The problems of limit load analysis and optimization using equilibrium finite elements

The equilibrium dual discrete mathematical models of the problems of limit load analysis and optimization are investigated in the article. These models are presented in terms of static and kinematic formulation using equilibrium finite elements. In these mathematical models the possible discontinuities of displacement velocities are evaluated and the velocity of energy dissipation is estimated not only within the volume of finite elements, but at the plastic surfaces between elements. At first, on the basis of the energy principle of the maximum external power [1,2] the general mathematical models (3) and (7) of static formulation of limit load analysis and optimization problems are created. In these models the yield conditions are controlled not only within the volume, but also at the surfaces of finite elements. The equilibrium finite elements and interpolation functions of strains (9) are used for discretization of these models. The constancy of external power is taken as the optimum criterion. The discrete expressions of fundamental relationships—equilibrium and geometric equations, yield conditions (10)-(12) for finite element and (14)-(17) for the discrete model of a body are developed. The discrete expressions of yield conditions are given using the classic collocation methods: collocation at the point, collocation at the sphere (element) and Bubnov-Galiorkin's collocation method [11,12]. The equilibrium equations of discrete structure are developed on the basis of virtual displacement principle while geometrical equations are derived using virtual force principle. In contrast to the approach of other authors, yield conditions and geometrical equations are described not only within finite elements, but also at the surfaces between elements. That helps to design the dual discrete mathematical models of the problems (21)-(26), in which the discontinuities of displacement velocities and the velocity of energy dissipation in the place of those discontinuities are estimated. The mathematical models (22), (24), (26), (29) and (32) of kinematic problem formulation are developed from sensible static formulations by Lagrange's multiplier method. The modified mathematical models (27)-(29) are presented. In these models the equilibrium equations are eliminated or the geometrical equations are transformed into compatible equations of plastic stress velocities, in this way decreasing the number of equations and unknown values. The dependence of the numerical results (limit load) of the frame on the approximation degree of bending moments, as well as on the discretization method of yield conditions are illustrated. In table 1 the values of limit loading parameter F 0 and their error of calculation ΔF 0 (per cent, in comparison with the analytic solution F 0 = 0,4662M 0) are presented. They are given for the first and second order finite elements with linear and parabolic distribution of bending moments using different discrete yield conditions and a different number of finite elements. The numerical result shows, that the discretization of yield conditions by Bubnov-Galiorkin's method gives the best accuracy and stable solutions. By discretizing yield conditions using the point's collocation and collocation at the element, the accurancy of numerical results depends not only on the number of elements, but also on a more or less successful choice of finite elements net. Ribinės apkrovos analizės ir optimizacijos uždavinių formuluotės, panaudojant pusiausviruosius baigtinius elementus Santrauka Sudaromi konstrukcijų ribinės apkrovos ir optimizacijos uždavinių dualūs diskretiniai matematiniai modeliai statine ir kinematine formuluote, panaudojant pusiausviruosius baigtinius elementus. Juose įvertinami galimi poslinkių greičių trūkiai ir energijos disipacijos greitis ne tik kūno tūryje, bet ir plastiniuose paviršiuose tarp baigtinių elementų. Remiantis statine teorema apie ribinę apkrovą [1, 2], pirmiausia sudaryti uždavinių bendri matematiniai modeliai (3) ir (7). Šių modelių diskretizacijai naudojami pusiausvirieji baigtiniai elementai ir įtempimų aproksimavimo funkcijos (9). Optimalumo kriterijumi pasirinkta išorinės apkrovos galingumo pastovumo sąlyga. Sudarytos pusiausvyros lygčių, takumo sǎlygų ir geometrinių lygčių diskretinės išraiškos baigtiniam elementui (10)-(12) ir konstrukcijos diskretiniam modeliui (14)-(17). Takumo sąlygos diskretizuojamos panaudojant klasikinius kolokacijų metodus: kolokacijų taške, kolokacijų srityje (elemente) ir Bubnovo-Galiorkino [11,12]. Diskretinio modelio pusiausvyros lygtys (14) sudaromos naudojant virtualių poslinkių principą, o geometrinės lygtys—virtualių jėgų principą. Skirtingai nei kitų autorių darbuose, takumo sąlygos ir geometrinės lygtys sudaromos ne tik baigtinių elementų vidui, bet ir jų išoriniams paviršiams. Tai ir leidžia sudaryti nagrinėjamų uždavinių diskretinius matematinius modelius (21)-(26), kuriuose įvertinami poslinkių greičių trūkiai ir energijos disipacijos greitis plastiniuose paviršiuse tarp baigtinių elementų. Uždavinių kinematinės formuluotės matematiniai modeliai (22), (24), (26), (29) ir (32) sudaromi iš atitinkamų statinių formuluočių Lagranžo daugiklių metodu. Taip pat pateikiami modifikuoti uždavinių matematiniai modeliai (27)-(29), kuriuose išeliminuotos pusiausvyros lygtys arba geometrinės lygtys pakeistos plastinių deformacijų greičių darnos lygtimis (27), taip sumažinant lygčių ir nežinomųjų skaičių. Rėmo pavyzdžiu iliustruojama skaitmeninių skaičiavimo rezultatų (ribinės apkrovos parametro) priklausomybė nuo lenkimo momentų aproksimavimo laipsnio ir nuo takumo sąlygų diskretizacijos būdo. 1 lentelėje pateiktos rėmo ribinės apkrovos parametro F 0 reikšmės ir jų procentinės paklaidos ΔF0 (palyginant su analitiniu sprendiniu F 0 = 0,4662M 0), gautos pirmos ir antros eilės baigtiniams elementams (su atitinkamai tiesiniu ir paraboliniu lenkimo momentų pasiskirstymu), diskretizuojant rygelius į 1, 2, 3 ir 4 baigtinius elementus. Skaičiavimo rezultatų analizė rodo, kad tiksliausi ir stabiliausi sprendiniai gaunami diskretizuojant takumo sąlygas Bubnovo-Galiorkino metodu. Diskretizuojant takumo sąlygas taškinės kolokacijos bei kolokacijos srityje būdu skaičiavimo rezultatų tikslumas priklauso ne tik nuo skaičiuojamojo tinklo tankio, bet ir nuo jo konfigūracijos daugiau ar mažiau sėkmingo pasirinkimo. First Published Online: 26 Jul 201

