Grigori Kuzmin and Stellar Dynamics

Grigori Kuzmin was a very gifted dynamicist and one of the towering figures in the distinguished history of the Tartu Observatory. He obtained a number of important results in relative isolation which were later rediscovered in the West. This work laid the foundation for further advances in the theory of stellar systems in dynamical equilibrium, thereby substantially increasing our understanding of galaxy dynamics.Comment: 10 pages, 1 figure, to appear in Baltic Astronomy, proceedings of the conference "Expanding the Universe" held in Tartu, Estonia, 27-29 April, 201

Duality between integrable Stackel systems

For the Stackel family of the integrable systems a non-canonical transformation of the time variable is considered. This transformation may be associated to the ambiguity of the Abel map on the corresponding hyperelliptic curve. For some Stackel's systems with two degrees of freedom the 2x2 Lax representations and the dynamical r-matrix algebras are constructed. As an examples the Henon-Heiles systems, integrable Holt potentials and the integrable deformations of the Kepler problem are discussed in detail.Comment: LaTeX2e, 18 page

Die begleitenden Grenzkugeln krummer Flächen

Den Kurvennetzen auf krummen Flächen werden die Kugeln zugeordnet, die jeweils durch die vier Eckpunkte einer Masche des Netzes bestimmt sind. Wenn man die Maschen in der Grenze zu Punkten zusammenschrumpfen läßt, so ergeben sich im allgemeinen bestimmte Grenzkugeln, deren Halbmesser wesentlich durch die Natur des Kurvennetzes bestimmt sind. Eine Ausnahme bilden gewisse Netze, aus deren Grenzkugeln sich Eigenschaften der Fläche selbst erschließen lassen, und zwar gelangt man auf diese Art zu den Krümmungslinien und den Hauptkrümmungshalbmessern der klassischen Flächentheorie, die so mit eine neue und zu neuen Fragestellungen führende Begründung erhält

Bemerkungen zum Prinzip des kleinsten Zwanges

Bei den allgemeinen Untersuchungen, die bis jetzt über das Prinzip des kleinsten Zwanges angestellt worden sind, werden die Voraussetzungen, die man über das betrachtete mechanische System, macht oder machen muß, nirgends genau angegeben. Hieraus erklärt es sich, daß gewisse Sätze, die ohne Beschränkungen ausgesprochen werden, in besonderen Fällen versagen. Der Zweck der vorliegenden, zugleich kritischen und aufbauenden Abhandlung ist es, für die Anwendungen des Gaußschen Prinzips eine sichere Grundlage zu schaffen

Geschichte der Funktionentheorie im achtzehnten Jahrhundert

Dieser Artikel kann als eine Ergänzung zur Abhandlung: ,,Integration durch imaginäres Gebiet. Ein Beitrag zur Geschichte der Funktionentheorie'' betrachtet werden und behandelt ebenso wie dieser die Geschichte der Funktionen einer komplexen Veränderlichen; aber die Untersuchungen, die hier in Betracht kommen, haben wesentlich zum Ausgangspunkt gewisse Probleme der Hydrodynamik. Bei der Behandlung eines solchen Problemes hatte schon Clairaut (1743) einen Satz aufgestellt, der in nahem Zusammenhang mit der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen steht; aber noch wichtiger waren die Untersuchungen von d'Alembert, der, veranlaßt durch eine Aufgabe aus der ydrodynamik, teils (1752) die partiellen Differentialgleichungen dp/dz = -dp/dx, dp/dx = dq/dz mittels Funktionen komplexen Argumentes integrierte, teils (1761) erkannte, daß diese Funktionen p und q derselben partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung d²phi/dz² + d²phi/dx² = 0 genügen. Die d'Alembertsche Integrationsmethode ist von Euler (1755) für ein Problem der Hydrodynamik und von Lagrange (1772) für die Theorie der geographischen Karten verwertet worden. Anhangsweise bringt Stäckel einige Bemerkungen über die Entdeckung des sogenannten ,,Theorems von Frullani''. (Rezension von Gustaf Eneström (1852-1923) im Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, Band 32, 1901, S. 48-49

