towards the limit distribution. The class of functions a(d) is much wider than that considered so far. The introduction of r(d) seems to be new.LILLE1-Bib. Electronique (590099901) / SudocSudocFranceF

Sur deux problèmes concernant les coefficients de Laurent-Stieltjes des séries L de Dirichlet

Dans cette thèse, nous donnons des majorations explicites pour les constantes de Laurent-Stieltjes des séries L de Dirichlet dans deux cas différents. Ces constantes sont les coefficients qui interviennent dans le développement en série de Laurent des séries L de Dirichlet. Cette thèse est composée de trois parties : [A] Dans la première partie, nous donnons, à partir d'une idée due à Matsuoka pour la fonction zêta de Riemann, des majorations explicites de ces coefficients d'ordre élevé lorsque le conducteur du caractère de Dirichlet est fixé. Nous prolongeons la formule de Matsuoka aux fonctions L de Dirichlet et améliorons le résultat de Matsuoka. En utilisant cette majoration, nous déduisons aussi une approximation des fonctions L de Dirichlet au voisinage de z=1 par un polynôme de Taylor relativement court. [B] Dans la deuxième partie de cette thèse, nous donnons une majoration explicite du premier coefficient de Laurent-Stieltjes lorsque le caractère de Dirichlet est un caractère pair qui prend la valeur 1 en 2. Il s'agit là du cas le plus difficile. Ce résultat nous conduit à une amélioration du résultat de Ramaré. Nous en déduisons une majoration explicite pour le nombre des classes pour tout corps quadratique réel et améliorer ainsi un résultat de Le.[C] Dans la troisième partie, nous suivons la méthode de Ramaré pour donner une majoration explicite du premier coefficient lorsque le conducteur du caractère de Dirichlet est divisible par 3, améliorer un résultat de Louboutin.In this thesis, we give an upper bound for the Laurent- Stieltjes constants for the Dirichlet L- series in two different cases. These constants are the coefficients of the expansion in Laurent series of the Dirichlet L-series. This thesis is divided to three parts: [A] In the first part, we give an explicit upper bound for these constants when the Dirichlet character is fixed and its order goes to infinity, starting from an idea due to Matsuoka for the zeta function. We extend the formula of Matsuoka to the Dirichlet L functions, improving previous results. By using this result, we also deduce an approximation of the Dirichlet L-functions in the neighborhood of z=1 by a short Taylor polynomial. [B] The second part of this thesis deals more specifically with the first Laurent- Stieltjes coefficient. We gave an improvement of the known explicit upper bound due to Ramaré for this quantity in the case when the Dirichlet character is even and takes the value1 at 2 (This is the most difficult case). Thanks to this result, we deduce an upper bound for the class number of any real quadratic field, improving on a result by Le.[C] In the last part, we follow the method of Ramaré for giving an upper bound of the first Laurent Stieltjes coefficient but this time in the case when the conductor of the character is divisible by 3. This result is an improvement on a result of Louboutin.LILLE1-Bib. Electronique (590099901) / SudocSudocFranceF

Discrepancy estimates for generalized polynomials

International audienceWe obtain an upper bound for the discrepancy of the sequence ([p(n) a] ss) n= 0 generated by the generalized polynomial [p(x) a] ss, where p(x) is a monic polynomial with real coefficients, a and ss are irrational numbers satisfying certain conditions

Une région explicite sans zéro pour les fonctions L de Dirichlet

Nous étudions la répartition des zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann. Plus précisément, nous montrons qu'il n'y en a pas dans la région [...]. Les méthodes élaborées dans ce cas se généralisent alors à celui des fonctions de Dirichlet et nous établissons que les fonctions L associées à un module q fixé possèdent une région sans zéro à gauche de l'axe Rs=1 de la forme : [...]. À l'exception d'au plus d'une d'entre elles qui correspondrait alors à un caractère réel et qui aurait au plus un zéro réel dans cette zone. De plus, nous précisons que chaque fonction associée à un caractère donné possède au plus quatre zéros proches de l'axe réel dans la région [...]. Enfin, nous appliquons nos résultats à la répartition des nombres premiers dans une progression arithmétique de la forme {a+nq}.LILLE1-BU (590092102) / SudocSudocFranceF