Finite elements for modelling beams affected by a distributed load

Usually a finite element with cubic deflection approximation function is applied when evaluating the stress and strain field of bar structures. But such an element only approximately evaluates the actual strain field of the bar affected by a distributed load. The improved finite elements (Fig 1, 2) with fourth and fifth-order deflection approximation functions (1), (6) and (13) are presented in the actual manuscript. The fifth-order deflection approximation function is used for modelling the beams affected by a linearly distributed load (11). The plain bending of the finite element is modelled by 5 and 6 freedom degrees. The additional 5th and 6th freedom degrees are the deflection and deviation of the middle node of element (Fig 2). The element stiffness matrices (Table 1, 2) and node force vectors are presented. The created finite elements exactly modells the stress and strain field of bars, which are affected by distributed load, and also allow to compute directly the middle section displacements of bars. It creates conditions for diminishing the volume of problems and obtaining information, which is necessary to be analysed later. The reduced finite elements (Fig 4) are created by the elimination of the internal freedom degrees. Their number of freedom degrees is decreased up to the number of freedom degrees of a usually applied finite element. But the reduced finite elements have all afore-mentioned qualities. Formulas (20) and (21) are derived expressing the middle node displacements by the final node displacements. These formulas allow to compute the middle section displacements of the bar already after the solution of equation system. The proposed reduced elements can be introduced and applied in engineering practice very easily, because their stiffness matrix coincide with the stiffness matrix of a usual bar finite element. The created elements with internal freedom degrees are very important for the problems of structures optimization with displacement constraints, because the constraint of bar middle section displacement can form just in case, when this displacement is one of the problem's unknown. Also it is very important to decrease the number of unknowns of optimization problem. Baigtiniai elementai strypams su paskirstytomis apkrovomis modeliuoti Santrauka Lenkiamų strypų analizei paprastai naudojami baigtiniai elementai su kubiniu įlinkių pasiskirstymu. Straipsnyje strypams, veikiamiems paskirstytųjų apkrovų, modeliuoti sudaryti baigtiniai elementai (1, 2 pav.) suketvirtojo ir penktojo laipsnio įlinkių interpoliavimo funkcijomis (1), (6) ir (13). Penktojo laipsnio įlinkių funkcijos naudojamos strypams su tiesiškai paskirstyta apkrova (11) modeliuoti. Elemento plokščiasis lenkimas modeliuojamas 5 ir 6 laisvumo laipsniais. Papildomieji 5 ir 6 laisvumo laipsniai—elemento viduriniojo mazgo 3 įlinkis ir kampinis poslinkis (2 pav.). Sudarytos elementų standumo matricos (1, 2 lent.) ir išorinių jėgų vektoriai. Sudaryti baigtiniai elementai tiksliai modeliuoja paskirstytosiomis apkrovomis veikiamų strypų įtempimų ir deformacijų būvį, be to, leidžia tiesiogiai skaičiuoti strypų viduriniojo pjūvio poslinkius. Visatai sudaro galimybę sumažinti uždavinių ir gaunamos informacijos, kurią vėliau reikia analizuoti, apimtį. Eliminuojant vidinius laisvumo laipsnius, sudaryti redukuotieji baigtiniai elementai (4 pav.), kurių laisvumo laipsnių skaičius sumažintas iki paprastai naudojamo elemento laisvumo laipsnių skaičiaus. Tačiau redukuotieji elementai turi visus nurodytuosius privalumus. Gautos formulės (20) ir (21), kuriomis elemento viduriniojo mazgo poslinkiai išreiškiami per jo galinių mazgų poslinkius. Jos leidžia apskaičiuoti strypo viduriniojo pjūvio poslinkius jau po baigtinių elementų lygčių sistemos sprendimo. Pasiūlyti redukuotieji elementai gali būti labai lengvai ųdiegti ir naudojami inžinerinėje praktikoje, kadangi jų standumo matrica sutampa su įprastinio strypinio elemento standumo matrica. Sudaryti elementai su vidiniais laisvumo laipsniais ypač svarbūs konstrukcijų optimizacijos su poslinkių ribojimais uždaviniams, nes, norint apriboti strypo viduriniojo pjūvio poslinkį, reikia, kad sis poslinkis būtų uždavinio nežinomasis. Be to, labai svarbu kiek įmanoma sumažinti optimizacijos uždavinio nežinomųių skaičių. First Published Online: 26 Jul 201

