Schémas de type Godunov pour la modélisation hydrodynamique et magnétohydrodynamique

The main objective of this thesis concerns the study, design and numerical implementation of finite volume schemes based on the so-Called Godunov-Type solvers for hyperbolic systems of nonlinear conservation laws, with special attention given to the Euler equations and ideal MHD equations. First, we derive a simple and genuinely two-Dimensional Riemann solver for general conservation laws that can be regarded as an actual 2D generalization of the HLL approach, relying heavily on the consistency with the integral formulation and on the proper use of Rankine-Hugoniot relations to yield expressions that are simple enough to be applied in the structured and unstructured contexts. Then, a comparison between two methods aiming to numerically maintain the divergence constraint of the magnetic field for the ideal MHD equations is performed and we show how the 2D Riemann solver can be employed to obtain robust divergence-Free simulations. Next, we derive a relaxation scheme that incorporates gravity source terms derived from a potential into the hydrodynamic equations, an important problem in astrophysics, and finally, we review the design of finite volume approximations in curvilinear coordinates, providing a fresher view on an alternative discretization approach. Throughout this thesis, numerous numerical results are shown.L’objectif principal de cette thèse concerne l’étude, la conception et la mise en œuvre numérique de schémas volumes finis associés aux solveurs de type Godunov. On s’intéresse à des systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires, avec une attention particulière sur les équations d’Euler et les équations MHD idéale. Tout d’abord, nous dérivons un solveur de Riemann simple et véritablement multidimensionnelle, pouvant s’appliquer à tout système de lois de conservation. Ce solveur peut être considéré comme une généralisation 2D de l’approche HLL. Les ingrédients de base de la dérivation sont : la consistance avec la formulation intégrale et une utilisation adéquate des relations de Rankine-Hugoniot. Au final nous obtenons des expressions assez simples et applicables dans les contextes des maillages structurés et non structurés. Dans un second temps, nous nous intéressons à la préservation, au niveau discret, de la contrainte de divergence nulle du champ magnétique pour les équations de la MHD idéale. Deux stratégies sont évaluées et nous montrons comment le solveur de Riemann multidimensionnelle peut être utilisé pour obtenir des simulations robustes à divergence numérique nulle. Deux autres points sont abordés dans cette thèse : la méthode de relaxation pour un système Euler-Poisson pour des écoulements gravitationnels en astrophysique, la formulation volumes finis en coordonnées curvilignes. Tout au long de la thèse, les choix numériques sont validés à travers de nombreux résultats numériques

A Godunov-Type Solver for the Numerical Approximation of Gravitational Flows

International audienceWe present a new numerical method to approximate the solutions of an Euler-Poisson model, which is inherent to astrophysical flows where gravity plays an important role. We propose a discretization of gravity which ensures adequate coupling of the Poisson and Euler equations, paying particular attention to the gravity source term involved in the latter equations. In order to approximate this source term, its discretization is introduced into the approximate Riemann solver used for the Euler equations. A relaxation scheme is involved and its robustness is established. The method has been implemented in the software HERACLES and several numerical experiments involving gravitational flows for astrophysics highlight the scheme

