Existence of a global weak solution for a reaction-diffusion problem with membrane conditions

Several problems, issued from physics, biology or the medical science, lead to parabolic equations set in two sub-domains separated by a membrane with selective permeability to specific molecules. The corresponding boundary conditions, describing the flow through the membrane, are compatible with mass conservation and energy dissipation, and are called the Kedem-Katchalsky conditions. Additionally, in these models, written as reaction-diffusion systems, the reaction terms have a quadratic behaviour. M. Pierre and his collaborators have developed a complete $L^1$ theory for reaction-diffusion systems with different diffusions. Here, we adapt this theory to the membrane boundary conditions and prove the existence of weak solutions when the initial data has only $L^1$ regularity using the truncation method for the nonlinearities. In particular, we establish several estimates as the $W^{1,1}$ regularity of the solutions. Also, a crucial step is to adapt the fundamental $L^2$ (space, time) integrability lemma to our situation

Équations de réaction-diffusion avec conditions de membrane décrivant l'invasion tumorale

Les problèmes de membrane dans les systèmes de réaction-diffusion trouvent de nombreuses applications en physique, en biologie et en médecine, aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire. Nous nous intéressons à ces systèmes pour le cas de membranes biologiques. L’exemple représentatif étant donné par deux domaines séparés par une membrane perméable. Dans un premier temps, nous commençons par adapter le travail de Sanchez-Palencia à l’égard de systèmes de type fluide dans un milieu poreux afin de déterminer les conditions de membrane effectives, usuellement appelées conditions de Kedem-Katchalsky, en faisant tendre l’épaisseur de la membrane vers 0. Le modèle limite est à la fois biologiquement pertinent et très bien adapté pour des simulations numériques. Les travaux suivants s’intéressent au cas de diffusion linéaire avec des conditions de membrane effectives. En étendant la théorie développée par Pierre et ses collaborateurs, nous établissons l’existence de solutions faibles globales lorsque les données initiales ont une régularité L1 et que les non-linéarités ont une croissance sous-quadratique. Dans un autre travail, nous regardons la situation dans laquelle deux populations réagissent et diffusent dans un même domaine en créant des structures spatiales. Nous étendons cette théorie de Turing au cas d’une membrane perméable. Le résultat obtenu est assez similaire au cas sans membrane mais ici vont jouer un rôle aussi bien les coefficients de diffusion que ceux de perméabilité à l’interface. Enfin, nous présentons une étude plus appliquée en collaboration avec le Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers de l’INSERM à l’Hôpital Saint Antoine à Paris. En effet, les conditions de Kedem-Katchalsky permettent de bien caractériser le flux de cellules tumorales à travers la membrane basale, dans le processus dit d’invasion. C’est une étape clé dans la cascade métastatique qui est composée de plusieurs phases, parmi lesquelles on distingue la dégradation de la membrane. Dans le but d’approfondir notre compréhension du phénomène d’invasion, nous proposons un modèle mathématique représentant la dégradation d’une couche biologique. Nous présentons des simulations numériques et une analyse a priori sur la sensibilité de notre système et sur l’estimation des paramètres. Il s’agit d’un travail préparatoire en attente des résultats expérimentaux.Reaction-diffusion membrane problems find several applications in physics, biology and medical sciences, both in the case of linear and nonlinear diffusion. We mainly focus on the biological setting of two domains separated by a permeable membrane. At first, extending the work by Sanchez-Palencia to the porous medium case, we rigorously derive the