Figure Skating and the Theory of Social Choice

The rule used by the United States Figure Skating Association and the International Skating Union, hereafter the ISU Rule, to aggregate individual rankings of the skaters by the judges into a final ranking, is an interesting example of a social welfare function. This rule is examined thoroughly in this paper from the perspective of the modern theory of social choice. The ISU Rule is based on four different criteria, the first being median ranks of the skaters. Although the median rank criterion is a majority principle, it is completely at odd with another majority principle introduced in this paper and called the Extended Condorcet Criterion. It may be translated as follows: If a competitor is ranked consistently ahead of another competitor by an absolute majority of judges, he should be ahead in the final ranking. Consistency here refers to the absence of a cycle in the majority relation involving these two skaters. There are actually many cycles in the data of four Olympic Games that were examined. The Kemeny rule may be used to break these cycles. This is not only consistent with the Extended Condorcet Criterion but the latter also proves useful in finding Kemeny orders over large sets of alternatives, by allowing decomposition of these orders. The ISU, the Kemeny, the Borda rankings and the ranking according to the raw marks are then compared on 24 olympic competitions. The four rankings disagree in many instances. Finally it is shown that the ISU Rule may be very sensitive to small errors on the part of the judges and that it does not escape the numerous theorems on manipulation. Some considerations are also offered as to whether the ISU Rule is more or less prone to manipulation than others. La règle utilisée par la United States Figure Skating Association et l'International Skating Union, ci-après la règle de l'ISU, pour agréger les classements des patineurs par chacun des juges en un classement final, est un exemple intéressant de fonction de bien-être social. Cette règle est examinée en détail dans cet article du point de vue de la théorie moderne des choix sociaux. Cette règle repose sur quatre critères, le premier étant le rang médian des patineurs. Bien que ce critère soit en fait un principe majoritaire, il va à l'encontre d'un autre principe majoritaire introduit ici et appelé le Critère de Condorcet généralisé. Il peut être traduit ainsi: Si un compétiteur est classé avant un autre de manière cohérente par une majorité de juges, il devrait l'être dans le classement final. La cohérence réfère à l'absence de cycle dans la relation majoritaire impliquant ces deux compétiteurs. De fait, plusieurs cycles ont été rencontrés dans les données de quatre Jeux olympiques qui ont été examinées. La règle de Kemeny peut être utilisée pour briser ces cycles. Non seulement cette règle est-elle cohérente avec le Critère de Condorcet généralisé mais ce dernier s'avère utile dans la recherche d'ordres de Kemeny sur un grand nombre d'alternatives, en permettant la décomposition de ces ordres. Les classements des patineurs selon les règles de l'ISU, de Kemeny, de Borda et selon les notes brutes sont ensuite comparés pour 24 compétitions olympiques. Les quatre classements sont souvent différents. Finalement, il est démontré que la règle de l'ISU peut être très sensible à de petites erreurs de la part des juges et qu'elle n'échappe pas aux nombreux théorèmes d'impossibilité sur la manipulation. Quelques remarques sont aussi offertes sur la plus ou moins grande susceptibilité de cette règle à la manipulation par rapport à d'autres règles.

An Extension of the Concordet Criterion and Kemeny Orders

The usual Condorcet Criterion says that if an alternative is ranked ahead of all other alternatives by an absolute majority of voters, it should be declared the winner. The following partial extension of this criterion to other ranks is proposed: If an alternative is consistently ranked ahead of another alternative by an absolute majority of voters, it should be ahead in the final ranking. The term "consistently" refers to the absence of cycles in the majority relation involving these two alternatives. If there are cycles, this criterion gives partial orders that can be completed with the Kemeny rule. An algorithm to construct Kemeny orders is presented. It is based on a result saying that a complete Kemeny order over all alternatives can be obtained by splicing together Kemeny orders on the subsets of an admissible partition of the alternatives underlying the Extended Condorcet Criterion. Le critère usuel de Condorcet exige que, si une alternative est classée avant toutes les autres par une majorité de votants, elle devrait être déclarée vainqueur. Une extension partielle de ce critère aux autres rangs est proposée: Si une alternative est classée avant une autre de manière cohérente par une majorité de votants, elle devrait l'être dans le classement final. La cohérence réfère à l'absence de cycle dans la relation majoritaire impliquant ces deux alternatives. En cas de cycles, ce critère donne des ordres partiels, qui peuvent être complétés avec la règle de Kemeny. Un algorithme pour la construction des ordres de Kemeny est présenté. Il s'appuie sur un résultat affirmant qu'un ordre de Kemeny peut être obtenu en juxtaposant des ordres de Kemeny sur les sous-ensembles d'une partition des alternatives sous-jacente au critère de Condorcet généralisé.aggregation, Condorcet Criterion, Kemeny orders, algorithm

