Matrix model correlation functions and lattice data for the QCD Dirac operator with chemical potential

We apply a complex chiral random matrix model as an effective model to QCD with a small chemical potential at zero temperature. In our model the correlation functions of complex eigenvalues can be determined analytically in two different limits, at weak and strong non-Hermiticity. We compare them to the distribution of the smallest Dirac operator eigenvalues from quenched QCD lattice data for small values of the chemical potential, appropriately rescaled with the volume. This confirms the existence of two different scaling regimes from lattice data

Individual complex Dirac eigenvalue distributions from random matrix theory and lattice QCD at nonzero chemical potential

We analyze how individual eigenvalues of the QCD Dirac operator at nonzero chemical potential are distributed in the complex plane. Exact and approximate analytical results for such distributions are derived from non-Hermitian random matrix theory. When comparing these to lattice QCD spectra close to the origin, excellent agreement is found for zero and nonzero topology at several values of the chemical potential. Our analytical results are also applicable to other physical systems in the same symmetry class

Distributions of individual Dirac eigenvalues for QCD at non-zero chemical potential: RMT predictions and lattice results

For QCD at non-zero chemical potential $\mu$, the Dirac eigenvalues are scattered in the complex plane. We define a notion of ordering for individual eigenvalues in this case and derive the distributions of individual eigenvalues from random matrix theory (RMT). We distinguish two cases depending on the parameter $\alpha=\mu^2 F^2 V$, where $V$ is the volume and $F$ is the familiar low-energy constant of chiral perturbation theory. For small $\alpha$, we use a Fredholm determinant expansion and observe that already the first few terms give an excellent approximation. For large $\alpha$, all spectral correlations are rotationally invariant, and exact results can be derived. We compare the RMT predictions to lattice data and in both cases find excellent agreement in the topological sectors $\nu=0,1,2$

Random matrix theory of unquenched two-colour QCD with nonzero chemical potential

We solve a random two-matrix model with two real asymmetric matrices whose primary purpose is to describe certain aspects of quantum chromodynamics with two colours and dynamical fermions at nonzero quark chemical potential mu. In this symmetry class the determinant of the Dirac operator is real but not necessarily positive. Despite this sign problem the unquenched matrix model remains completely solvable and provides detailed predictions for the Dirac operator spectrum in two different physical scenarios/limits: (i) the epsilon-regime of chiral perturbation theory at small mu, where mu^2 multiplied by the volume remains fixed in the infinite-volume limit and (ii) the high-density regime where a BCS gap is formed and mu is unscaled. We give explicit examples for the complex, real, and imaginary eigenvalue densities including Nf=2 non-degenerate flavours. Whilst the limit of two degenerate masses has no sign problem and can be tested with standard lattice techniques, we analyse the severity of the sign problem for non-degenerate masses as a function of the mass split and of mu. On the mathematical side our new results include an analytical formula for the spectral density of real Wishart eigenvalues in the limit (i) of weak non-Hermiticity, thus completing the previous solution of the corresponding quenched model of two real asymmetric Wishart matrices.Comment: 45 pages, 31 figures; references added, as published in JHE

Individual complex Dirac eigenvalue distributions from random matrix theory and comparison to quenched lattice QCD with a quark chemical potential

We analyze how individual eigenvalues of the QCD Dirac operator at nonzero quark chemical potential are distributed in the complex plane. Exact and approximate analytical results for both quenched and unquenched distributions are derived from non-Hermitian random matrix theory. When comparing these to quenched lattice QCD spectra close to the origin, excellent agreement is found for zero and nonzero topology at several values of the quark chemical potential. Our analytical results are also applicable to other physical systems in the same symmetry class.Comment: 4 pages, 4 figures, minor changes, as published in Phys. Rev. Let

Partially quenched chiral perturbation theory in the epsilon regime at next-to-leading order