effective interface conditions, called Kedem-Katchalsky conditions, as the limit of transmission conditions when the thickness of the membrane converges to zero. This is biologically relevant and convenient for numerical simulations. Then, the following worksregard this limit problem on a zero-thickness membrane, but in the linear case. Extending the theory developed by Pierre and his collaborators, we establish the existence of global weak solutions when initial data have an L^1 regularity and nonlinearities have a sub-quadratic growth. In another work, we look at the situation in which two populations react and diffuse in a single domain creating spatial patterns. We adapt this Turing theory to the case of a permeable membrane. The result is quite similar to the standard case, but pattern formation is influenced both by diffusion and permeability coefficients.Finally, we present a more applied study in collaboration with biologists from the Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers of INSERM at Saint-Antoine Hospital in Paris. In fact, Kedem-Katchalsky conditions can well characterise the flow of tumor cells through the basal membrane, in the so-called invasion process. This is a key step in the metastatic cascade and it is allowed by several stages, among which we distinguish membrane degradation. With the aim of deepening the invasion phenomenon, we propose a mathematical model concerning degradation of a biological layer. We present numerical simulations and an a priori analysis on the sensitivity of our system and on the parameter estimation. This is a preparatory work waiting for experimental results.I problemi di reazione-diffusione con membrana trovano numerose applicazioni in fisica, biologia e medicina, sia nel caso di diffusione lineare che non lineare. Ci interessiamo a questi sistemi nel caso di membrane biologiche. L’esempio rappresentativo é quello di due domini separati da una membrana permeabile. In un primo tempo, estendendo il lavoro di Sanchez-Palencia per le equazioni dei mezzi porosi, ricaviamo in modo rigoroso le condizioni di interfaccia, chiamate condizioni di Kedem-Katchalsky, come limite di condizioni di trasmissione quando lo spessore della membrana converge a zero. Ciò è rilevante dal punto di vista biologico e conveniente per le simulazioni numeriche. I lavori che seguono riguardano questo problema limite su una membrana di spessore zero, ma guardando al caso di diffusione lineare. In un secondo studio, estendendo la teoria sviluppata da Pierre e dai suoi collaboratori, stabiliamo l’esistenza di soluzioni deboli globali quando i dati iniziali hanno una regolarità L1 e le nonlinearità hanno una crescita al più quadratica. In un altro lavoro, guardiamo alla situazione in cui due popolazioni reagiscono e si diffondono in un unico dominio creando strutture spaziali. Adattiamo questa teoria di Turing in presenza di una membrana permeabile. Il risultato è abbastanza simile alla classica teoria di Turing, ma la formazione di pattern é influenzata sia dai coefficienti di diffusione che di permeabilità della membrana. Infine, presentiamo un lavoro più applicato in collaborazione con dei biologi del Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers dell’INSERM all’Ospedale Saint Antoine a Parigi. Infatti, le condizioni di Kedem-Katchalsky possono caratterizzare il flusso di cellule tumorali attraverso la membrana basale, nel cosiddetto processo di invasione. Questo è un passaggio chiave nella cascata metastatica ed è consentito da diverse fasi, tra le quali distinguiamo la degradazione della membrana. Con l’obiettivo di approfondire la nostra conoscenza del fenomeno invasivo, proponiamo un modello matematico che rappresenta la degradazione di una membrana biologica. Presentiamo anche simulazioni numeriche e un’analisi a priori della sensibilità del nostro sistema e della stima dei parametri. Si tratta di un lavoro preparatorio in attesa dei risultati sperimentali

