A new approach to shooting methods for terminal value problems of fractional differential equations

For terminal value problems of fractional differential equations of order $\alpha \in (0,1)$, shooting methods that use Caputo derivatives are a well developed and investigated approach. Based on recently established analytic properties of such problems, we develop a new technique to select initial values that solve such shooting problems quickly and accurately. Numerical experiments indicate that this new technique, called proportional secting, converges accurately to the solution in very few iterations. Run time measurements indicate a speedup factor typically in the range between 4 and 10 in comparison to the often suggested standard bisection method.Comment: 20 pages, 1 figure. The software described in this paper can be downloaded from https://doi.org/10.5281/zenodo.767831

Beitrag zur Anwendung der Tailored Fiber Placement Technologie am Beispiel von Rotoren aus kohlenstofffaserverstärktem Epoxidharz für den Einsatz in Turbomolekularpumpen

In der vorliegenden Arbeit wird die Steifigkeits- und Festigkeitsauslegung von mittels der Tailored Fiber Placement (TFP)-Technologie hergestellten Faser-Kunststoff-Verbunden (FKV) am Beispiel eines einteiligen Rotors aus kohlenstofffaserverstärktem Epoxidharz (CFK) für den Einsatz in Turbomolekularpumpen (TMP) vorgestellt. Im Vergleich zu anderen textilen Fertigungsverfahren können mit Hilfe der TFP-Technologie Verstärkungsfaserrovings in der Ebene variabelaxial, d. h. mit ortsunabhängiger, frei wählbarer Richtung, definiert abgelegt werden. Die sticktechnische Fixierung der Rovings mit Hilfe eines Nähfadens führt zu Welligkeiten und Materialinhomogenitäten in TFP-basierten Faser-Kunststoff-Verbunden (FKV). Dadurch werden die Materialeigenschaften beeinflusst. Mit Hilfe einer Prozessanalyse in Kombination mit morphologischen Untersuchungen werden in dieser Arbeit die welligkeitsinduzierenden Effekte in TFP-basierten FKV identifiziert und quantifiziert. Darauf aufbauend wird ein mesoskaliges Repräsentatives Volumenelement (RVE) einer TFP-Einheitszelle auf Basis von Finiten Elementen entwickelt. Mit Hilfe des RVE wird es erstmalig ermöglicht, die Dehnungs- und Spannungsverteilung sowie den lokalen Faservolumengehalt in TFP-basierten FKV zu berechnen und daraus wirklichkeitsnahe Materialkennwerte abzuleiten. Darüber hinaus wird anhand des RVE der Einfluss variierender TFP-Prozessparameter auf die resultierenden Steifigkeits- und Festigkeitseigenschaften analysiert. Weiterhin wird der Einfluss des unter Langzeitbelastung eintretenden Matrixkriechens auf die Materialeigenschaften von TFP-basierten FKV untersucht. Anhand der Entwicklungsschritte eines CFK-TMP-Rotordemonstrators werden die Besonderheiten beim Auslegungsprozess für Bauteile aus TFP-Strukturen verdeutlicht. Neben der Erläuterung der Lastfälle von TMP-Rotoren wird die Entwicklung eines lastfallangepassten Faserlayouts unter Berücksichtigung von geometrischen Restriktionen beschrieben. Im Rahmen der Spannungsanalyse auf Basis der Finite Elemente Methode (FEM) erfolgt die Integration der mittels des RVE bestimmten Materialdaten in das FE-Modell schichtweise, entsprechend der verwendeten TFP-Prozessparameter. Die mit dieser Vorgehensweise berechnete Versagensdrehzahl und die ermittelten Eigenfrequenzen konnten in experimentellen Untersuchungen erfolgreich validiert werden. Durch die Integration der ortsaufgelösten RVE-basierten Materialdaten wird erstmalig nicht nur die Struktursteifigkeit, sondern auch die Festigkeit ausgehend von einem variabelaxialen TFP-Ablagemuster in einem TFP-basierten Bauteil vorhergesagt. Mit dem entwickelten TMP-Rotordemonstrator kann die Versagensdrehzahl gegenüber dem Stand der Technik um 45 % gesteigert werden. In der Arbeit wird auch herausgestellt, welche Änderungen der Geometrie von TMP-Rotoren aus FKV nötig sind, um eine werkstoffgerechte, an die orthotropen Eigenschaften von FKV angepasste Gestaltung zu realisieren und damit die Nenndrehzahlen weiter steigern zu können. Diese Erkenntnisse dienen in verallgemeinerter Weise der werkstoffgerechten Auslegung und Fertigung von TFP-basierten FKV-Bauteilen.:Kurzfassung Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Motivation und Problemstellung 1.2 Wissenschaftliche Zielstellung der Arbeit 1.3 Aufbau der Arbeit 2 Grundlagen 2.1 Einleitung 2.2 Faser-Kunststoff-Verbunde 2.2.1 Einführung 2.2.2 Kohlenstofffaserverstärkte Epoxidharze 2.3 Elastizitätstheorie 2.3.1 Spannungen 2.3.2 