Generalized solutions of elliptic boundary value problems with strong power singularities

The existence of a generalized solution of elliptic boundary value problems and its character of singularities depending on power of data singularities are established

Inverse problem with two unknown time-dependent functions for 2b2b-order differential equation with fractional derivative

We study the inverse problem for a differential equation of order $2b$ with a Riemann-Liouville fractional derivative over time and given Schwartz-type distributions in the right-hand sides of the equation and the initial condition. The generalized (time-continuous in a certain sense) solution $u$ of the Cauchy problem for such an equation, the time-dependent continuous young coefficient and a part of a source in the equation are unknown. In addition, we give the time-continuous values $\Phi_j(t)$ of desired generalized solution $u$ of the problem on a fixed test functions $\varphi_j(x)$, $x\in \mathbb R^n$, namely $(u(\cdot,t),\varphi_j(\cdot))=\Phi_j(t)$, $t\in [0,T]$, $j=1,2$. We find sufficient conditions for the uniqueness of the generalized solution of the inverse problem throughout the layer $Q:=\mathbb R^n\times [0,T]$ and the existence of a solution in some layer $\mathbb R^n\times [0,T_0]$, $T_0\in (0,T]$

Два формулювання узагальненої задачі Коші для півлінійного рівняння дифузії з дробовою похідною за часом

Different equivalent definitions of the Cauchy problem for semi-linear diffusion equation with fractional derivative with respect to time and with the generalized function in the initial condition are offered. The existence and uniqueness theorem and the representation of the solution of such problem for linear homogeneous diffusion equation with fractional derivative with respect to time are obtained.Запропоновано два еквівалентні формулювання задачі Коші для півлінійного рівняння дробового порядку $\alpha\in(0;1)$ за часом з узагальненою функцією в початковій умові. Доведено теорему існування та єдиності, отримано зображення розв'язку такої задачі для лінійного однорідного рівняння з дробовою похідною за часом

Inverse Cauchy problem for fractional telegraph equations with distributions

The inverse Cauchy problem for the fractional telegraph equation $$u^{(\alpha)}_t-r(t)u^{(\beta)}_t+a^2(-\Delta)^{\gamma/2} u=F_0(x)g(t), \;\;\; (x,t) \in {\rm R}^n\times (0,T],$$ with given distributions in the right-hand sides of the equation and initial conditions is studied. Our task is to determinate a pair of functions: a generalized solution $u$ (continuous in time variable in general sense) and unknown continuous minor coefficient $r(t)$. The unique solvability of the problem is established

Обернені крайові задачі для дифузійно-хвильового рівняння з узагальненими функціями в правих частинах

We prove the unique solvability of the problem on determination of the solution $u(x,t)$ of the first boundary value problem for equation$$u^{(\beta)}_t-a(t)\Delta u=F_0(x)\cdot g(t), \;\;\; (x,t) \in (0,l)\times(0,T],$$with fractional derivative $u^{(\beta)}_t$ of the order $\beta\in (0,2)$, generalized functions in initial conditions, and also determination of unknown continuous coefficient a(t)>0, \; t\in [0,T] (or unknown continuous function $g(t)$) under given the values $(a(t)u_x(\cdot,t),\varphi_0(\cdot))$ ($(u(\cdot,t),\varphi_0(\cdot))$, respectively) of according generalized function onto some test function $\varphi_0(x)$.Доведено однозначну розв'язність задач про визначення пари функцій: розв'язку $u(x,t)$ першої крайової задачі для рівняння$$u^{(\beta)}_t-a(t)u_{xx}=F_0(x)\cdot g(t), \;\;\; (x,t) \in(0,l)\times (0,T],$$з дробовою похідною $u^{(\beta)}_t$ порядку $\beta\in (0,2)$, узагальненими функціями в початкових умовах, а також невідомого неперервного коефіцієнта a(t)>0, $t\in [0,T]$ (або невідомої неперервної функції $g(t)$) при відомих значеннях $(a(t)u_x(\cdot,t),\varphi_0(\cdot))$ ($(u(\cdot,t),\varphi_0(\cdot))$) відповідної узагальненої функції на заданій основній функції $\varphi_0(x)$