Integrated load optimization of elastic‐plastic axisymmetric plates at shakedown

An elastic‐plastic axisymmetric steel bending plate subjected to a repeated variable load (RVL) is considered. The solution to the load optimization problem at shakedown is complicated because the stress‐strain state of the dissipative systems (e.g. the plate plastic deforming) depends on their loading history. A new algorithm for the load optimization problem combining von Mises and Tresca yield criterion based on the Rosen project gradient method is proposed. The optimization results are obtained by integrating the existing software and that created by the authors. Santrauka Nagrinejama tampriai plastine simetrine lenkiama plokšte, veikiama kintamosios kartotines apkrovos. Prisitaikančiu konstrukciju itempiu ir deformaciju būvis priklauso nuo apkrovimo istorijos. Plokštes apkrovos optimizavimo uždavinio matematiniame modelyje naudojamos stiprumo ir standumo salygos. I apkrovimo istorija atsižvelgiama, pasitelkiant ekst‐remines iražu ir ilinkius ribojančias ju normines reikšmes. Remiantis Rozeno projektuojamuju gradientu metodu sukurtas naujas apkrovos optimizavimo algoritmas, derinantis Mizeso ir Treska takumo salygas. Skaitinio pavyzdžio rezultatai gauti originalia autoriu kompiuterine programa. Reikšminiai žodžiai: prisitaikymas, ekstreminiai energetiniai principai, tampriai plastine plokšte, Mizeso ir Treska takumo salygos, matematinis programavima

Relations and transformations of extremum energy principles for deformable body/Deformuojamo kūno ekstreminių energinių principų ryšiai ir transformacijos

Išnagrinėti tampraus plastiško kūno įtempimų ir deformacijų analizės ir ribinės pusiausvyros būvio ekstreminiai energiniai principai paprasto (vienkartinio) apkrovimo atveju. Suformuluotas pilnutinės papildomosios energijos minimumo principas (4) ir pilnutinės deformacijų energijos minimumo principas (14), atsižvelgiant į pradines deformacijas ir medžiagos stiprėjimą. Parodyta, kad Haro-Karmano, Kolonečio, Pragerio-Saimondso, Kastiljano bei Menabrea ekstreminiai principal gaunami iš pilnutinės papildomosios energijos minimumo principo, o Grinbergo ir Lagranžo principai—iš pilnutinės deformavimo energijos minimumo principo. Idealiai standaus plastiško kūno ribinio būvio analizės energiniai principai išvesti iš pilnutinės papildomosios energijos minimumo principo. Taip pat parodyta, kad kinematinės teoremos apie ribinę apkrovą ir apie paprastą plastinį suirimą gali būti gautos iš tampraus plastiško kūno pilnutinės deformavimo energijos minimumo principo. First Published Online: 26 Jul 201