Godunov-type schemes for hydrodynamic and magnetohydrodynamic modeling

L’objectif principal de cette thèse concerne l’étude, la conception et la mise en œuvre numérique de schémas volumes finis associés aux solveurs de type Godunov. On s’intéresse à des systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires, avec une attention particulière sur les équations d’Euler et les équations MHD idéale. Tout d’abord, nous dérivons un solveur de Riemann simple et véritablement multidimensionnelle, pouvant s’appliquer à tout système de lois de conservation. Ce solveur peut être considéré comme une généralisation 2D de l’approche HLL. Les ingrédients de base de la dérivation sont : la consistance avec la formulation intégrale et une utilisation adéquate des relations de Rankine-Hugoniot. Au final nous obtenons des expressions assez simples et applicables dans les contextes des maillages structurés et non structurés. Dans un second temps, nous nous intéressons à la préservation, au niveau discret, de la contrainte de divergence nulle du champ magnétique pour les équations de la MHD idéale. Deux stratégies sont évaluées et nous montrons comment le solveur de Riemann multidimensionnelle peut être utilisé pour obtenir des simulations robustes à divergence numérique nulle. Deux autres points sont abordés dans cette thèse : la méthode de relaxation pour un système Euler-Poisson pour des écoulements gravitationnels en astrophysique, la formulation volumes finis en coordonnées curvilignes. Tout au long de la thèse, les choix numériques sont validés à travers de nombreux résultats numériques.The main objective of this thesis concerns the study, design and numerical implementation of finite volume schemes based on the so-Called Godunov-Type solvers for hyperbolic systems of nonlinear conservation laws, with special attention given to the Euler equations and ideal MHD equations. First, we derive a simple and genuinely two-Dimensional Riemann solver for general conservation laws that can be regarded as an actual 2D generalization of the HLL approach, relying heavily on the consistency with the integral formulation and on the proper use of Rankine-Hugoniot relations to yield expressions that are simple enough to be applied in the structured and unstructured contexts. Then, a comparison between two methods aiming to numerically maintain the divergence constraint of the magnetic field for the ideal MHD equations is performed and we show how the 2D Riemann solver can be employed to obtain robust divergence-Free simulations. Next, we derive a relaxation scheme that incorporates gravity source terms derived from a potential into the hydrodynamic equations, an important problem in astrophysics, and finally, we review the design of finite volume approximations in curvilinear coordinates, providing a fresher view on an alternative discretization approach. Throughout this thesis, numerous numerical results are shown

A Simple Two-Dimensional Extension of the HLL Riemann Solver for Gas Dynamics

We report on our study aimed at deriving a simple method to numerically approximate the solution of the two-dimensional Riemann problem for gas dynamics, using the literal extension of the well-known HLL formalism as its basis. Essentially, any strategy attempting to extend the three-state HLL Riemann solver to multiple space dimensions will by some means involve a piecewise constant approximation of the complex two-dimensional interaction of waves, and our numerical scheme is not the exception. In order to determine closed form expressions for the involved fluxes, we rely on the equivalence between the consistency condition and the use of Rankine-Hugoniot conditions that hold across the outermost planar waves emerging from the Riemann problem's initial discontinuities. The proposed scheme is then carefully designed to simplify its eventual numerical implementation and its advantages are analytically attested. We also present first numerical results that put into evidence its robustness and stability.Cette étude vise à dériver une stratégie numérique simple d'approximation de la solution du problème Riemann bidimensionnelle pour la dynamique des gaz, à travers l'extension du formalisme HLL éprouvé en monodimensionnelle. Essentiellement, la généralisation multidimensionnelle des trois états 1D du solveur HLL conduit, inévitablement, à la construction d'un profil approché de propagation constitué d'états constants et représentatif de la complexité des interactions d'ondes associées au problème de Riemann multidimensionnel. Nous proposons ici d'utiliser la consistance avec la formulation intégrale à travers les relations de Rankine-Hugoniot. Le solveur numérique est alors constitué d'ondes planes séparant des états constants. Les relations de sauts conduisent à formuler les états intermédiaires et les flux comme solution d'un système linéaire, en général surdéterminé, dont le rang est égal au nombre d'inconnus. La méthode des moindres carrés permet de construire une solution qui défini la formulation approchée du problème de Riemann et des différents flux numériques. Les schémas numériques obtenus s'avèrent assez simples à mettre en œuvre. Nous présentons également quelques résultats numériques qui mettent en évidence la robustesse et la stabilité des solveurs multidimensionnelles sur des cas d'écoles de la littérature

A Simple Two-Dimensional Extension of the HLL Riemann Solver for Hyperbolic Systems of Conservation Laws

International audienceWe derive a simple method to numerically approximate the solution of the two-dimensional Riemann problem for gas dynamics, using the literal extension of the well-known HLL formalism as its basis. Essentially, any strategy attempting to extend the three-state HLL Riemann solver to multiple space dimensions will by some means involve a piecewise constant approximation of the complex two-dimensional interaction of waves, and our numerical scheme is not the exception. In order to determine closed form expressions for the involved fluxes, we rely on the equivalence between the consistency condition and the use of Rankine–Hugoniot conditions that hold across the outermost waves. The proposed scheme is carefully designed to simplify its eventual numerical implementation and its advantages are analytically attested. In addition, we show that the proposed solver can be applied to obtain the edge-centered electric fields needed in the constrained transport technique for the ideal magnetohydrodynamic (MHD) equations. We present several numerical results for hydrodynamics and magnetohydrodynamics that display the scheme's accuracy and its ability to be applied to various systems of conservation laws

