Permutationally invariant state reconstruction

Feasible tomography schemes for large particle numbers must possess, besides an appropriate data acquisition protocol, also an efficient way to reconstruct the density operator from the observed finite data set. Since state reconstruction typically requires the solution of a non-linear large-scale optimization problem, this is a major challenge in the design of scalable tomography schemes. Here we present an efficient state reconstruction scheme for permutationally invariant quantum state tomography. It works for all common state-of-the-art reconstruction principles, including, in particular, maximum likelihood and least squares methods, which are the preferred choices in today's experiments. This high efficiency is achieved by greatly reducing the dimensionality of the problem employing a particular representation of permutationally invariant states known from spin coupling combined with convex optimization, which has clear advantages regarding speed, control and accuracy in comparison to commonly employed numerical routines. First prototype implementations easily allow reconstruction of a state of 20 qubits in a few minutes on a standard computer.Comment: 25 pages, 4 figues, 2 table

Freie Materialoptimierung für Schalen und Platten

Within this thesis we develop mathematical models and numerical methods for the Free Material Optimization problem for shells and plates. In Chapter 1 we provide a motivation arising from structural engineering to address this problem and classify the Free Material Optimization approach within other common methods in structural design optimization. In Chapter 2 we introduce the foundations of differential geometry and continuum mechanics necessary for a reliable prediction of the shell's elastic behavior. The chosen description is based on the theory of Cosserat continua, a direct approach to the shell as a two-dimensional midsurface in physical space endowed with director vectors to provide additional degrees of freedom in order to model bending and shear deformations. We restrict ourselves to displacements that fulfill the Reissner-Mindlin kinematical assumption: the material lines, that are represented by the director vectors, remain straight and unstretched during deformation. This requirement leads to a first-order approximation of the three-dimensional elasticity theory including shear effects, which is known as Naghdi's shell model. Chapter 3 is dedicated to the development of a Free Material Optimization formalism for Naghdi shells. Free Material Optimization is a subbranch of structural optimization and accordingly deals with the problem of finding the stiffest structure for a given design domain and a predefined set of loads constructed from a limited amount of material. To this end we consider the entire elasticity tensors C and D in their most general form as optimization variables and include only the basic requirements for linear elastic material in the constraints. This freedom in the design space leads to the ultimately best design, although the optimal material typically does not preexist in nature and approximations of the optimal structure have to be intricately manufactured e.g. by using tapelayering techniques or constructing composites. Moreover, since we have no information about the density of an arbitrary material, we require another measure for the amount of used material and employ a summed trace of the elasticity tensors for this purpose. We show existence of an optimal solution for the obtained minimum compliance problem as well as equivalence to the dual of a nonlinear convex semidefinite program. Moreover we introduce the minimum weight problem formulation which has recently gained much attention due to the development of numerical solvers that render this problem's structure computationally tractable. In Chapter 4 we focus on the numerical solution of the preceding problem formulations. To this end we apply a finite element method to obtain discretized versions of the previously introduced optimization problems. After a sensitivity analysis we are able to compute solutions by employing the nonlinear semidefinite programming code PENSCP, an efficient solver for problems arising from Free Material Optimization. We test our software on a collection of numerical test examples frequently used in the structural optimization of shells and show the validity of our results by comparing them with solutions originating from other prominent material optimization approaches. In Chapter 5 we discuss the extension of the Free Material Optimization problem for shells by multidisciplinary optimization constraints. We consider linear displacement constraints in a discrete context, which can be utilized to manipulate the shape of the deformed structure. In the case of stress constraints we distinguish between in-plane stresses and out-of-plane stresses and apply them in order to avoid material damage or even failure due to high stresses. For the formulation of eigenfrequency constraints we introduce a dynamic model describing the free vibrations of Naghdi shells. Therefrom we deduce a semidefinite matrix constraint that can be employed to raise the natural