Dual mathematical models of limit load analysis problems of structures by mixed finite elements

The general and discrete dual mathematical models of the limit load analysis and optimization problems of rigid-plastic body are created in the article. The discrete models are formulated by mixed finite elements and presented in terms of kinematic and static formulation. In these models the velocity of the energy dissipation is estimated not only within the volume of finite elements, but also at the plastic surfaces between elements, where the discontinuities of displacement velocities functions appear. The theory of plastic flow, the theory of duality and mathematical programming are applied. The mixed energy functional (1) and (3) of both problems are formulated using the general static formulations of these problems, presented in the article [10], and Lagrangian multipliers method. The mixed finite elements are used for their discretization. The discrete expressions (8), (9) and (13) of mixed functionals are given choosing the interpolation functions (7) for the stress, displacement velocities, plastic multipliers and external load. Stationary conditions are created by static variables (stress and load vectors) of theses functionals. The discrete expressions of the geometric compatibility equations and constraint of load power are received from them. Using them as preliminary conditions for the functionals (8) and (9), the mathematical models (14), (15) and (17) of kinematic formulation of limit load analysis and optimization problems are formulated. The model (20) with a smaller number of unknowns is formed by elimination the displacement velocities. Using Lagrangian multipliers method, the mathematical models (21)-(23) of static formulation for the limit load parameter analysis problem and the models (24)-(26) for the load optimization problem are derived. All of them are the problems of mathematical programming. The mathematical models of static formulation for engineering purposes are more important and fit better. They are easier solved (a smaller quantity of unknowns), besides, they allow to determine the optimum distribution of the load. The formulated mathematical models allow to determine upper values of limit load, stresses, displacement and plastic multipliers velocities. Together with equilibrium models of these problems, presented in the article [10], they allow to determine the lower and upper values of aforementioned parameters. So, a good possibility is created to check reliability and exactness of numerical calculation results and to establish, if the computing net density of finite elements is sufficient. Konstrukcijų ribinės apkrovos skaičiavimo uždavinių dualieji matematiniai modeliai naudojant mišriuosius baigtinius elementus Santrauka Sudaromi standžiojo-plastiškojo kūno ribinės apkrovos analizės ir optimizavimo uždavinių bendrieji ir diskretieji dualieji matematiniai modeliai kinematine ir statine formuluote, naudojant mišriuosius baigtinius elementus. Juose atsižvelgiama į energijos disipacijos greitį ne tik baigtinių elementų tūryje, bet ir plastinio tekėjimo paviršiuose tarp elementų, kur atsiranda poslinkių greičių funkcijų trūkiai. Taikoma plastinio tekėjimo teorija, dualumo teorija bei matematinis programavimas. Naudojant straipsnyje [10] pateiktas šių uždavinių bendrąsias statines formuluotes ir Lagranžo daugiklių metodą. sudaromi abiejų uždavinių mišrieji energiniai funkcionalai (1) ir (3). Jų diskretizacijai panaudoti mišrieji baigtiniai elementai. Pasirenkant įtempimų, poslinkių greičių, plastinių daugiklių bei išorinės apkrovos interpoliavimo funkcijas (7) sudaromos mišriųjų funkcionalų diskrečiosios išraiškos (8), (9), (13) ir šių funkcionalų stacionarumo pagal statinius kintamuosius (įtempimų ir apkrovos vektorius) sąlygos. Iš jų gaunamos geometrinės darnos lygčių bei apkrovos galingumo normalizavimo diskrečiosios išraiškos. Jas naudojant kaip išankstines funkcionalų (8) ir (9) sąlygas sudaromi ribinės apkrovos analizės ir optimizaeijos uždavinių kinematinės formuluotės matematiniai modeliai (14), (15), (17). Išeliminavus poslinkių greičius, sudarytas modelis (20) su mažesniu nežinomųjų skaičiumi. Naudojant Lagranžo daugiklių metodą sudaryti statines formuluotės matematiniai modeliai (21)-(23) ribinės apkrovos parametro nustatymo uždaviniui ir modeliai (24)-(26) apkrovos optimizavimo uždaviniui. Visi jie yra matematinio programavimo uždaviniai. Inžineriniams tikslams svarbesni ir tinkamesni statinės formuluotės matematiniai modeliai. Jie lengviau išsprendžiami (mažiau nežinomųjų), be to, tik jie leidžia nustatyti optimalų apkrovos pasiskirstymą. Sudaryti matematiniai modeliai leidžia rasti ribinės apkrovos, įtempimų), poslinkių ir plastinių daugiklių greičių viršutines reikšmes. Kartu su šių uždavinių pusiausvyriniais modeliais [10], sudarytais naudojant pusiausviruosius baigtinius elementus, jie leidžia sužinoti nurodytų parametrų apatines ir viršutines reikšmes. Strypinių konstrukcijų atveju jos sutampa, t.y. išreiškia tikslųjį sprendinį. Taigi atsiranda gera galimybė patikrinti skaitinių skaičiavimo rezultatų patikimumą bei tikslumą ir sužinoti, ar pakankamas baigtinių elementų skaičiuojamojo tinklo tankis. First Published Online: 26 Jul 201