We calculate the partition function of partially quenched chiral perturbation theory in the epsilon regime at next-to-leading order using the supersymmetry method in the formulation without a singlet particle. We include a nonzero imaginary chemical potential and show that the finite-volume corrections to the low-energy constants $\Sigma$ and $F$ for the partially quenched partition function, and hence for spectral correlation functions of the Dirac operator, are the same as for the unquenched partition function. We briefly comment on how to minimize these corrections in lattice simulations of QCD. As a side result, we show that the zero-momentum integral in the formulation without a singlet particle agrees with previous results from random matrix theory.Comment: 19 pages, 4 figures; minor changes, to appear in JHE

Die Wirkung von Theraplay: Die Wirkung von Theraplay auf Klein- und Vorschulkinder mit klinisch bedeutsamen Verhaltensstörungen, Aufmerksamkeitsdefiziten mit und ohne Hyperaktivität und mit rezeptiven Sprachstörungen

Hintergrund: In Deutschland fallen zunehmend mehr Schüler/innen durch Lernstörungen, störendes Sozialverhalten und Sprachdefizite auf. Sie tragen selbst ein erhebliches Lernrisiko und behindern andere im Unterricht. Zugleich fordert die stetig sinkende Geburtenrate, das Potential an qualifizierten Schulabgängern zu steigern und den Anteil sonderpädagogisch zu fördernder Kinder zu senken. Es gilt, gefährdete Kinder bereits frühzeitig effektiv, nachhaltig und kosteneffizient zu therapieren. Therapieform: Theraplay ist eine entwicklungsorientierte, interaktive, von Therapeut/innen geführte Kurzzeit-Spieltherapie für psychisch gestörte Kinder unter Einbindung der Eltern. Sie wurde im Rahmen des amerikanischen Head Start Projekts konzipiert, hat sich in der Praxis bewährt, wurde aber bisher nicht wissenschaftlich evaluiert. Methodik: Zur Evaluation der Wirkung von Theraplay wurden zwei Feldstudien durchgeführt: 1998-2006 eine kontrollierte Längsschnittstudie (LSS) mit Nachuntersuchungen zwei Jahre nach der Behandlung (APA-Klassifikation A-) und 2000-200 zur Replikation der LSS6 eine Pre-Post-Untersuchung (APA-Klassifikation B) als Multi-Center Studie (MCS) in neun unterschiedlichen Therapieeinrichtungen. Stichproben: Die LSS basiert auf einer angefallenen Nettostichprobe von 60 Patient/innen mit dualer Diagnose von Verhaltens- und Sprachentwicklungsstörungen (random sample) sowie einer Kontrollstichprobe mit 30 klinisch unauffälligen Kindern gleichen Alters und Geschlechts (matched sample) und deren jeweiligen Eltern. Die MCS umfasste 333 Patient/innen mit vergleichbaren Diagnosen. In den klinischen LSS- bzw. MCS-Stichproben wurden 23 bzw. 186 Patient/innen mit oppositionell verweigerndem Verhalten, 22 bzw. 167 mit scheuem, sozial zurückgezogenem Verhalten, 14 bzw. 67 mit autistoidem Mangel an sozialer Gegenseitigkeit, einem Kernsymptom des autistischen Spektrums, 24 bzw. 127 mit ADHS, 26 bzw. 123 mit ADS und 52 bzw. 223 mit rezeptiven Sprachstörungen diagnostiziert. Die MCS-Stichprobe konnte aufgrund ihrer größeren Patient/innenanzahl in Substichproben mit schwerer, deutlicher oder leichter Symptomatik differenziert werden. Ergebnisse: Die Hypothesen zur Wirksamkeit von Theraplay wurden durch beide Studien bestätigt. Theraplay erwies sich als geeignet, die untersuchten Verhaltensstörungen klinisch bedeutsam (Effektgröße durchschnittlich d>|0.80|) und statistisch signifikant (Fehlerwahrscheinlichkeit durchschnittlich p<.0001) zu verringern, wenn auch unterschiedlich effektiv. Eher umweltbedingte Verhaltensstörungen wie oppositionell verweigerndes, unkooperatives, scheues oder sozial zurückgezogenes Verhalten sowie Aufmerksamkeitsstörung ohne Hyperaktivität (ADS) besserten sich in durchschnittlich 17-20, bei anfangs schwerer Symptomatik in durchschnittlich 23-24 Therapiesitzungen. Solche Patient/innen waren nach der Therapie ähnlich unauffällig wie die Kontrollkinder. Die Wirkung war nachhaltig. Bis zwei Jahre nach der Therapie gab es keine Rückfälle. Ätiopathogenetische Wechselwirkungen von anlage- und umweltbedingten Aufmerksamkeitsdefizit-Hyperaktivitätsstörungen (ADHS), autistoidem Mangel an sozialer Gegenseitigkeit oder rezeptiven Sprachstörungen verringerten sich im Therapieverlauf zwar ebenfalls effektstark und statistisch signifikant, jedoch nach durchschnittlich 23-28, in schweren Fällen nach 30-31 Therapiesitzungen nur bis zu einer verbleibenden leichten bis deutlichen Symptomatik. Nur Patient/innen mit anfangs leichter Symptomatik waren nach der Therapie klinisch unauffällig. Einige der vermutlich eher anlagebedingten Symptome verschlechterten sich bis zwei Jahre nach der Therapie wieder, wenn auch statistisch nicht signifikant. Patient/innen mit rezeptiven Sprachstörungen hatten vermutlich frühkindlich eine wichtige Entwicklungsstufe übersprungen, die sie in der Therapie nachholen konnten. Ihr Sprachverständnis wurde durchschnittlich in 19-20, bei schweren Störungen in 22-23 Therapiesitzungen angebahnt und entwickelte sich auch in den Jahren nach der Therapie weiter fort. Schlussfolgerung: Die Wirkung von Theraplay hat sich auf unterschiedlichem Niveau als nachhaltig wirksam und hinsichtlich der notwendigen Anzahl Therapiesitzungen als effizient erwiesen. Es kann erwartet werden, dass Theraplay auf eher umweltbedingte Verhaltensauffälligkeiten effektiv und effizient wirkt, dass jedoch eher anlagebedingte Symptome sich nur bis zu leichter Symptomatik verringern lassen und teilweise zu leichten Rückfällen tendieren. Rezeptive Sprachstörungen reduzieren sich, wenn das Sprachverständnis erst einmal angebahnt ist, auch nach der Therapie noch weiter. Die Ergebnisse beider Feldstudien zeigten eine hohe Übereinstimmung