Verzerrungen 2.3.3 Verallgemeinertes Hookesches Gesetz 2.4 Mechanik von rotationssymmetrisch belasteten Körpern 2.4.1 Herleitung der allgemeinen Zusammenhänge am Rotor 2.5 Berechnungsgrundlagen für Faser-Kunststoff-Verbunde 2.5.1 Faservolumengehalt und Dichte 2.5.2 Grundelastizitätsgrößen einer UD-Schicht 2.5.3 Einfluss der Temperatur 2.5.4 Resultierende Eigenschaften der UD-Schicht 2.6 Festigkeitsnachweis von Faser-Kunststoff-Verbunden 2.7 Langzeitverhalten von Faser-Kunststoff-Verbunden 2.7.1 Kriechen und Relaxation 2.7.2 Einfluss der Langzeitbeanspruchung auf die Festigkeiten 2.7.3 Bestimmung der Langzeiteigenschaften 2.8 Finite-Elemente-Methode 2.9 Modalanalyse 2.9.1 Theoretische Grundlagen 2.9.2 Zyklische Symmetrie 2.9.3 Experimentelle Modalanalyse 2.10 Turbomolekularpumpen 2.10.1 Einleitung 2.10.2 Pumpmechanismus von Turbomolekularpumpstufen 3 Faser-Kunststoff-Verbunde auf Basis der TFP-Technologie 3.1 Anforderungen hinsichtlich der Freiheitsgrade bei der Faserablage für Rotoren in Blisk-Bauweise 3.2 Die Tailored Fiber Placement-Technologie 3.2.1 Einführung und Merkmale der TFP-Technologie 3.2.2 In der TFP-Technologie verarbeitete Materialien 3.2.3 Verfahrensgrenzen der TFP-Technologie 3.2.4 Nähfadengehalt in TFP-Laminaten 3.2.5 Faservolumengehalt von TFP-Laminaten 3.3 Infiltrationsverfahren für TFP-basierte Preformen 4 Mikromechanische Betrachtungen an TFP-basierten FKV 4.1 Einführung 4.2 Materialeigenschaften von TFP-Strukturen - Stand der Forschung 4.2.1 TFP-Strukturen in Kombination mit duromeren Matrizes 4.2.2 TFP-Strukturen in Kombination mit thermoplastischen Matrizes 4.3 Analyse der Morphologie von TFP-Strukturen 4.3.1 Rovingwelligkeit bei der Rovingablage 4.3.2 Schliffbildanalyse 4.4 Modellaufbau des Repräsentativen Volumenelementes 4.4.1 Auf Basis des RVE ermittelte Materialeigenschaften von UD-TFP-Strukturen unter uniaxialer Zugbelastung in faserparalleler Richtung 4.4.2 Auf Basis des RVE ermittelte Materialeigenschaften von UD-TFP-Strukturen unter Querzug- bzw. Schubbelastung 4.5 Übertragung der RVE-Ergebnisse auf variabelaxiale TFP-Strukturen 4.6 Langzeiteigenschaften von TFP-Strukturen 4.7 Zusammenfassung der ermittelten Materialeigenschaften von TFP-Strukturen 5 Entwicklung eines TFP-basierten TMP-Rotordemonstrators aus CFK 5.1 Einführung 5.2 Geometrische Randbedingungen und Lastfälle in TMP-Rotoren 5.2.1 Geometrie des TMP-Rotordemonstrators 5.2.2 Lastfälle von TMP-Rotoren 5.3 Bauweisendefinition und strukturmechanische Auslegung des TMP-Rotors 5.3.1 Analytische Vorbetrachtungen 5.3.2 Definition der Bauweise 5.3.3 Dimensionierung des TFP-CFK-Rotors mit Hilfe der FEM 5.3.4 Herstellung des TFP-CFK-Rotordemonstrators 5.4 Experimentelle Validierung 5.4.1 Ermittlung der Versagensfrequenz 5.4.2 Experimentelle Modalanalyse am TFP-CFK-Rotor 5.5 Einordnung der entwickelten TMP-Rotorbauweise 5.5.1 Ausnutzung des Werkstoffpotenzials 5.5.2 Übertragung der Ergebnisse auf andere TMP-Rotorbauweisen 6 Zusammenfassung und Ausblick 6.1 Zusammenfassung 6.2 Ausblick Literaturverzeichnis A AnhangThe present work demonstrates the stiffness and strength design of fiber reinforced plastics (FRP) made by the Tailored Fiber Placement (TFP) technology using the example of a a turbo molecular pump (TMP) rotor made of carbon fiber reinforced epoxy resin (CFRP). In contrast to other textile preform manufacturing processes, the TFP technology enables the placement of reinforcement rovings in arbitrary direction according to an user defined design path. In this technology a double locked stitch in a zigzag stitch pattern is used to fixate the rovings. The fixation process leads to waviness and material inhomogeneities within the placed rovings resulting in reduced material properties in TFP-based fiber reinforced plastics. The wavinessinducing effects have been identified and quantified by detailed process analysis and morphological investigations. Subsequently, a meso-scaled representative volume element (RVE) of a TFP unit cell based on finite elements was developed. The RVE provides the opportunity to derive realistic material properties by calculating the stress and strain distribution as well as as the local fiber content in TFP-based FRP. In this work, the influence of different TFP process parameters on the resulting modulus and strength has been investigated using the RVE approach. Additionally, long term loading effects leading to a reduced matrix modulus were analyzed numerically with the RVE. Based on the development of the CFRP TMP rotor specific characteristics