Locking conditions for finite element models/Standėjimo sąlygos baigtinių elementų modeliams

Sprendžiant standėjančio kū;no įtempimų-deformacijų analizės ar optimizacijos uždavinius, standėjimo sąlygos paprastai tikrinamos tik baigtinių elementų mazguose, t.y. sudaromos taškinės standėjimo sąlygos. Tačiau plastiškumo teorijoje naudojami ir kiti takumo sąlygų analogai, diskretizacijos metodai. Šiame straipsnyje standėjimo sąlygų diskretizacijos problema sprendžiama panaudojant klasikinius matematikoje žinomus kolokacijų metodus. Taškinės kolokacijos, kolokacijų srityje ir Bubnovo-Galiorkino metodais sudarytos trys bendros diskretinių standėjimo sąlygų formos—taškinės, integralinės elementinės ir integralinės taškinės standėjimo sąlygos. Bendru atveju užduodant poslinkių, standėjimo konstantų ir daugiklių aproksimavimo funkcijas, jos išreiškiamos per baigtinio elemento mazgų poslinkius, standėjimo konstantas ir daugiklius. Kūno deformacijų būvį tiksliausiai aprašo integralinės taškinės standėjimo sąlygos, tačiau paprasčiausia yra taškinės standėjimo sąlygos išraiška. Aprašytoji standėjimo sąlygų diskretizacija iliustruojama plokštės pirmos ir antros eilės trikampio elemento su tiesiniu ir parabolinių poslinkių pasiskirstymu diskretinių standėjimo sąlygų sudarymu. Parodyta, kad pirmos eilės elemento visos trys diskretinių standėjimo sąlygų išraiškos sutampa iki pastovaus daugiklio. First Published Online: 26 Jul 201

Optimization-Based Elastic-Plastic Analysis of Steel Frames by Volumetric Plasticity Concept

Structures composed of physical nonlinear finite elements under bending and compression or tension are considered in this paper. Material nonlinearity is considered as linearly hardened. In case of material hardening, plastic strains do not concentrate in one point but distribute in the certain volumes of finite element. Volumes of plastic strains zones in frame structure elements impact on elasticity modules of these elements sections by decreasing them. Technique of such elasticity modules decrease in finite elements sections is suggested. To realize such structure analysis, a treatment of strains in mathematical model is changed. Now strains are treated not as rotation angles and elongations of finite elements, but as longitudinal strains. Mathematical model including above mentioned modifications is presented. Solving algorithm based on a modified Newton-Raphson method is particularly explained and employed for numerical example

The discrete model and the analysis of a spherical shell by finite equilibrium elements

The paper presents the equilibrium finite element discretization of symmetrically loaded spherical flat shells. It is based on Castigliano principle. A new second-order equilibrium finite element is suggested, and the equilibrium and physical equations, obtained for it by using the Bubnov-Galiorkin method, are presented. A mathematical model for solving the problem of the elastic shell computation is created, based on the above equations. The method-ology is illustrated by a numerical example. The results are obtained, using a computer-aided program developed by the authors. The calculation results, obtained using the mesh of the elements of various density, show that the accuracy of the created element and the convergence of the results are high

Equilibrium Finite Elements of Spherical Shells in Analysis Problems

AbstractIn this paper, the problems of analysis of flat spherical shells modelled by equilibrium finite elements are formulated and solved. A new second-order equilibrium finite element developed by the method of Bubnov-Galerkin is suggested. Equilibrium and geometrical equations are created for this element and, based on these equations, the mathematical models of the analysis problem of internal forces and displacements, as well as the limit external load optimization problem for the shell structures are constructed. These are nonlinear mathematical programming problems. The methodology is illustrated by the numerical examples. The solution results are obtained for the finite elements of various sizes and show very high accuracy of the suggested element and convergence of the results