Adaptive Anisotropic Spectral Stochastic Methods for Uncertain Scalar Conservation Laws

This paper deals with the design of adaptive anisotropic discretization schemes for conservation laws with stochastic parameters. A Finite Volume scheme is used for the deterministic discretization, while a piecewise polynomial representation is used at the stochastic level. The methodology is designed in the context of intrusive Galerkin projection methods with Roe-type solver. The adaptation aims at selecting the stochastic resolution level based on the local smoothness of the solution in the stochastic domain. In addition, the stochastic features of the solution greatly vary in the space and time so that the constructed stochastic approximation space depends on space and time. The dynamically evolving stochastic discretization uses a tree-structure representation that allows for the efficient implementation of the various operators needed to perform anisotropic multiresolution analysis. Efficiency of the overall adaptive scheme is assessed on the stochastic traffic equation with uncertain initial conditions and velocity leading to expansion waves and shocks that propagate with random velocities. Numerical tests highlight the computational savings achieved as well as the benefit of using anisotropic discretizations in view of dealing with problems involving a larger number of stochastic parameters

Roe Solver with Entropy Corrector for Uncertain Hyperbolic Systems

International audienceThis paper deals with intrusive Galerkin projection methods with Roe-type solver for uncertain hyperbolic systems using a finite volume discretization in physical space and a piecewise continuous representation at the stochastic level. The aim of this paper is to design a cost-effective adaptation of the deterministic Dubois and Mehlman corrector to avoid entropy-violating shocks in the presence of sonic points. The adaptation relies on an estimate of the eigenvalues and eigenvectors of the Galerkin Jacobian matrix of the deterministic system of the stochastic modes of the solution and on a correspondence between these approximate eigenvalues and eigenvectors for the intermediate states considered at the interface. Some indicators are derived to decide where a correction is needed, thereby reducing considerably the computational costs. The effectiveness of the proposed corrector is assessed on the Burgers and Euler equations including sonic points

Bayesian-based method with metamodels for rebuilding freestream conditions in atmospheric entry flows

International audienceThe paper investigates a new methodology to rebuild freestream conditions for the trajectory of a reentry vehicle from measurements of stagnation-point pressure and heat flux. Uncertainties due to measurements and model parameters are taken into account and a Bayesian setting supplied with metamodels is used to solve the associated stochastic inverse problem

Construction d'un modèle thermodynamique fiable et robuste pour les mélanges liquide-vapeur

La prédiction numérique des effets de transfert de masse dans les écoulements diphasiques est un outil fondamental dans plusieurs domaines tels que la production d'énergie, les moteurs aérospatiaux,... Un des problèmes est lié au traitement du mélange liquide-vapeur, notamment au niveau thermodynamique. Dans la littérature, de nombreuses équations d'états sont proposées ; néanmoins, on préfère en général utiliser des équations 'convexes', c'est-à-dire, qui présentent une vitesse du son toujours réelle au-dessous de la courbe de saturation dans le mélange liquide-vapeur. L'équation d'état 'Stiffened Gas (SG)' en est un exemple, qui permet un bon compromis entre la facilité d'implémentation et la précision au niveau thermodynamique. Cependant, son utilisation dans la phase gaz ne garantit pas la prise en compte des effets de gaz réel, qui requièrent des lois beaucoup plus complexes généralement non-convexes. Cette étude se concentre sur la formulation d'un algorithme innovant de couplage fort entre un modèle de type SG et une équation d'état complexe quelconque pour la modélisation de la phase gazeuse, basé sur des données expérimentales. En outre, on souhaite considérer les incertitudes inhérentes au modèle, qui concernent certains paramètres thermiques et calorifiques. L'algorithme proposé sera basé sur un cadre bayésien et des techniques de quantification d'incertitudes, permettant la prise en compte d'incertitudes sur les mesures et le modèle. Il réalisera le couplage des deux équations grâce à une calibration de paramètres, cohérente par rapport à la thermodynamique des fluides considérés. La méthode sera appliquée à plusieurs cas d'étude, utilisant différents fluides et différentes lois d'état pour la phase gazeuse. Enfin, un résultat de simulation d'écoulements fluides incluant le nouveau modèle thermodynamique sera montré

Reliable and robust thermodynamic model for liquid-vapor mixture

Numerical simulation of mass transfer in biphase flows is a fundamental tool in various disciplines. One major issue is related to the thermodynamics of the liquid-vapor mixture. Usually, convex equations of state are used, where a real sound speed can be defined under the saturation curve, such as for exemple the Stiffened Gas (SG) equation. Neverthless, the use of this equation in the gas phase, ban the prediction of real-gas effects, demanding a more complex equation of state, generally non-convex. The aim of this work is to formulate an innovative algorithm for a strong coupling between a SG equation and a whatever more complex equation for the gas phase, using experimental data. The proposed algorithm relies on a bayesian-based method, taking into account model and data uncertainties

Adaptive stochastic Galerkin methods for parametric uncertainty propagation in hyperbolic systems