Random matrix analysis of the QCD sign problem for general topology

Motivated by the important role played by the phase of the fermion determinant in the investigation of the sign problem in lattice QCD at nonzero baryon density, we derive an analytical formula for the average phase factor of the fermion determinant for general topology in the microscopic limit of chiral random matrix theory at nonzero chemical potential, for both the quenched and the unquenched case. The formula is a nontrivial extension of the expression for zero topology derived earlier by Splittorff and Verbaarschot. Our analytical predictions are verified by detailed numerical random matrix simulations of the quenched theory.Comment: 33 pages, 9 figures; v2: minor corrections, references added, figures with increased statistics, as published in JHE

Eigenvalue density of Wilson loops in 2D SU(N) YM

In 1981 Durhuus and Olesen (DO) showed that at infinite N the eigenvalue density of a Wilson loop matrix W associated with a simple loop in two-dimensional Euclidean SU(N) Yang-Mills theory undergoes a phase transition at a critical size. The averages of det(z-W), 1/det(z-W), and det(1+uW)/(1-vW) at finite N lead to three different smoothed out expressions, all tending to the DO singular result at infinite N. These smooth extensions are obtained and compared to each other.Comment: 35 pages, 8 figure

New critical matrix models and generalized universality

We study a class of one-matrix models with an action containing nonpolynomial terms. By tuning the coupling constants in the action to criticality we obtain that the eigenvalue density vanishes as an arbitrary real power at the origin, thus defining a new class of multicritical matrix models. The corresponding microscopic scaling law is given and possible applications to the chiral phase transition in QCD are discussed. For generic coupling constants off-criticality we prove that all microscopic correlation functions at the origin of the spectrum remain in the known Bessel universality class. An arbitrary number of Dirac mass terms can be included and the corresponding massive universality is maintained as well. We also investigate the critical behavior at the edge of the spectrum: there, in contrast to the behavior at the origin, we find the same critical exponents as derived from matrix models with a polynomial action