A relaxation scheme for inviscid flows under gravitational influence

Many astrophysical flows are modeled by the Euler equations with gravity source terms derived from a potential, the evolution of which is described by a Poisson equation. Several gravitational flows reach equilibrium states that are necessary to preserve in the numerical formulation. In this paper, we present the derivation of the relaxation model ? , in which the pressure is a supplementary variable and the Poisson equation is transformed into a hyperbolic equation with a penalty parameter. The corresponding scheme is obtained in the limit as the parameter tends to zero. The proposed Riemann solver, implemented in the software HERACLES ? , provides better robustness compared to other approaches available in the same software and is capable of preserving gravitational equilibria when required. Several numerical tests and results are presented, as well

A Relaxation Scheme for Inviscid Flows under Gravitational Influence

International audienceMany astrophysical flows are modeled by the Euler equations with gravity source terms derived from a potential, the evolution of which is described by a Poisson equation. Several gravitational flows reach equilibrium states that are necessary to preserve in the numerical formulation. In this paper, we present the derivation of the relaxation model [17], in which the pressure is a supplementary variable and the Poisson equation is transformed into a hyperbolic equation with a penalty parameter. The corresponding scheme is obtained in the limit as the parameter tends to zero. The proposed Riemann solver, implemented in the software HERACLES [10], provides better robustness compared to other approaches available in the same software and is capable of preserving gravitational equilibria when required. Several numerical tests and results are presented, as well.De nombreux écoulements en astrophysique sont modélisés par les équations d’Euler avec des termes sources de gravité dérivant d’un potentiel dont l’évolution est décrite par une équation de Poisson. Certains écoulements gravitationnels développent des états d’équilibre qu’il est nécessaire de préserver dans la formulation numérique. Nous présentons ici la dérivation du modèle de relaxation [17], dans lequel la pression est une variable complémentaire et l’équation de Poisson est transformée en une équation hyperbolique avec un paramètre de pénalisation. Le schéma est obtenu à la limite quand ce paramètre tend vers zéro. Le solveur de Riemann proposé, mis en œuvre dans la plate-forme de calcul HERACLES [10], offre plus de robustesse numérique par rapport aux précédentes approches disponibles dans la plate-forme et permet de préserver les équilibres gravitationnels lorsque le problème l’exige. Des tests et des résultats numériques sont ainsi présentés

VMS Finite Element for MHD and Reduced-MHD in Tokamak Plasmas

The understanding of magnetohydrodynamic (MHD) instabilities is quite essential for the optimization of magnetically confined plasmas, a subject raising increasing interest as tokamak reactor design advances and projects such as ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) develop. Given the need and importance of numerically simulating and studying these instabilities, in this paper we report our effort in developing a stabilized full MHD numerical model to study tokamak plasmas in the frame of the Variational Multi-Scale formulation (VMS). Special attention is given to the plasma equilibrium calculation in limiter and x-point configurations. Several properties of the internal kink instability for a circular geometry were studied, e.g., dependence of the growth rate and mode sizes on the Reynolds Magnetic number and magnetic reconnection. The test cases were compared to other results numerically obtained before, as well as analytical developments. The effects of the VMS stabilization were rigorously verified in order to ensure a numerical stability without supressing the physical instabilities. The validation of this model gives rise to the possibility of simulating Edge-localized modes instabilities in the frame of full MHD equations

Time-Implicit Hydrodynamics for Euler Flows*

We consider the Euler equations with gravity source terms, and derive a time-implicit resolution scheme from the explicit one developed by Vides et al. [8]. This requires computing a Jacobian matrix, which is done symbolically using the automatic differentiation tool TAPENADE developed at Inria. The resulting sparse linear system is solved using the PETSc library. We present parallel numerical results for a 2-D Rayleigh-Taylor instability on up to 4096 CPU cores

Time-Implicit Hydrodynamics for Euler Flows

We consider the Euler equations with gravity source terms, and derive a time-implicit resolution scheme from the explicit one developed by Vides et al. [8]. This requires computing a Jacobian matrix, which is done symbolically using the automatic differentiation tool TAPENAD