Équations de réaction-diffusion avec conditions de membrane décrivant l'invasion tumorale

Reaction-diffusion membrane problems find several applications in physics, biology and medical sciences, both in the case of linear and nonlinear diffusion. We mainly focus on the biological setting of two domains separated by a permeable membrane. At first, extending the work by Sanchez-Palencia to the porous medium case, we rigorously derive the effective interface conditions, called Kedem-Katchalsky conditions, as the limit of transmission conditions when the thickness of the membrane converges to zero. This is biologically relevant and convenient for numerical simulations. Then, the following worksregard this limit problem on a zero-thickness membrane, but in the linear case. Extending the theory developed by Pierre and his collaborators, we establish the existence of global weak solutions when initial data have an L^1 regularity and nonlinearities have a sub-quadratic growth. In another work, we look at the situation in which two populations react and diffuse in a single domain creating spatial patterns. We adapt this Turing theory to the case of a permeable membrane. The result is quite similar to the standard case, but pattern formation is influenced both by diffusion and permeability coefficients.Finally, we present a more applied study in collaboration with biologists from the Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers of INSERM at Saint-Antoine Hospital in Paris. In fact, Kedem-Katchalsky conditions can well characterise the flow of tumor cells through the basal membrane, in the so-called invasion process. This is a key step in the metastatic cascade and it is allowed by several stages, among which we distinguish membrane degradation. With the aim of deepening the invasion phenomenon, we propose a mathematical model concerning degradation of a biological layer. We present numerical simulations and an a priori analysis on the sensitivity of our system and on the parameter estimation. This is a preparatory work waiting for experimental results.Les problèmes de membrane dans les systèmes de réaction-diffusion trouvent de nombreuses applications en physique, en biologie et en médecine, aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire. Nous nous intéressons à ces systèmes pour le cas de membranes biologiques. L’exemple représentatif étant donné par deux domaines séparés par une membrane perméable. Dans un premier temps, nous commençons par adapter le travail de Sanchez-Palencia à l’égard de systèmes de type fluide dans un milieu poreux afin de déterminer les conditions de membrane effectives, usuellement appelées conditions de Kedem-Katchalsky, en faisant tendre l’épaisseur de la membrane vers 0. Le modèle limite est à la fois biologiquement pertinent et très bien adapté pour des simulations numériques. Les travaux suivants s’intéressent au cas de diffusion linéaire avec des conditions de membrane effectives. En étendant la théorie développée par Pierre et ses collaborateurs, nous établissons l’existence de solutions faibles globales lorsque les données initiales ont une régularité L1 et que les non-linéarités ont une croissance sous-quadratique. Dans un autre travail, nous regardons la situation dans laquelle deux populations réagissent et diffusent dans un même domaine en créant des structures spatiales. Nous étendons cette théorie de Turing au cas d’une membrane perméable. Le résultat obtenu est assez similaire au cas sans membrane mais ici vont jouer un rôle aussi bien les coefficients de diffusion que ceux de perméabilité à l’interface. Enfin, nous présentons une étude plus appliquée en collaboration avec le Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers de l’INSERM à l’Hôpital Saint Antoine à Paris. En effet, les conditions de Kedem-Katchalsky permettent de bien caractériser le flux de cellules tumorales à travers la membrane basale, dans le processus dit d’invasion. C’est une étape clé dans la cascade métastatique qui est composée de plusieurs phases, parmi lesquelles on distingue la dégradation de la membrane. Dans le but d’approfondir notre compréhension du phénomène d’invasion, nous proposons un modèle mathématique représentant la dégradation d’une couche biologique. Nous présentons des simulations numériques et une analyse a priori sur la sensibilité de notre système et sur l’estimation des paramètres. Il s’agit d’un travail préparatoire en attente des résultats expérimentaux.I problemi di reazione-diffusione con membrana trovano numerose applicazioni in fisica, biologia e medicina, sia nel caso di diffusione lineare che non lineare. Ci interessiamo a questi sistemi nel caso di membrane biologiche. L’esempio rappresentativo é quello di due domini separati da una membrana permeabile. In un primo tempo, estendendo il lavoro di Sanchez-Palencia per le equazioni dei mezzi porosi, ricaviamo in modo rigoroso le condizioni di interfaccia, chiamate condizioni di Kedem-Katchalsky, come limite di condizioni di trasmissione quando lo spessore della membrana converge a zero. Ciò è rilevante dal punto di vista biologico e conveniente per le simulazioni numeriche. I lavori che seguono riguardano questo problema limite su una membrana di spessore zero, ma guardando al caso di diffusione lineare. In un secondo studio, estendendo la teoria sviluppata da Pierre e dai suoi collaboratori, stabiliamo l’esistenza di soluzioni deboli globali quando i dati iniziali hanno una regolarità L1 e le nonlinearità hanno una crescita al più quadratica. In un altro lavoro, guardiamo alla situazione in cui due popolazioni reagiscono e si diffondono in un unico dominio creando strutture spaziali. Adattiamo questa teoria di Turing in presenza di una membrana permeabile. Il risultato è abbastanza simile alla classica teoria di Turing, ma la formazione di pattern é influenzata sia dai coefficienti di diffusione che di permeabilità della membrana. Infine, presentiamo un lavoro più applicato in collaborazione con dei biologi del Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers dell’INSERM all’Ospedale Saint Antoine a Parigi. Infatti, le condizioni di Kedem-Katchalsky possono caratterizzare il flusso di cellule tumorali attraverso la membrana basale, nel cosiddetto processo di invasione. Questo è un passaggio chiave nella cascata metastatica ed è consentito da diverse fasi, tra le quali distinguiamo la degradazione della membrana. Con l’obiettivo di approfondire la nostra conoscenza del fenomeno invasivo, proponiamo un modello matematico che rappresenta la degradazione di una membrana biologica. Presentiamo anche simulazioni numeriche e un’analisi a priori della sensibilità del nostro sistema e della stima dei parametri. Si tratta di un lavoro preparatorio in attesa dei risultati sperimentali

Équations de réaction-diffusion avec conditions de membrane décrivant l'invasion tumorale

