Phase Transitions of the Typical Algorithmic Complexity of the Random Satisfiability Problem Studied with Linear Programming

Here we study the NP-complete $K$-SAT problem. Although the worst-case complexity of NP-complete problems is conjectured to be exponential, there exist parametrized random ensembles of problems where solutions can typically be found in polynomial time for suitable ranges of the parameter. In fact, random $K$-SAT, with $\alpha=M/N$ as control parameter, can be solved quickly for small enough values of $\alpha$. It shows a phase transition between a satisfiable phase and an unsatisfiable phase. For branch and bound algorithms, which operate in the space of feasible Boolean configurations, the empirically hardest problems are located only close to this phase transition. Here we study $K$-SAT ($K=3,4$) and the related optimization problem MAX-SAT by a linear programming approach, which is widely used for practical problems and allows for polynomial run time. In contrast to branch and bound it operates outside the space of feasible configurations. On the other hand, finding a solution within polynomial time is not guaranteed. We investigated several variants like including artificial objective functions, so called cutting-plane approaches, and a mapping to the NP-complete vertex-cover problem. We observed several easy-hard transitions, from where the problems are typically solvable (in polynomial time) using the given algorithms, respectively, to where they are not solvable in polynomial time. For the related vertex-cover problem on random graphs these easy-hard transitions can be identified with structural properties of the graphs, like percolation transitions. For the present random $K$-SAT problem we have investigated numerous structural properties also exhibiting clear transitions, but they appear not be correlated to the here observed easy-hard transitions. This renders the behaviour of random $K$-SAT more complex than, e.g., the vertex-cover problem.Comment: 11 pages, 5 figure

Das Bibliotheksverzeichnis

Das erste systematische Inventarverzeichnis der Bibliothek der Königlichen Akademie der Bildenden Künste München wurde 1822 erstellt. 14 Jahre nach der Neugründung 1808 umfasst es 269 Titel mit 535 Büchern

Pollination ecology and spatial genetic population structure of wild and cultivated species of cacao (Theobroma) in Bolivia