of the design process for components made of TFP are clarified. Besides the explanation of loading conditions of TMP rotors the progress of a load-adapted fiber layout considering geometrical restrictions is demonstrated. For the stress analysis based on the Finite Element Method (FEM) material data calculated with the RVE according to the applied TFP process parameters have been integrated into the FE model. The numerically determined failure speed and the calculated eigenfrequencies were successfully validated by experimental tests. By implementing TFP specific material data in the FE model, both, the strucural rigidity as well as the strength, were predicted for the first time in a TFP-based component. Compared to the state-of-the-art, the developed TMP rotor offers an increased failure speed by 45 %. Furthermore necessary geometric modifications for FRP based TMP rotors in order to achieve a material-specific design adapted to the orthotropic material properties and thus to further increase the nominal rotational speeds were shown. These findings provide in a generalized way for a material-specific design of TFP-based FRP components.:Kurzfassung Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Motivation und Problemstellung 1.2 Wissenschaftliche Zielstellung der Arbeit 1.3 Aufbau der Arbeit 2 Grundlagen 2.1 Einleitung 2.2 Faser-Kunststoff-Verbunde 2.2.1 Einführung 2.2.2 Kohlenstofffaserverstärkte Epoxidharze 2.3 Elastizitätstheorie 2.3.1 Spannungen 2.3.2 Verzerrungen 2.3.3 Verallgemeinertes Hookesches Gesetz 2.4 Mechanik von rotationssymmetrisch belasteten Körpern 2.4.1 Herleitung der allgemeinen Zusammenhänge am Rotor 2.5 Berechnungsgrundlagen für Faser-Kunststoff-Verbunde 2.5.1 Faservolumengehalt und Dichte 2.5.2 Grundelastizitätsgrößen einer UD-Schicht 2.5.3 Einfluss der Temperatur 2.5.4 Resultierende Eigenschaften der UD-Schicht 2.6 Festigkeitsnachweis von Faser-Kunststoff-Verbunden 2.7 Langzeitverhalten von Faser-Kunststoff-Verbunden 2.7.1 Kriechen und Relaxation 2.7.2 Einfluss der Langzeitbeanspruchung auf die Festigkeiten 2.7.3 Bestimmung der Langzeiteigenschaften 2.8 Finite-Elemente-Methode 2.9 Modalanalyse 2.9.1 Theoretische Grundlagen 2.9.2 Zyklische Symmetrie 2.9.3 Experimentelle Modalanalyse 2.10 Turbomolekularpumpen 2.10.1 Einleitung 2.10.2 Pumpmechanismus von Turbomolekularpumpstufen 3 Faser-Kunststoff-Verbunde auf Basis der TFP-Technologie 3.1 Anforderungen hinsichtlich der Freiheitsgrade bei der Faserablage für Rotoren in Blisk-Bauweise 3.2 Die Tailored Fiber Placement-Technologie 3.2.1 Einführung und Merkmale der TFP-Technologie 3.2.2 In der TFP-Technologie verarbeitete Materialien 3.2.3 Verfahrensgrenzen der TFP-Technologie 3.2.4 Nähfadengehalt in TFP-Laminaten 3.2.5 Faservolumengehalt von TFP-Laminaten 3.3 Infiltrationsverfahren für TFP-basierte Preformen 4 Mikromechanische Betrachtungen an TFP-basierten FKV 4.1 Einführung 4.2 Materialeigenschaften von TFP-Strukturen - Stand der Forschung 4.2.1 TFP-Strukturen in Kombination mit duromeren Matrizes 4.2.2 TFP-Strukturen in Kombination mit thermoplastischen Matrizes 4.3 Analyse der Morphologie von TFP-Strukturen 4.3.1 Rovingwelligkeit bei der Rovingablage 4.3.2 Schliffbildanalyse 4.4 Modellaufbau des Repräsentativen Volumenelementes 4.4.1 Auf Basis des RVE ermittelte Materialeigenschaften von UD-TFP-Strukturen unter uniaxialer Zugbelastung in faserparalleler Richtung 4.4.2 Auf Basis des RVE ermittelte Materialeigenschaften von UD-TFP-Strukturen unter Querzug- bzw. Schubbelastung 4.5 Übertragung der RVE-Ergebnisse auf variabelaxiale TFP-Strukturen 4.6 Langzeiteigenschaften von TFP-Strukturen 4.7 Zusammenfassung der ermittelten Materialeigenschaften von TFP-Strukturen 5 Entwicklung eines TFP-basierten TMP-Rotordemonstrators aus CFK 5.1 Einführung 5.2 Geometrische Randbedingungen und Lastfälle in TMP-Rotoren 5.2.1 Geometrie des TMP-Rotordemonstrators 5.2.2 Lastfälle von TMP-Rotoren 5.3 Bauweisendefinition und strukturmechanische Auslegung des TMP-Rotors 5.3.1 Analytische Vorbetrachtungen 5.3.2 Definition der Bauweise 5.3.3 Dimensionierung des TFP-CFK-Rotors mit Hilfe der FEM 5.3.4 Herstellung des TFP-CFK-Rotordemonstrators 5.4 Experimentelle Validierung 5.4.1 Ermittlung der Versagensfrequenz 5.4.2 Experimentelle Modalanalyse am TFP-CFK-Rotor 5.5 Einordnung der entwickelten TMP-Rotorbauweise 5.5.1 Ausnutzung des Werkstoffpotenzials 5.5.2 Übertragung der Ergebnisse auf andere TMP-Rotorbauweisen 6 Zusammenfassung und Ausblick 6.1 Zusammenfassung 6.2 Ausblick Literaturverzeichnis A Anhan