frequency of the structure to prohibit resonance excitation and ultimately a resonance disaster. The final type of constraints regarded by us are buckling constraints, which address the susceptibility of shells to geometrical imperfections and load perturbations. The thesis is concluded by a summary emphasizing continuative questions for future research in Chapter 6.Im Rahmen dieser Dissertation entwickeln wir mathematische Modelle und numerische Methoden, um das freie Materialoptimierungsproblem für Schalen und Platten zu lösen. In Kapitel 1 stellen wir die aus der Bautechnik stammende Motivation für dieses Problem vor und ordnen den Ansatz der freien Materialoptimierung in Bezug zu anderen gebräuchlichen Methoden in der Strukturoptimierung ein. Im 2. Kapitel stellen wir die Grundlagen der Differentialgeometrie und der Kontinuumsmechanik vor, die für eine zuverlässige Vorhersage des elastischen Verhaltens der Schale nötig sind. Die gewählte Beschreibung basiert auf der Theorie der Cosserat-Medien, einem direkten Zugang zur Schale in Form einer zweidimensionalen Mittelfläche im physischen Raum, die mit Direktorvektoren ausgestattet ist. Wir beschränken uns auf Verschiebungen, die die kinematischen Annahmen der Reissner-Mindlinschen Theorie erfüllen: die durch die Direktorvektoren repräsentierten Materiallinien bleiben während der Deformation gerade und verändern dabei auch nicht ihre Länge. Diese Bedingung führt zu einer Näherung erster Ordnung der dreidimensionalen Elastizitätstheorie, bei der Schereffekte berücksichtigt werden und die als Naghdis Schalenmodell bekannt ist. Das 3. Kapitel ist der Entwicklung eines Formalismus für die freie Materialoptimierung von Naghdi-Schalen gewidmet. Freie Materialoptimierung ist ein Teilgebiet der Strukturoptimierung und beschäftigt sich dementsprechend mit dem Problem, für einen gegebenen Designbereich und festgelegte Lastfälle die steifste Struktur zu finden, die aus einer beschränkten Menge an Material gebaut ist. Zu diesem Zweck betrachten wir die kompletten Elastitzitätstensoren C und D in ihrer allgemeinsten Form als Optimierungsvariablen und berücksichtigen nur die grundlegenden Bedingungen für lineares elastisches Material in den Nebenbedingungen. Diese Freiheit im Entwurfsraum erlaubt das Erreichen der ultimativ besten Struktur, jedoch existiert das optimale Material typischerweise nicht in der Natur. Daher müssen Näherungen der optimalen Struktur aufwendig gefertigt werden, beispielsweise durch die Verwendung von Tapelayering-Techniken oder durch die Konstruktion von Verbundwerkstoffen. Darüber hinaus besitzen wir keine Information über die Dichte eines beliebigen Materials und benötigen daher ein alternatives Maß für die Menge des verwendeten Materials. Zu diesem Zweck verwenden wir eine kombinierte Spur der Elastizitätstensoren. Im Folgenden beweisen wir zum einen die Existenz von Lösungen für das Problem der minimalen Nachgiebigkeit als auch Äquivalenz zum dualen eines nichtlinearen konvexen semidefiniten Programms. Zudem führen wir das Problem des minimalen Gewichts ein, das in letzter Zeit an Relevanz gewonnen hat, da numerische Löser entwickelt wurden, die mit dieser Problemformulierung umgehen können. In Kapitel 4 beschäftigen wir uns mit einer numerischen Lösung der vorangegangenen Problemformulierungen. Dazu verwenden wir eine Finite-Elemente-Methode, um diskrete Versionen der zuvor eingeführten Optimierungsprobleme zu erhalten. Nach einer Sensitivitätsanalyse sind wir in der Lage, mithilfe des nichtlinearen semidefiniten Lösers PENSCP, der effiziente Methoden für die aus der freien Materialoptimierung stammenden Probleme besitzt, Lösungen zu berechnen. Wir überprüfen unsere Software mithilfe einer Ansammlung von häufig verwendeten Testbeispielen aus der Strukturoptimierung von Schalen und zeigen die Stichhaltigkeit unserer Resultate, indem wir sie mit Lösungen vergleichen, die aus anderen etablierten Methoden der Materialoptimierung stammen. Im 5. Kapitel diskutieren wir die Erweiterung des freien Materialoptimierungsproblems für Schalen durch zusätzliche Nebenbedingungen. Wir betrachten lineare Nebenbedingungen für die Verschiebungen, die dazu verwendet werden können, die Form der deformierten Struktur zu beeinflussen. Im Fall der Nebenbedingungen für Spannungen unterscheiden wir zwischen den Spannungen in und außerhalb der Ebene, und benutzen sie, um Materialschäden oder sogar Materialversagen aufgrund zu hoher Spannungen zu vermeiden. Zur Formulierung der Nebenbedingungen für die Eigenfrequenzen der Struktur stellen wir ein dynamisches Modell vor, das die freien Schwingungen von Naghdi-Schalen beschreibt. Daraus leiten wir eine semidefinite Matrixnebenbedingung her, die dazu verwendet werden kann, die natürlichen Eigenfrequenzen der Struktur anzuheben, um so die Anregung durch Resonanz und schlußendlich eine Resonanzkatastrophe zu verhindern. Die letzte Art von Nebenbedingungen, die wir betrachten, sind Knicknebenbedingungungen, die sich mit der Anfälligkeit von Schalen für geometrische Unregelmäßigkeiten und Laststörungen befassen. Im 6. Kapitel wird diese Doktorarbeit durch eine Zusammenfassung abgeschlossen, die auf weiterführende Fragestellungen für zukünftige Forschungsprojekte eingeht