Aggregation of Rankings: a Brief Review of Distance-Based Rules

Some researchers have addressed the problem of aggregating individual preferences or rankings by seeking a ranking that is closest to the individual rankings. Their methods differ according to the notion of distance that they use. The best known method of this sort is due to Kemeny. The first part of this paper offers a brief survey of some of these methods. Another way of approaching the aggregation of rankings is as a problem of optimal statistical inference, in which an expected loss is minimised. This approach requires a loss function, a concept closely related the notion of distance between rankings. The second part of this paper examines two classes of parametric functions and proposes one class for the optimal statistical inference problem.Vote aggregation, ranking rules, distance, loss function, maximum likelihood, optimal inference, Kemeny

Monotonicity and Bounds for Cost Shares under the Path Serial Rule

We pursue the analysis of the Path Serial Cost Sharing Rule by examining how the cost share of an agent varies with respect to its own demand and the one of other agents. We also provide bounds for cost shares under an appropriate assumption on the cost function. On poursuit l'analyse de la règle séquentielle avec sentiers (Path Serial Rule) pour le partage des coûts. On étudie la variation de la part du coût d'un agent par rapport à sa demande et celles des autres agents. On montre également que, avec une hypothèse appropriée sur la fonction de coût, les contributions exigées des agents avec cette règle se situent à l'intérieur de bornes raisonnables.Serial cost sharing, multi products, monotonicity, bounds, Règle séquentielle pour le partage des coûts, multi-produits, monotonicité, bornes

Statistical Comparison of Aggregation Rules for Votes

If individual voters observe the true ranking on a set of alternatives with error, then the social choice problem, that is, the problem of aggregating their observations, is one of statistical inference. This study develops a statistical methodology that can be used to evaluate the properties of a given or aggregation rule. These techniques are then applied to some well-known rules.Vote aggregation, ranking rules, figure skating, maximum likelihood, optimal inference, Monte Carlo, Kemeny, Borda

Serial Cost Sharing in Multidimensional Contexts (May 2002 revised version)

The Serial Cost Sharing Rule was originally conceived for situations where the demands of agents pertain to a homogeneous private good, produced by an unreplicable technology. In this context, it is endowed with a variety of desirable equity and coherency properties. This paper investigates the extension of this rule to the context where agents request many goods that may be public, private or specific to some of them, where the aggregation rule may be very general and where demands may have to be scaled in a non proportional way, more precisely along paths, in order to compute cost shares. It proposes the Path Serial Rule to address these general problems and explores some of its properties and characteristics. Some of them are transposed directly from the single good context to the general one. However, it is shown that in the general context, the serial principle is incompatible with the basic equal treatment of equals. Thus, it is weakened by requiring that it holds only on the paths along which demands must be scaled when needed. The resulting weaker Path Serial Principle characterizes the Path Serial Rule together with the Equal Treatment of Equivalent Demands, a stronger form of Equal Treatment of Equals. La règle de partage séquentiel des coûts a été conçue à l origine pour le cas où les demandes des agents portent sur un bien privé homogène, produit par une technologie non reproductible. Dans un tel contexte, cette règle satisfait de nombreuses propriétés d équité et de cohérence. Dans cet article, on étudie l extension de cette règle aux cas où les demandes des agents peuvent être des vecteurs qui ne représentent pas forcément des biens homogènes entre les agents, dont l agrégation ne se fait pas uniquement via la sommation et où les demandes doivent être ajustées de manière non proportionnelle, plus précisément le long d un sentier, pour le calcul des parts de coût. On explore ensuite certaines propriétés et caractéristiques de cette règle plus générale. Certaines sont transposées directement du contexte à un seul bien au contexte général. Cependant, on montre que le principe séquentiel est, dans ce contexte général, incompatible avec l incontournable traitement égalitaire des égaux. Il faut donc l affaiblir et plus précisément exiger qu il soit respecté uniquement le long des sentiers servant à ajuster les demandes le cas échéant. Cette forme affaiblie de principe séquentiel, combinée à une forme plus forte de traitement égalitaire des égaux, caractérise la règle proposée dans cet article.Serial cost sharing, multi products, general aggregation, Partage séquentiel des coûts, multi-produits, agrégation générale

Social Choice, Optimal Inference and Figure Skating

We approach the social choice problem as one of optimal statistical inference. If individual voters or judges observe the true order ona set of alternatives with error, then it is possible to use the set of individual rankings to make probability statements about the correct social order. Given the posterior distribution for orders and a suitably chosen loss function, an optimal order is one that minimises expected posterior loss. The paper develops a statistical model describing the behaviour of judges, and discusses Markov Chain Monte Carlo estimation. We also discuss criteria for choosing the appropriate loss functions. We apply our methods to a well-known problem: determining the correct ranking for figure skaters competing at the Olympic Games.Vote aggregation, ranking rules, figure skating, Bayesian methods, optimal inference, Markov Chain Monte Carlo

