Atomi rendszerek elektronsűrűségei és energia funkcionáljai: Hierarchikus megközelítés és gyakorlati alkalmazások = Electron density and energy functionals of atomic systems: Hierarchical approach and practical applications

Az elektronsűrűség a korrelált elektronrendszerek sűrűségfunkcionál elméletének (DFT) alapvető mennyisége. Megadtuk, hogy a nagy kiterjedésű, bonyolult elektroneloszlásokat hogyan lehet egyszerű rekurzív lépések egymás utáni sorozataként leírni. Megmutattuk, hogy a hierarchikus finomítást nem kell a tér minden tartományában elvégezni, hanem csak a részletgazdag helyeken, pl. a magok körüli csúcs környékén. Az aszimptotikus tartományok, a kémiai kötések jól leírhatók durva felbontásban is. Kiderült az az elvi probléma, hogy az impulzus és a helyoperátorok tetszőleges eltolás invariáns rácsreprezentációja esetén a kanonikus felcserélődési relációk sérülnek. Alkalmazásként félvezető nanokontaktusok elektronszerkezetének lokalizációját és fraktál tulajdonságait vizsgáltuk hierarchikus módszerrel. Az elektron korreláció fogalmát a kvantum információelmélet „összefonódás” néven említi. Megadtuk a fermion állapotok összefonódottságának mértékét Neumann- és Rényi-entrópiák segítségével. Ennek alsó korlátja a hullámfüggvények N-reprezentálhatóságának következménye. Olyan jelenségeket vizsgáltunk a DFT módszer alkalmazásával, amelyekben az elektronkorreláció meghatározó szerepet játszik. Vizsgáltuk az elektrongáz párkorrelációs függvényét, pontszerű töltések árnyékolását, az effektív párkölcsönhatást, az elektron élettartamot, kötött elektronpárok kialakulásának körülményeit, nehéz ionok fékeződését. Az elektronsűrűség analitikus tulajdonságairól is adtunk információt. | Electron density is the fundamental quantity of density functional theory (DFT) of correlated electron systems. A method has been given for describing extended, complex electron distributions by a series of simple recursive steps. It is shown that such hierarchic refinement steps are not necessary in all domains of the space, only complex substructures like nuclear cusps require these. Asymptotic regions, chemical bonds are well described at rough resolution levels. It turned out that finite grid methods suffer from the theoretical difficulty of breaking canonical commutation rules, independently of the chosen shift invariant matrix representation of momentum and position operators. As an application we have studied the localization and fractal structure of electron distributions of semiconductor nanocontacts. The concept of electron correlation is known as “entanglement” in quantum information theory. We have given a measure of entanglement of fermion states using Neumann and Rényi entropies. Its lower limit is a consequence of the N-representability of the wave function. We have investigated various phenomena determined by electron correlation using the DFT method. The pair correlation function of the electron gas, screening of point like particles, effective pair interaction, electron lifetime, formation of bonded electron pairs, and the stopping power for heavy ions was extensively studied. Some analytic properties of the electron density have been determined

Measuring the circularity of congressional districts

Shape analysis has special importance in the detection of manipulated redistricting, which is called gerrymandering. In most of the US states, this process is made by non-independent actors and often causes debates about partisan manipulation. The somewhat ambiguous concept of compactness is a standard criterion for legislative districts. In the literature, circularity is widely used as a measure of compactness, since it is a natural requirement for a district to be as circular as possible. In this paper, we introduce a novel and parameter-free circularity measure that is based on Hu moment invariants. This new measure provides a powerful tool to detect districts with abnormal shapes. We examined some districts of Arkansas, Iowa, Kansas, and Utah over several consecutive periods and redistricting plans, and also compared the results with classical circularity indexes. We found that the fall of the average circularity value of the new measure indicates potential gerrymandering

Simboličko spajanje B-splajn krivulja

We present an algorithm for stitching B-spline curves, which is different from the generally used least square method. Our aim is to find a symbolic solution for unifying the control polygons of arcs separately described as 4th degree B-spline curves. We show the effect of interpolation conditions and fairing functions as well.Predstavljamo algoritam za spajanje B-splajn krivulja, koji se razlikuje od općenito upotrebljavane metode najmanjih kvadrata. Naš cilj je naći simboličko rješenje za ujedinjavanje kontrolnih poligona lukova koji se svaki zasebno opisuju kao B-splajn krivulje 4. stupnja. Također pokazujemo utjecaj uvjeta interpolacije i postizanja glatkih funkcija

B-splajn dijelovi koji pristaju na plohe i triangularne mreže

In this paper a technique for the construction of quartic polynomial B-spline patches fitting on analytical surfaces and triangle meshes is presented.The input data are curvature values and principal directions at a given surface point which can be computed directly, if the surface is represented by a vector function. In the case of discrete surface representation, i.e. on a triangle mesh the required input data are computed from a circular neighborhood of a specified triangle face. Such a surface patch may replace a well defined region of the mesh, and can be used e.g. in re-triangulation, mesh-simplification and rendering algorithms.U ovom se radu prikazuje metoda za konstrukciju kvartnog polinoma B-splajn dijela podesnog za analitičke plohe i mreže trokuta. Ulazni podaci su vrijednosti zakrivljenosti i glavni smjerovi u danoj točki plohe, koji se mogu izravno računati za plohu zadanu vektorskom funkcijom. Za slučaj diskretne reprezentacije plohe, tj. za triangularnu mrežu, odgovarajući ulazni podaci računaju se iz kružne okoline određ-enog trokuta mreže. Takvi dijelovi mogu zamijeniti dobro definirano područje mreže, i mogu se upotrijebiti npr. u retriangulaciji, simplifikaciji mreže i renderiranju