On k

We define in this paper new distance generalizations of the Pell numbers and the companion Pell numbers. We give a graph interpretation of these numbers with respect to a special 3-edge colouring of the graph

On (2-d)-kernels in the cartesian product of graphs

In this paper we study the problem of the existence of (2-d)-kernels in the cartesian product of graphs. We give sufficient conditions for the existence of (2-d)-kernels in the cartesian product and also we consider the number of (2-d)-kernels

Note about sequences of extrema (A,2B)(A,2B)-edge coloured trees

In this paper we determine successive extremal trees with respect to the number of all $(A,2B)$-edge colourings

Dwoisty charakter ontologii konstytucyjnej z perspektywy czystej teorii prawa.

The subject of the article is the issue of the political nature of the constitution and its scientific description from the point of view of pure Kelsen’s theory of law. We propose in it the thesis that although politics is not an object of legal knowledge, it is a necessary condition of the ontology of constitution. According to this theory, the cognition and description of the constitution (metaphorically speaking: its epistemology) relate to the content of valid norms, while its ontology consists of two elements: legal authorization and political will. The ontology of the constitution has a two-fold character: first, its creation and effectiveness is based primarily on the will of the constitution’s creator and on the will of entities applying the constitution (political aspect); secondly, its objectively validity presupposes that the creator of the constitution has a normative authorization to establish it (legal aspect). The inclusion by pure theory of law of the political at the ontological level is concomitant with its complete removal from the epistemological field. the consequence of such a cleansing of the cognitive field is, firstly, the dependence of the description on the condition of efficacy, i.e. ultimately on the acts of will of the subjects performing the functions of state organs, and, secondly, the ‘defencelessness’ in the event that the legal researcher finds a content incompatibility between the constitution and the acts of its application.The subject of the article is the issue of the political nature of the constitution and its scientific description from the point of view of pure Kelsen’s theory of law. We propose in it the thesis that although politics is not an object of legal knowledge, it is a necessary condition of the ontology of constitution. According to this theory, the cognition and description of the constitution (metaphorically speaking: its epistemology) relate to the content of valid norms, while its ontology consists of two elements: legal authorization and political will. The ontology of the constitution has a two-fold character: first, its creation and effectiveness is based primarily on the will of the constitution’s creator and on the will of entities applying the constitution (political aspect); secondly, its objectively validity presupposes that the creator of the constitution has a normative authorization to establish it (legal aspect). The inclusion by pure theory of law of the political at the ontological level is concomitant with its complete removal from the epistemological field. the consequence of such a cleansing of the cognitive field is, firstly, the dependence of the description on the condition of efficacy, i.e. ultimately on the acts of will of the subjects performing the functions of state organs, and, secondly, the ‘defencelessness’ in the event that the legal researcher finds a content incompatibility between the constitution and the acts of its application.Przedmiotem artykułu jest zagadnienie polityczności konstytucji i jej naukowego opisu z punktu widzenia czystej Kelsenowskiej teorii prawa. Proponujemy w nim tezę, że choć polityczność nie jest przedmiotem poznania prawniczego, to jest ona koniecznym warunkiem ontologii konstytucji. Zgodnie z tą teorią poznanie i opis konstytucji (metaforycznie mówiąc: jej epistemologia) odnoszą się do treści obowiązujących norm, jej ontologia zaś składa się z dwóch elementów: upoważnienia prawnego i woli politycznej. Ontologia konstytucji ma dwojaki charakter: po pierwsze, jej powstanie i skuteczność opierają się przede wszystkim na woli twórcy konstytucji oraz na woli podmiotów stosujących konstytucję (aspekt polityczny); po drugie, jej obiektywnie obowiązująca ważność zakłada posiadanie przez twórcę konstytucji normatywnego upoważnienia do jej ustanowienia (aspekt prawny). Uwzględnienie przez czystą teorię prawa tego, co polityczne na poziomie ontologicznym, jest równoczesne z całkowitym usunięciem go z pola epistemologicznego. Konsekwencją takiego oczyszczenia pola poznawczego jest, po pierwsze, uzależnienie opisu od warunku skuteczności, czyli ostatecznie od aktów woli podmiotów wykonujących funkcje organów państwowych, a po drugie, „bezbronność” w przypadku stwierdzenia przez badacza prawa niezgodności treściowej między konstytucją a aktami jej stosowania

On generalized Mersenne hybrid numbers

The hybrid numbers are generalization of complex, hyperbolic and dual numbers. In this paper we consider  a special kind of hybrid numbers, namely the Mersenne hybrid numbers and we give some of their properties

Odmowa świadczenia w świetle konstytucyjnej zasady równego traktowania i zakazu dyskryminacji. : Kilka uwag na tle doktryny prawa i orzecznictwa konstytucyjnego w Polsce i Republice Federalnej Niemiec.