Maximal Decompositions of Cost Games into Specific and Joint Costs

The problem in which some agents joint together to realize a set of projects and must decide how to share its cost may be seen as a cooperative cost game. In many instances, total cost may naturally be decomposed into joint costs and costs that are specific to individual agents. We show that the maximal amount that can be attributed directly to each agent while yielding a problem for the joint cost that remains a cost game, is given by the minimal incremental cost of adding this agent to any of the possible coalitions of other agents. Thus, for concave games, it is given by the incremental cost of adding the agent to all others. We also show that a concave game yields a reduced game that is itself concave. Le problème où plusieurs agents entreprennent en commun un ensemble de projets et doivent décider du partage du coût total peut être vu comme un jeu coopératif. Dans certains cas, le coût total peut naturellement être décomposé en coûts joints et coûts spécifiques aux agents. On montre que le montant maximal qui peut être attribué directement à chaque agent, tout en donnant un problème de partage de coût joint qui constitue encore un jeu de coût, est donné par le minimum des coûts incrémentaux de l'adjonction de l'agent aux coalitions possibles des autres agents.Cost game, decomposition, jeu de coût, décomposition

Serial Cost Sharing in Multidimensional Contexts

The Serial Cost Sharing Rule was originally conceived for situations where the demands of agents pertain to a homogeneous private good, produced by an unreplicable technology. In this context, it is endowed with a variety of desirable equity and coherency properties. This paper investigates the extension of this rule to the context where agents request many goods that may be public, private or specific to some of them, where the aggregation rule may be very general and where demands may have to be scaled in a non proportional way, more precisely along a path, in order to compute cost shares. It proposes the Path Serial Rule to address these general problems. It then shows which properties and characteristics are satisfied by this rule. Some of them are transposed directly from the single good context to the general one while other must be weakened. More precisely, they are required to hold only on the paths along which demands must be scaled if needed. Nevertheless, some of the characterisations of the serial rule in the single good case do not carry over to the general context. La règle de partage séquentiel des coûts a été conçue à l'origine pour le cas où les demandes des agents portent sur un bien privé homogène, produit par une technologie non reproductible. Dans un tel contexte, cette règle satisfait de nombreuses propriétés d'équité et de cohérence. Dans cet article, on étudie l'extension de cette règle aux cas où les demandes des agents peuvent être des vecteurs qui ne représentent pas forcément des biens homogènes entre les agents, dont l'agrégation ne se fait pas uniquement via la sommation et où les demandes doivent être ajustées de manière non proportionnelle, plus précisément le long d'un sentier, pour le calcul des parts de coût. On montre ensuite quelles sont les propriétés qui sont satisfaites par cette règle ou qui la caractérisent. Certaines sont transposées directement du contexte à un seul bien au contexte général alors que d'autres doivent être affaiblies. Plus précisément, on exige leur respect uniquement le long des sentiers servant à ajuster les demandes le cas échéant. Néanmoins, certaines caractérisations de la règle séquentielle dans le contexte à un seul bien ne peuvent pas être transposées au contexte général.Serial cost sharing, multi products, general aggregation

Maximum Likelihood Approach to Vote Aggregation with Variable Probabilities

Condorcet (1785) initiated the statistical approach to vote aggregation. Two centuries later, Young (1988) showed that a correct application of the maximum likelihood principle leads to the selection of rankings called Kemeny orders, which have the minimal total number of disagreements with those of the voters. The Condorcet-Kemeny-Yoiung approach is based on the assumption that the voters have the same probability of comparing correctly two alternatives and that this probability is the same for any pair of alternatives. We relax the second part of this assumption by letting the probability of comparing correctly two alternatives be increasing with the distance between two alternatives in the allegedly true ranking. This leads to a rule in which the majority in favor of one alternative against another one is given a larger weight the larger the distance between the two alternatives in the true ranking, i.e. the larger the probability that the voters compare them correctly. This rule is not Condorcet consistent. Thus, it may be different from the Kemeny rule. Yet, it is anonymous, neutral, and paretian. However, contrary to the Kemeny rule, it does not satisfy Young and Levenglick (1978)'s local independence of irrelevant alternatives. Condorcet also hinted that the Condorcet winner or the top alternative in the Condorcet ranking is not necessarily most likely to be the best. Young confirms that indeed with a constant probability close to 1/2, this alternative is the Borda winner while it is the alternative whose smallest majority is the largest when the probability is close to 1. We extend his analysis to the case of variable probabilities. Young's result implies that the Kemeny rule does not necessarily select the alternative most likely to be the best. A natural question that comes to mind is whether the rule obtained with variable probabilities does better than the Kemeny rule in this respect. It appears that this performance imporves with the rate at which the probability increases.Vote Aggregation, Kemeny Rule, Maximum Likelihood, Variable Probabilities