Reaction-diffusion membrane problems find several applications in physics, biology and medical sciences, both in the case of linear and nonlinear diffusion. We mainly focus on the biological setting of two domains separated by a permeable membrane. At first, extending the work by Sanchez-Palencia to the porous medium case, we rigorously derive the effective interface conditions, called Kedem-Katchalsky conditions, as the limit of transmission conditions when the thickness of the membrane converges to zero. This is biologically relevant and convenient for numerical simulations. Then, the following worksregard this limit problem on a zero-thickness membrane, but in the linear case. Extending the theory developed by Pierre and his collaborators, we establish the existence of global weak solutions when initial data have an L^1 regularity and nonlinearities have a sub-quadratic growth. In another work, we look at the situation in which two populations react and diffuse in a single domain creating spatial patterns. We adapt this Turing theory to the case of a permeable membrane. The result is quite similar to the standard case, but pattern formation is influenced both by diffusion and permeability coefficients.Finally, we present a more applied study in collaboration with biologists from the Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers of INSERM at Saint-Antoine Hospital in Paris. In fact, Kedem-Katchalsky conditions can well characterise the flow of tumor cells through the basal membrane, in the so-called invasion process. This is a key step in the metastatic cascade and it is allowed by several stages, among which we distinguish membrane degradation. With the aim of deepening the invasion phenomenon, we propose a mathematical model concerning degradation of a biological layer. We present numerical simulations and an a priori analysis on the sensitivity of our system and on the parameter estimation. This is a preparatory work waiting for experimental results.Les problèmes de membrane dans les systèmes de réaction-diffusion trouvent de nombreuses applications en physique, en biologie et en médecine, aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire. Nous nous intéressons à ces systèmes pour le cas de membranes biologiques. L’exemple représentatif étant donné par deux domaines séparés par une membrane perméable. Dans un premier temps, nous commençons par adapter le travail de Sanchez-Palencia à l’égard de systèmes de type fluide dans un milieu poreux afin de déterminer les conditions de membrane effectives, usuellement appelées conditions de Kedem-Katchalsky, en faisant tendre l’épaisseur de la membrane vers 0. Le modèle limite est à la fois biologiquement pertinent et très bien adapté pour des simulations numériques. Les travaux suivants s’intéressent au cas de diffusion linéaire avec des conditions de membrane effectives. En étendant la théorie développée par Pierre et ses collaborateurs, nous établissons l’existence de solutions faibles globales lorsque les données initiales ont une régularité L1 et que les non-linéarités ont une croissance sous-quadratique. Dans un autre travail, nous regardons la situation dans laquelle deux populations réagissent et diffusent dans un même domaine en créant des structures spatiales. Nous étendons cette théorie de Turing au cas d’une membrane perméable. Le résultat obtenu est assez similaire au cas sans membrane mais ici vont jouer un rôle aussi bien les coefficients de diffusion que ceux de perméabilité à l’interface. Enfin, nous présentons une étude plus appliquée en collaboration avec le Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers de l’INSERM à l’Hôpital Saint Antoine à Paris. En effet, les conditions de Kedem-Katchalsky permettent de bien caractériser le flux de cellules tumorales à travers la membrane basale, dans le processus dit d’invasion. C’est une étape clé dans la cascade métastatique qui est composée de plusieurs phases, parmi lesquelles on distingue la dégradation de la membrane. Dans le but d’approfondir notre compréhension du phénomène d’invasion, nous proposons un modèle mathématique représentant la dégradation d’une couche biologique. Nous présentons des simulations numériques et une analyse a priori sur la sensibilité de notre système et sur l’estimation des paramètres. Il s’agit d’un travail préparatoire en attente des résultats expérimentaux.I problemi di reazione-diffusione con membrana trovano numerose applicazioni in fisica, biologia e medicina, sia nel caso di diffusione lineare che non lineare. Ci interessiamo a questi sistemi nel caso di membrane biologiche. L’esempio rappresentativo é quello di due domini separati da una membrana permeabile. In un primo tempo, estendendo il lavoro di Sanchez-Palencia per le equazioni dei mezzi porosi, ricaviamo in modo rigoroso le condizioni di interfaccia, chiamate condizioni di Kedem-Katchalsky, come limite di condizioni di trasmissione quando lo spessore della membrana converge a zero. Ciò è rilevante dal punto di vista biologico e conveniente per le simulazioni numeriche. I lavori che seguono riguardano questo problema limite su una membrana di spessore zero, ma guardando al caso di diffusione lineare. In un secondo studio, estendendo la teoria sviluppata da Pierre e dai suoi collaboratori, stabiliamo l’esistenza di soluzioni deboli globali quando i dati iniziali hanno una regolarità L1 e le nonlinearità hanno una crescita al più quadratica. In un altro lavoro, guardiamo alla situazione in cui due popolazioni reagiscono e si diffondono in un unico dominio creando strutture spaziali. Adattiamo questa teoria di Turing in presenza di una membrana permeabile. Il risultato è abbastanza simile alla classica teoria di Turing, ma la formazione di pattern é influenzata sia dai coefficienti di diffusione che di permeabilità della membrana. Infine, presentiamo un lavoro più applicato in collaborazione con dei biologi del Laboratoire de Biologie et Thérapeutique des Cancers dell’INSERM all’Ospedale Saint Antoine a Parigi. Infatti, le condizioni di Kedem-Katchalsky possono caratterizzare il flusso di cellule tumorali attraverso la membrana basale, nel cosiddetto processo di invasione. Questo è un passaggio chiave nella cascata metastatica ed è consentito da diverse fasi, tra le quali distinguiamo la degradazione della membrana. Con l’obiettivo di approfondire la nostra conoscenza del fenomeno invasivo, proponiamo un modello matematico che rappresenta la degradazione di una membrana biologica. Presentiamo anche simulazioni numeriche e un’analisi a priori della sensibilità del nostro sistema e della stima dei parametri. Si tratta di un lavoro preparatorio in attesa dei risultati sperimentali