The subject of this article is the question of the impact of the constitutional principle of equal treatment and the prohibition of discrimination on relationships of a contractual nature. Contracts are the basic tool regulating the rights and obligations of individuals in the sphere of their social and economic life. The title issue is therefore an aspect of a broader issue related to the impact of constitutional freedoms and rights on private law relations.  As is well known, the model feature characterising the formation of relations between private subjects is the principle of will autonomy. One of its manifestations is freedom of contract, according to which the parties may - within the limits set by the law - arrange the legal relationship according to their own will. Among the specific elements shaping the content of contractual freedom, the freedom as to the conclusion of the contract, the choice of the counterparty, the shaping of the content of the contract and the choice of form are traditionally mentioned. In the following remarks, we will be primarily interested in that aspect of contractual freedom which relates to the choice of counterparty. We will try to determine what restrictions on the refusal to conclude a contract with a particular entity result for participants in civil law transactions from the constitutional principle of equal treatment and prohibition of discrimination. This issue will be presented in a comparative legal context showing the experience of the Polish and German constitutional courts. The aim of the article will be an attempt to reconstruct - on the basis of the jurisprudential theses developed within the framework of the interpretation of Article 32 of the Polish Constitution and Article 3 of the Basic Law of the Federal Republic of Germany - a model for resolving cases in which it is necessary to resolve a conflict between the freedom to choose a party and the right to equal treatment and the prohibition of discrimination.  Przedmiotem niniejszego artykułu jest kwestia wpływu konstytucyjnej zasady równego traktowania i zakazu dyskryminacji na stosunki o charakterze umownym. Umowy są podstawowym narzędziem regulującym prawa i obowiązki jednostek w sferze ich życia społecznego i gospodarczego. Tytułowe zagadnienie jest zatem aspektem szerszej problematyki związanej z wpływem konstytucyjnych wolności i praw na stosunki prywatnoprawne.  Jak wiadomo, modelową cechą charakteryzującą kształtowanie stosunków między podmiotami prywatnymi jest zasada autonomii woli. Jednym z jej przejawów jest swoboda umów, zgodnie z którą strony mogą - w granicach określonych przez prawo - ułożyć stosunek prawny zgodnie z własną wolą. Wśród konkretnych elementów kształtujących treść swobody umów tradycyjnie wymienia się swobodę co do zawarcia umowy, wyboru kontrahenta, kształtowania treści umowy oraz wyboru formy. W poniższych uwagach interesować nas będzie przede wszystkim ten aspekt swobody umów, który odnosi się do wyboru kontrahenta. Spróbujemy ustalić, jakie ograniczenia w zakresie odmowy zawarcia umowy z określonym podmiotem wynikają dla uczestników obrotu cywilnoprawnego z konstytucyjnej zasady równego traktowania i zakazu dyskryminacji. Zagadnienie to zostanie przedstawione w kontekście prawnoporównawczym ukazującym doświadczenia polskiego i niemieckiego sądownictwa konstytucyjnego. Celem artykułu będzie próba zrekonstruowania - na podstawie tez orzeczniczych wypracowanych w ramach wykładni art. 32 Konstytucji RP oraz art. 3 Ustawy Zasadniczej Republiki Federalnej Niemiec - modelu rozstrzygania spraw, w których konieczne jest rozstrzygnięcie kolizji pomiędzy swobodą wyboru strony a prawem do równego traktowania i zakazem dyskryminacji

On Types of Distance Fibonacci Numbers Generated by Number Decompositions

We introduce new types of distance Fibonacci numbers which are closely related with number decompositions. Using special decompositions of the number n we give a sequence of identities for them. Moreover, we give matrix generators for distance Fibonacci numbers and their direct formulas

Generalized commutative quaternion polynomials of the Fibonacci type

Generalized commutative quaternions is a number system which generalizes elliptic, parabolic and hyperbolic quaternions, bicomplex numbers, complex hyperbolic numbers and hyperbolic complex numbers. In this paper we introduce and study generalized commutative quaternion polynomials of the Fibonacci type

Total Graph Interpretation of the Numbers of the Fibonacci Type

We give a total graph interpretation of the numbers of the Fibonacci type. This graph interpretation relates to an edge colouring by monochromatic paths in graphs. We will show that it works for almost all numbers of the Fibonacci type. Moreover, we give the lower bound and the upper bound for the number of all (A1,2A1)-edge colourings in trees

On a new two-parameter generalization of dual-hyperbolic Jacobsthal numbers

In this paper we introduce two-parameter generalization of dualhyperbolic Jacobsthal numbers: dual-hyperbolic (s,p)-Jacobsthal numbers. We present some properties of them, among others the Binet formula, Catalan, Cassini, d’Ocagne identities. Moreover, we give the generating function, matrix generator and summation formula for these numbers