Der tropische Regenwald im südwestlichen Amazonasgebiet ist durch den zunehmenden Bevölkerungsdruck, die wirtschaftliche Ausbeutung, die Abholzung und das Abbrennen großer Flächen für die Viehwirtschaft bedroht. Allgemein zeichnen sich tropische Regenwälder durch eine hohe Diversität von Baumarten und daraus folgenden niedrigen Populationsdichten und entsprechend hohen Distanzen zwischen den Artgenossen aus. Die räumliche Verteilung der Individuen hat grundlegende Konsequenzen auf die Bewegung der Bestäuber und den intraspezifischen Genfluss, was somit die sexuelle Fortpflanzung beeinflusst. Daher ist das Wissen über den Genfluss grundlegend für das Verständnis von Reproduktionserfolgen und dem Management tropischer Baumarten. In dieser Studie untersuchte ich unterschiedliche Aspekte der sexuellen Fortpflanzung von wildem und kultiviertem Kakao (Theobroma cacao) und zwei weiteren Theobroma-Arten in Bolivien. Folgende Hypothesen wurden angenommen: 1) Wilde und kultivierte Pflanzen von T. cacao in Bolivien sind genetisch unterschiedlich; 2) Die Verteilungsdistanz der Pollen wilder Kakaopflanzen ist größer als die der kultivierten Pflanzen; 3) Es existiert ein gewisser Genfluss zwischen den wilden und den kultivierten Pflanzen von T. cacao; 4) Die Ansammlung der Bestäuber unterscheidet sich zwischen den Populationen wilder und kultivierter Pflanzen von T. cacao, sowohl in Bezug auf die taxonomische Zusammensetzung als auch in der Abundanz der Blütenbesucher; 5) Die kleinräumige genetische Struktur der Theobroma-Arten ist aufgrund der Abhängigkeit von Tieren bezüglich Bestäubung und Samenverbreitung gemäßigt. Zu diesem Zweck wurden im Tiefland von Bolivien drei verbreitete Arten der Gattung Theobroma ausgewählt: T. cacao L. (wild und kultiviert), T. speciosum Willd. ex Spreng und T. subincanum Mart. Diese Arten sind stammblütige Bäume des Unterwuchses. Sie haben zahlreiche kleine Blüten und schwere Früchte mit essbaren Samen, welche von Fruchtfleisch umgeben sind. Um den Pollenfluss des Kakaos zu untersuchen, schätzte ich den Grad der Selbstbestäubung und die Distanz der Pollenverbreitung sowie den Genfluss zwischen wildem und kultiviertem Kakao. Ich untersuchte zudem, ob sich die wilden von den kultivierten Kakaobäumen genetisch unterscheiden. Um die Kakaobestäuber zu identifizieren, dokumentierte ich die Zusammensetzung der Blütenbesucher auf wildem und kultiviertem Kakao. Weiterhin ermittelte ich die genetische Diversität und die kleinräumige genetische Struktur (SGS) der drei Theobroma-Arten, um die Distanzen der genetischen Verbreitung aus den Mustern der SGS zu schätzen. Die Ergebnisse zeigen, dass wilder und kultivierter Kakao sich genetisch unterscheiden, woraus geschlussfolgert wird,  dass die „wilden“ Populationen des Kakaos im Tiefland Boliviens tatsächlich wilde Formen oder zumindest sehr alte Sorten darstellen. Wilde Populationen zeigten eine geringere genetische Diversität als kultivierter Kakao, was möglicherweise durch die unterschiedliche Herkunft der kultivierten Sorten (z.B. Costa Rica, Trinidad y Tobago) begründet ist. Im Unterschied zu früheren Studien konnte ich Hinweise für die Selbstbestäubung in wildem und kultiviertem Kakao finden, auch wenn die Fremdbestäubung klar dominiert. Selbstbestäubung war häufiger in kultiviertem als im wilden Kakao festzustellen. Die gesamtdurchschnittliche Distanz der Pollenverbreitung betrug 867 m. Die Distanz der Pollenverbreitung des wilden Kakaos lag in einem Bereich von 10 und 3007 m, während die der Pollen des kultivierten Kakaos über Distanzen von 13 bis 2360 m verbreitet wurden. Die Bestäubungsdistanzen des Kakaos waren höher als die der typischen Unterwuchsbaumarten, wenn man die geringen Größen der bestäubenden Mücken berücksichtigt. Der relativ hohe Pollenaustausch von kultiviertem zu wildem Kakao (20%) gefährdet die genetische Identität der wilden Populationen. Weiterhin wurde eine große Auswahl an Blütenbesuchern dokumentiert und erhebliche Unterschiede zwischen den Besuchern des wilden und des kultivierten Kakaos festgestellt. Die Ergebnisse lassen vermuten, dass die Mücken als Haupt- oder gar alleinige Bestäuber in unserem Untersuchungsgebiet nicht in Betracht kommen, da sie zu selten vorkommen. Potenzielle zusätzliche Bestäuber sind die kleine Diptera (z.B. Chloropidae und Phoridae) und Hymenoptera (z.B. Eulophidae und Platygastridae). Die wilden Verwandten des T. cacao, T. speciosum und T. subincanum zeigten eine relativ hohe genetische Diversität. Die Arten von Theobroma hatten eine niedrige, aber signifikant kleinräumige genetische Struktur. T. speciosum zeigte die höchste Distanz der Pollenverbreitung, was auf eine effiziente Samen- und Pollenverbreitung hindeutet, wohingegen T. subincanum die strukturiertere Art mit der geringsten Distanz der Genverbreitung war.  Abschließend sollten bei verbessertem Management der Kakao-Populationen folgende Punkte beachtet werden: Die hohe Distanz der Pollenverbreitung bei Kakao und der relativ hohe Pollenaustausch von kultiviertem zu wildem Kakao zeigt die Notwendigkeit des Schutzes weitläufiger Naturwälder. Um die genetische Identität des wilden Kakaos in Bolivien zu schützen und zusätzlich den genetischen Austausch zwischen den wilden Populationen zu unterstützen, sollte die genetische Variabilität lebensfähiger Populationen zu erhalten werden. Die kleinräumige genetische Struktur in Theobroma macht die Bedeutung des Schutzes der samenverbreitenden Tiere deutlich, um die genetischen Ressourcen dieser tropischen Baumgattung zu erhalten

Simple derivation of the frequency dependent complex heat capacity

This paper gives a simple derivation of the well-known expression of the frequency dependent complex heat capacity in modulated temperature experiments. It aims at clarified again that the generalized calorimetric susceptibility is only due to the non-equilibrium behaviour occurring in the vicinity of thermodynamic equilibrium of slow internal degrees of freedom of a sample when the temperature oscillates at a well determined frequency