Effect of a membrane on diffusion-driven Turing instability

This document is a detailed version of a submitted paper and it represents a chapter of the PhD thesis "Evolution equations with membrane conditions" (in preparation).International audienceBiological, physical, medical, and numerical applications involving membrane problems on different scales are numerous. We propose an extension of the standard Turing theory to the case of two domains separated by a permeable membrane. To this aim, we study a reaction–diffusion system with zero-flux boundary conditions on the external boundary and Kedem-Katchalsky membrane conditions on the inner membrane. We use the same approach as in the classical Turing analysis but applied to membrane operators. The introduction of a diagonalization theory for compact and self-adjoint membrane operators is needed. Here, Turing instability is proven with the addition of new constraints, due to the presence of membrane permeability coefficients. We perform an explicit one-dimensional analysis of the eigenvalue problem, combined with numerical simulations, to validate the theoretical results. Finally, we observe the formation of discontinuous patterns in a system which combines diffusion and dissipative membrane conditions, varying both diffusion and membrane permeability coefficients. The case of a fast reaction-diffusion system is also considered

Effective interface conditions for a porous medium type problem

Motivated by biological applications on tumour invasion through thin membranes, we study a porous-medium type equation where the density of the cell population evolves under Darcy's law, assuming continuity of both the density and flux velocity on the thin membrane which separates two domains. The drastically different scales and mobility rates between the membrane and the adjacent tissues lead to consider the limit as the thickness of the membrane approaches zero. We are interested in recovering the effective interface problem and the transmission conditions on the limiting zero-thickness surface, formally derived by Chaplain et al. (2019), which are compatible with nonlinear generalized Kedem-Katchalsky ones. Our analysis relies on a priori estimates and compactness arguments as well as on the construction of a suitable extension operator which allows to deal with the degeneracy of the mobility rate in the membrane, as its thickness tends to zero

A model for membrane degradation using a gelatin invadopodia assay

One of the most crucial and lethal characteristics of solid tumors is represented by the increased ability of cancer cells to migrate and invade other organs during the so-called metastatic spread. This is allowed thanks to the production of matrix metalloproteinases (MMPs), enzymes capable of degrading a type of collagen abundant in the basal membrane separating the epithelial tissue from the connective one. In this work, we employ a synergistic experimental and mathematical modelling approach to explore the invasion process of tumor cells. A mathematical model composed of reaction-diffusion equations describing the evolution of the tumor cells density on a gelatin substrate, MMPs enzymes concentration and the degradation of the gelatin is proposed. This is completed with a calibration strategy. We perform a sensitivity analysis and explore a parameter estimation technique both on synthetic and experimental data in order to find the optimal parameters that describe the in vitro experiments. A comparison between numerical and experimental solutions ends the work.Asymptotic approach to spatial and dynamical organization

Deciphering circulating tumor cells binding in a microfluidic system thanks to a parameterized mathematical model

Metastatic spread is a crucial process in which some questions remain unanswered. In this work, we focus on tumor cells circulating in the bloodstream, so-called Circulating Tumor Cells (CTCs). We aim to characterize their trajectories under the influence of hemodynamic forces and adhesion forces resulting from interaction with an endothelial layer using in vitro measurements performed with a microfluidic device. This essential step in tumor spread precedes intravascular arrest and metastatic extravasation. Our strategy is based on a differential equation model - a Poiseuille model for the fluid velocity and an ODE system for the cell adhesion model - and allows us to separate the two phenomena underlying cell motion: transport of the cell through the fluid and adhesion to the endothelial layer. A robust calibration procedure enables us to characterize the dynamics. Our strategy reveals the expected role of the glycoprotein CD44 compared to the integrin ITGB1 in the deceleration of CTCs and quantifies the strong impact of the fluid velocity in the protein binding