Isometries on positive definite operators with unit Fuglede-Kadison determinant

In this paper we explore the structure of certain surjective generalized isometries (which are transformations that leave any given member of a large class of generalized distance measures invariant) of the set of positive invertible elements in a finite von Neumann factor with unit Fuglede-Kadison determinant. We conclude that any such map originates from either an algebra ∗-isomorphism or an algebra ∗-antiisomorphism of the underlying operator algebra

Characterization of quasi-arithmetic means without regularity condition

In this paper we show that bisymmetry, which is an algebraic property, has a regularity improving feature. More precisely, we prove that every bisymmetric, partially strictly monotonic, reflexive and symmetric function $F:I^2\to I$ is continuous. As a consequence, we obtain a finer characterization of quasi-arithmetic means than the classical results of Acz\'el, Kolmogoroff, Nagumo and de Finetti.Comment: 12 page

Megőrzési problémák és szeparációs tételek

A disszertáció különböző matematikai struktúrákon értelmezett megőrzési problémákat, valamint szeparációs tételeket tartalmaz. Az első fejezetben azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek invariánsan hagynak egy, a kvantum-információelméletben fontos szerepet játszó mennyiséget. Nevezetesen, a sűrűségoperátorokon értelmezett azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek egy adott, szigorúan konvex f függvény esetén invariánsan hagyják az ún. kvantum f-divergenciát. Jól ismert tény, hogy speciális f függvény választásával a kvantum f-divergencia definíciója az Umegaki relatív entrópia fogalmához vezet. A második fejezetben leírásra kerültek azon szürjektív transzformációk, melyek a pozitív definit mátrixok terén vannak értelmezve és megőriznek egy adott, unitér-invariáns normával illetve bizonyos feltételeknek eleget tevő folytonos valós függvénnyel paraméterezett, úgynevezett általánosított távolság mértéket. A harmadik fejezet az általánosított eloszlásfüggvények tere Kolmogorov-Smirnov izometriáinak alakjáról szól. A negyedik és ötödik fejezet szeparációs problémákat tartalmaz. Egy jól ismert szeparációs tétel szerint, ha egy konvex függvény egy konkáv “felett” helyezkedik el, akkor létezik a kettő között egy affin függvény. Sőt, két tetszőleges függvény esetén adható az affin szeparáció jellemzésére egy szükséges és elégséges feltétel. A negyedik fejezetben a fenti tétel általánosítása szerepel. Nevezetesen, azon valós függvény párokat jellemzése, melyek egy n-ed rendű konvex Beckenbach család tagjával szeparálhatóak. Az utolsó fejezet fő eredménye Baron, Matkowski és Nikodem valós függvénypárok konvex függvénnyel való szeparációjáról szóló tételét általánosítja. Karakterizálja azon valós függvénypárokat, amelyek egy kétdimenziós Csebisev rendszer valamely elemével szétválaszthatóak.The present dissertation contains results about preserver problems on different mathematical structures and separation problems. In Chapter 1 we study preserver transformations on density operators (i.e. positive operators with unit trace) that play an important role in quantum information theory. In the main theorem of Chapter 1 we describe all transformations on density operators that preserve the quantum f-divergence with respect to an arbitrary strictly convex function f defined on the non-negative real line. In Chapter 2 we substantially extend and unify former results on the structure of surjective isometries of spaces of positive definite matrices obtained in a paper of Lajos Molnár. The novelty in our result is that we consider not only true metrics but so-called generalized distance measures which are parameterized by unitarily invariant norms and continuous real functions satisfying certain conditions. In Chapter 3 the general forms of surjective isometries of the space of all generalzied distribution function on R are determined with respect to Kolmogorov-Smirnov metric. Chapter 4 and Chapter 5 are devoted to the investigation of so-called separation problems. It is a well-known separation theorem that if a convex and a concave function are given such that the convex function is “above” the concave one, then there exists an affine function between them. Moreover, those pairs of real functions that can be separated by an affine function was characterized via double inequalities. In Chapter 4 we generalize this result. More precisely, we characterize such pairs of real valued functions that can be separated by a member of a given convex Beckenbach family of order n. In fact, the characterization of those pairs of real functions that can be separated by an affine function was preceded by the characterization of the existence of a convex separator between two real valued functions. The corresponding result is due to Baron, Matkowski and Nikodem. In Chapter 5 we give an analogous result in the case when the convexity notion induced by so-called regular pairs

A dichotomy result for strictly increasing bisymmetric maps

In this paper we show some remarkable consequences of the method which proves that every bisymmetric, symmetric, reflexive, strictly monotonic binary map on a proper interval is continuous, in particular it is a quasi-arithmetic mean. Now we demonstrate that this result can be refined in the way that the symmetry condition can be weakened by assuming symmetry only for a pair of distinct points of an interval