Ein Brief Eulers an d'Alembert

Der fragliche Brief ist vom 15. Februar 1748 datiert, und Jacobi hatte ihn 1848 eingesehen. Seitdemist das Schicksal des Briefes unbekannt gewesen, aber Stäckel hat den Verbleib ermittelt und veröffentlicht hier den Brief nebst einer Einleitung über dessen Geschichte und dessen Inhalt. Euler beschäftigt sich darin mit drei Gegenständen: 1. Bewegung nicht genau sphärischer Körper; 2. Logarithmen negativer Zahlen; 3. Potenzentwicklung des unendlichen Produktes (1-x)(1-x²)(1-x³)... und Zusammenhang des Koeffizienten dieser Entwicklung mit der sogenannten ,,Partitio numerorum'' (d.h. auf wie viele Arten ganze Zahlen sich als Summe kleinerer ganzer Zahlen darstellen lassen). (Rezension von Gustaf Eneström (1852-1923) im Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, Band 41, 1910

Beiträge zur Kritik der Differentialgeometrie

Bei der Erklärung einer Reihe wichtiger Begriffe pflegt man sich in der Differentialgeometrie auf die Umgebung eines Punktes zu beschränken, wobei geometrische Bedeutung und analytische Darstellung einander vollständig decken. Die Übereinstimmung kann jedoch aufhören, wenn man über die Umgebung hinausgeht, und man muß daher zwischen geometrischer und analytischer Fortsetzung unterscheiden. Die Vernachlässigung dieses Umstandes hat, wie an Beispielen nachgewiesen wird, zu Fehlschlüssen und scheinbaren Widersprüchen geführt, die noch keine hinreichende Aufklärung gefunden hatten

Variierte Kurven bei Daniel Bernoulli und Leonhard Euler

Der Autor behandelt die für eine richtige Geschichtsschreibung wichtige Lehre, daß aus der Kenntnis eines Forschers von den Sätzen A und B für ihn nicht die Kenntnis der Verbindung (A,B) folgen müsse. Nachgewiesen wird dies an zwei Beispielen bei Euler: das erste aus der Lehre von der totalen Differentialgleichungen in ihrer Beziehung zur Geradstreckung ebener Kurven, das zweite aus der Lehre von der Variationsrechnung einerseits und den kleinen Schwingungen einer Seite andererseits. (Rezension von Peter Treutlein (1845-1912) im Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, Band 40. 1909

Äquivalenzprobleme aus der Dynamik gebundener Punktbewegungen

Im Anschluß an frühere Untersuchungen über die analytische Äquivalenz dynamischer Probleme und die Transformationen von Bewegungen behandelt der Verfasser die Bewegung eines materiellen Punktes auf einer festen Kurve unter dem Einfluß einer Zentralkraft, und es gelingt ihm, bemerkenswerte Beziehungen zwischen gewissen Klassen solcher Probleme herzustellen. Im besonderen wird gezeigt, daß es bei einem beliebig im Raume gelegenen Zentrum stets eine äquivalente ebene Kurve gibt, in deren Ebene das Zentrum liegt, und bei Bewegungen auf einem festen Kreise und Anziehung oder Abstoßung proportional einer beliebigen Potenz der Entfernung das Zentrum durch ein äquivalentes Zentrum in der Ebene des Kreises ersetzt werden kann

Die Lückenzahlen r-ter Stufe und die Darstellung der geraden Zahlen als Summe und Differenzen ungerader Primzahlen. II. Teil. Mit Beiträgen von W. Weinreich in Frankfurt a. M.

Während der erste Teil (Sitzungsbericht 1917, Abt. A, Abh. 15) Folgen von zwei Primzahlen mit gegebener Differenz betraf, werden im zweiten Teil die Grundlagen für die Untersuchung von Primzahlfolgen mit beliebig vielen, symmetrischen Differenzen gelegt. Unter den Ergebnissen sei hervorgehoben, daß merkwürdige Beziehungen bestehen zwischen den Anzahlen solcher Folgen unter den 2n ersten ganzen Zahlen und den Anzahlen der mehrfachen Darstellungen der geraden Zahl 2n, die bei gewissen anderen Primzahlfolgen mit symmetrischen Differenzen stattfinden