On the Resin Transfer Molding (RTM) Infiltration of Fiber-Reinforced Composites made by Tailored Fiber Placement

Tailored fiber placement (TFP) is a preform manufacturing process in which rovings made of fibrous material are stitched onto a base material, increasing the freedom for the placement of fibers. Due to the particular kinematics of the process, the infiltration of TFP preforms with resin transfer molding (RTM) is sensitive to multiple processes and material parameters, such as injection pressure, resin viscosity, and fiber architecture. An experimental study is conducted to investigate the influence of TFP manufacturing parameters on the infiltration process. A transparent RTM tool that enables visual tracking of the resin flow front was developed and constructed. Microsection evaluations were produced to observe the thickness of each part of the composite and evaluate the fiber volume content of that part. Qualitative results have shown that the infiltration process in TFP structures is strongly influenced by a top and bottom flow layer. The stitching points and the yarn also create channels for the resin to flow. Furthermore, the stitching creates some eye-like regions, which are resin-rich zones and are normally not taken into account during the infusion of TFP parts

On the Resin Transfer Molding (RTM) Infiltration of Fiber-Reinforced Composites Made by Tailored Fiber Placement

Tailored fiber placement (TFP) is a preform manufacturing process in which rovings made of fibrous material are stitched onto a base material, increasing the freedom for the placement of fibers. Due to the particular kinematics of the process, the infiltration of TFP preforms with resin transfer molding (RTM) is sensitive to multiple processes and material parameters, such as injection pressure, resin viscosity, and fiber architecture. An experimental study is conducted to investigate the influence of TFP manufacturing parameters on the infiltration process. A transparent RTM tool that enables visual tracking of the resin flow front was developed and constructed. Microsection evaluations were produced to observe the thickness of each part of the composite and evaluate the fiber volume content of that part. Qualitative results have shown that the infiltration process in TFP structures is strongly influenced by a top and bottom flow layer. The stitching points and the yarn also create channels for the resin to flow. Furthermore, the stitching creates some eye-like regions, which are resin-rich zones and are normally not taken into account during the infusion of TFP parts

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