Estrategias de “semicoarsening” en la aplicación del “smoother” SDI en problemas anisotrópicos tridimensionales

Los problemas anisotrópicos tienen interés bien por su fundamento físico (anisotropía física), bien por la aplicación de métodos en diferencias finitas con mallados no regulares (anisotropía discreta). En trabajos anteriores demostramos que el método de direcciones simultáneas (SDI) cuenta con un competitivo factor de “smoothing” cuando se aplica, con una estrategia de engrosamiento estándar (“standard coarsening“), a problemas isotrópicos 2D, pero si se introducen anisotropías el comportamiento degenera a medida que estas aumentan, requiriendo su corrección la aplicación de adecuadas estrategias de engrosamiento parcial (“semicoarsening”). En este trabajo abordamos el estudio del factor de “smoothing” del método SDI aplicado al problema de Helmholtz tridimensional, mostrándose como con la anisotropía, también aquí, ocurre la degeneración antes citada. El análisis de diferentes estrategias de relajación, bien por líneas (“line coarsening”) o bien por planos (“plane coarsening”), permite desglosar cuales son las técnicas más adecuadas a cada una de las cuatro diferentes situaciones tipo que pueden considerarse, obteniéndose factores que, de nuevo, son competitivos con otros métodos usuales

Partición prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

En este artículo se realiza un análisis constructivo, global y unificador de la descomposición de un cubo en pirámides cuadradas y triangulares. Un problema clásico del que se encuentran soluciones regulares aisladas e inconexas y del que, aquí, se hace un completo y detallado recubrimiento descriptivo de su solución. Un recorrido que en particular detalla la respuesta a cómo realizar la partición prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

Sobre la paralelización de problemas elípticos

En este trabajo se recogen dos de los problemas que aparecen a la hora de resolver numéricamente las ecuaciones de Navier-Stokes. La discretización en la variabletemporal en dichas ecuaciones nos conduce, en cada etapa de tiempo, a un problema de Burgers y un problema de Stokes generalizado, en las variables espaciales. La aplicación de un método de punto fijo y un método de tipo gradiente conjugado, respectivamente, nos lleva a la resolución de un elevado numero de problemas de tipo Helmholtz. Así, en una primera parte, recordamos un algoritmo paralelo que resuelve numéricamente la ecuación de Helmholtz. Por otro lado, la utilización de diferencias finitas centradas sobre un mismo mallado regular para la velocidad y la presión en la resolución del problema de Stokes puede generar soluciones oscilantes, en particular presiones espureas. En una segunda parte, por tanto, se presenta un esquema de discretización para el problema de Stokes, demostrándose mediante un análisis asintótico del error que este regulariza la solución.Ministerio de Ciencia y TecnologíaJunta de Andalucí

Time and space parallelization of the Navier-Stokes equations

In this paper, we will be mainly concerned with a parallel algorithm (in time and space) which is used to solve the incompressible Navier-Stokes problem. This relies on two main ideas: (a) a splitting of the main differential operator which permits to consider independently the most important difficulties (nonlinearity and incompressibility) and (b) the approximation of the resulting stationary problems by a family of second-order one-dimensional linear systems. The same strategy can be applied to two-dimensional and three-dimensional problems and involves the same level of difficulty. It can be also useful for the solution of other more complicate systems like Boussinesq or turbulence models. The behavior of the method is illustrated with some numerical experiments

Resolución en paralelo de las ecuaciones de Navier-Stokes 2D y 3D mediante el método de direcciones simultáneas

En esta memoria se propone un algoritmo de resolución en paralelo del problema incompresible de Navier-Stokes. Mediante este algoritmo se reduce un problema complejo multidimensional al tratamiento de problemas en una variable. Conceptual y prácticamente se resuelve un sistema de ecuaciones en derivadas parciales como un conjunto de problemas diferenciales ordinarios. Este hecho conduce a que el algoritmo tenga igual esquema de aplicación y dificultad numérica en su resolución, independientemente de la dimensión espacial del problema original.Como características globales adicionales se pueden indicar: la paralelización se efectúa a alto nivel, en la formulación del algoritmo: posee un alto nivel de paralelización o elevado número de problemas variables del problema, variable temporal y variables espaciales mediante el método que aquí se analiza y se denomina de direcciones simultáneas; la paralelización es anidada; el algoritmo posee una alta parametrización, habiéndose obtenido un control suficiente de los parámetros; la reducción a problemas unidimensionales conduce a la viabilidad de aplicación de métodos en diferencias finita solventando las dificultades inherentes a esta técnica en dimensiones mayores que la unidad, es aplicable a geometrías complejas, es decir, dominios no rectangulares y múltiplemente conexos, con discretizaciones no regulares, los problemas discretos pueden ser de gran talla, con alto número de variables discretas, aunque los problemas elementales resueltos tienen poca talla; pueden considerarse todo tipo de condiciones de contorno; pueden aplicarse métodos de aceleración de la convergencia englobados en el entorno "multigrid", obteniéndose una ganancia en velocidad superior a veinte con ocho procesadores.El objetivo global donde se enmarca este trabajo consiste en averiguar hasta qué punto la paralelización, llevada al extremo que sea necesario y aplicada de manera adecuada, permite resolver un problema complejo descomponiéndolo en problemas elementales cuya resolución pueda hacerse por supuesto de manera simultánea, sirviéndonos de los numerosos recursos que hoy día existen