On considère des méthodes de Galerkin stochastiques pour des systèmes hyperboliques faisant intervenir des données en entrée incertaines de lois de distribution connues paramétrées par des variables aléatoires. On s'intéresse à des problèmes où un choc apparaît presque sûrement en temps fini. Dans ce cas, la solution peut développer des discontinuités dans les domaines spatial et stochastique. On utilise un schéma de Volumes Finis pour la discrétisation spatiale et une projection de Galerkin basée sur une approximation polynomiale par morceaux pour la discrétisation stochastique. On propose un solveur de type Roe avec correcteur entropique pour le système de Galerkin, utilisant une technique originale pour approcher la valeur absolue de la matrice de Roe et une adaptation du correcteur entropique de Dubois et Mehlmann. La méthode proposée reste coûteuse car une discrétisation stochastique très fine est nécessaire pour représenter la solution au voisinage des discontinuités. Il est donc nécessaire de faire appel à des stratégies adaptatives. Comme les discontinuités sont localisées en espace et évoluent en temps, on propose des représentations stochastiques dépendant de l'espace et du temps. On formule cette méthodologie dans un contexte multi-résolution basé sur le concept d'arbres binaires pour décrire la discrétisation stochastique. Les étapes d'enrichissement et d'élagage adaptatifs sont réalisées en utilisant des critères d'analyse multi-résolution. Dans le cas multidimensionnel, une anisotropie de la procédure adaptative est proposée. La méthodologie est évaluée sur le système des équations d'Euler dans un tube à choc et sur l'équation de Burgers en une et deux dimensions stochastiquesThis work is concerned with stochastic Galerkin methods for hyperbolic systems involving uncertain data with known distribution functions parametrized by random variables. We are interested in problems where a shock appears almost surely in finite time. In this case, the solution exhibits discontinuities in the spatial and in the stochastic domains. A Finite Volume scheme is used for the spatial discretization and a Galerkin projection based on piecewise poynomial approximation is used for the stochastic discretization. A Roe-type solver with an entropy correction is proposed for the Galerkin system, using an original technique to approximate the absolute value of the Roe matrix and an adaptation of the Dubois and Mehlman entropy corrector. Although this method deals with complex situations, it remains costly because a very fine stochastic discretization is needed to represent the solution in the vicinity of discontinuities. This fact calls for adaptive strategies. As discontinuities are localized in space and time, stochastic representations depending on space and time are proposed. This methodology is formulated in a multiresolution context based on the concept of binary trees for the stochastic discretization. The adaptive enrichment and coarsening steps are based on multiresolution analysis criteria. In the multidimensional case, an anisotropy of the adaptive procedure is proposed. The method is tested on the Euler equations in a shock tube and on the Burgers equation in one and two stochastic dimension

Méthodes de Galerkin stochastiques adaptatives pour la propagation d'incertitudes paramétriques dans les modèles hyperboliques

This work is concerned with stochastic Galerkin methods for hyperbolic systems involving uncertain data with known distribution functions parametrized by random variables. We are interested in problems where a shock appears almost surely in finite time. In this case, the solution exhibits discontinuities in the spatial and in the stochastic domains. A Finite Volume scheme is used for the spatial discretization and a Galerkin projection based on piecewise poynomial approximation is used for the stochastic discretization. A Roe-type solver with an entropy correction is proposed for the Galerkin system, using an original technique to approximate the absolute value of the Roe matrix and an adaptation of the Dubois and Mehlman entropy corrector. Although this method deals with complex situations, it remains costly because a very fine stochastic discretization is needed to represent the solution in the vicinity of discontinuities. This fact calls for adaptive strategies. As discontinuities are localized in space and time, stochastic representations depending on space and time are proposed. This methodology is formulated in a multiresolution context based on the concept of binary trees for the stochastic discretization. The adaptive enrichment and coarsening steps are based on multiresolution analysis criteria. In the multidimensional case, an anisotropy of the adaptive procedure is proposed. The method is tested on the Euler equations in a shock tube and on the Burgers equation in one and two stochastic dimensionsOn considère des méthodes de Galerkin stochastiques pour des systèmes hyperboliques faisant intervenir des données en entrée incertaines de lois de distribution connues paramétrées par des variables aléatoires. On s'intéresse à des problèmes où un choc apparaît presque sûrement en temps fini. Dans ce cas, la solution peut développer des discontinuités dans les domaines spatial et stochastique. On utilise un schéma de Volumes Finis pour la discrétisation spatiale et une projection de Galerkin basée sur une approximation polynomiale par morceaux pour la discrétisation stochastique. On propose un solveur de type Roe avec correcteur entropique pour le système de Galerkin, utilisant une technique originale pour approcher la valeur absolue de la matrice de Roe et une adaptation du correcteur entropique de Dubois et Mehlmann. La méthode proposée reste coûteuse car une discrétisation stochastique très fine est nécessaire pour représenter la solution au voisinage des discontinuités. Il est donc nécessaire de faire appel à des stratégies adaptatives. Comme les discontinuités sont localisées en espace et évoluent en temps, on propose des représentations stochastiques dépendant de l'espace et du temps. On formule cette méthodologie dans un contexte multi-résolution basé sur le concept d'arbres binaires pour décrire la discrétisation stochastique. Les étapes d'enrichissement et d'élagage adaptatifs sont réalisées en utilisant des critères d'analyse multi-résolution. Dans le cas multidimensionnel, une anisotropie de la procédure adaptative est proposée. La méthodologie est évaluée sur le système des équations d'Euler dans un tube à choc et sur l'équation de Burgers en une et deux dimensions stochastique

Bayesian-based method with metamodels for rebuilding freestream conditions in atmospheric entry flows

The paper investigates a new methodology to rebuild freestream conditions for the trajectory of a reentry vehicle from measurements of stagnation-point pressure and heat flux. Uncertainties due to measurements and model parameters are taken into account and a Bayesian setting supplied with metamodels is used to solve the associated stochastic inverse problem

Characterization of the freestream conditions in the VKI Longshot facility

International audienc

Bayesian-based method with metamodels for rebuilding freestream conditions in atmospheric entry flows

International audienc