A note on the computation of the fraction of smallest denominator in between two irreducible fractions

International audienceGiven two irreducible fractions f and g, with f < g, we characterize the fraction h such that f < h < g and the denominator of h is as small as possible. An output-sensitive algorithm of time complexity O(d), where d is the depth of h is derived from this characterization

Representation of Imprecise Digital Objects

International audienceIn this paper, we investigate a new framework to handle noisy digital objects. We consider digital closed simple 4-connected curves that are the result of an imperfect digital conversion (scan, picture, etc), and call digital imprecise contours such curves for which an imprecision value is known at each point. This imprecision value stands for the radius of a ball around each point, such that the result of a perfect digitization lies in the union of all the balls. In the first part, we show how to define an imprecise digital object from such an imprecise digital contour. To do so, we define three classes of pixels : inside, outside and uncertain pixels. In the second part of the paper, we build on this definition for a volumetric analysis (as opposed to contour analysis) of imprecise digital objects. From so-called toleranced balls, a filtration of objects, called λ-objects is defined. We show how to define a set of sites to encode this filtration of objects

Petit manuel de survie en milieu digital

National audienceSaviez-vous que les légos ou Minecraft possèdent leur propre géométrie ? Bien sûr, la dénomination est différente mais il s’agit bien d’étudier les formes que l’on peut construire avec des briques élémentaires à faces carrées. En imagerie, les carrés et les cubes sont respectivement appelés pixels et voxels et trouvent une représentation naturelle dans la grille des entiers Z2 et Z3. Bizarrement, le but premier de cette théorie n’est pas de construire des vaisseaux spatiaux, des châteaux remplis de ninjas ou des villes titanesques mais des droites, des cercles, des sphères ou tout objet mathématique qui ressemble un tant soit peu aux figures de la géométrie élémentaire.En dehors de ses applications ludiques, la géométrie digitale se définit comme la géométrie de Z2, Z3 ou plus généralement Zn, autant dire des espaces peu favorables à la géométrie. Si vous vous aventurez sur le chemin qui mène dans ces contrées hostiles à la pensée mathématique et informatique, vous risquez de croiser le membre de l’une de ses tribus archaïques. Au cas fort improbable où vous arriveriez à communiquer avec cet être primitif, vous en apprendrez peut-être un peu plus sur les raisons étranges qui leur font développer cette géométrie rudimentaire en milieu si hostile :— d’abord sans doute une certaine nostalgie pour les jeux de construction, — pour les esthètes, la beauté de la théorie,— et pour d’autres, l’ambition de jouer aux Mac Gyver de la géométrie mais derrière ces fantaisies extravagantes qui peuvent les rendre sympathiques, voir naïfs ou inoffensifs, se terre un argument de fond qui ne relève pas de la simple lubie mais de l’emprise du numérique sur les sciences et technologies actuelles.De tous temps, les sciences physiques à moyennes et grandes échelles ont guidé le développement d’une partie des mathématiques et en particulier de théories géométriques continues telles que la géométrie différentielle avec en soubassement le corps des nombres réels ou complexes. Ce paradigme (R) a fait ses preuves mais sa nature continue le rend fondamentalement inadapté au traitement des données recueillies par les millions de périphériques qui alimentent les bases de données du monde entier. Les capteurs enregistrent des données sous forme digitale, soit à une résolution fixée des tableaux d’entiers c’est-à-dire des fonctions de Zd à valeur dans Z. Peut-on les traiter comme si c’étaient des fonctions de Rd dans R ? Probablement pas sans précautions mais c’est pourtant la voie la plus courante : l’usager pioche l’outil dont il a besoin dans les mathématiques continues, puis il recherche le moyen de l’appliquer à des structures entières, parfois grâce à un bricolage dont il garde le secret tant il existe d’innombrables façons de faire. Même si le résultat peut s’avérer significatif, passer par les nombres réels, c’est-à-dire une théorie basée sur des suites rationnelles de Cauchy convergentes, pour ensuite l’appliquer dans un cadre entier via des probabilités, une autre théorie ou un subterfuge est un détour considérable. Puisque de très nombreuses données à traiter se présentent sous la forme d’objets composés d’entiers -le b.a.-ba des nombres pourquoi ne pas développer une théorie géométrique qui soit directement adaptée à ce format de données ? C’est le chemin que nous vous proposons d’explorer. Il parcourt un territoire primitif encore largement vierge et donc propice à la recherche. Les agités du bocal dont je vous ai déjà parlé -on pourrait aussi les appeler des pionniers ont bien sûr commencé à le défricher mais en comparaison de l’ampleur de la tâche, on en peut pas dire qu’ils soient très nombreux. C’est un travail en cours, un chantier à ciel ouvert et un terrain de jeu sur lequel il est vivement recommandé de s’aventurer en dehors des chemins balisés. Mais avant de vous lâcher en pleine jungle, nous vous proposons un itinéraire balisé. Alors, remontez vos chaussettes, aspergez-vous de citronnelle, empoignez vos coupe-coupes et suivez le guide..

Revisiting Digital Straight Segment Recognition

This paper presents new results about digital straight segments, their recognition and related properties. They come from the study of the arithmetically based recognition algorithm proposed by I. Debled-Rennesson and J.-P. Reveill\`es in 1995 [Debled95]. We indeed exhibit the relations describing the possible changes in the parameters of the digital straight segment under investigation. This description is achieved by considering new parameters on digital segments: instead of their arithmetic description, we examine the parameters related to their combinatoric description. As a result we have a better understanding of their evolution during recognition and analytical formulas to compute them. We also show how this evolution can be projected onto the Stern-Brocot tree. These new relations have interesting consequences on the geometry of digital curves. We show how they can for instance be used to bound the slope difference between consecutive maximal segments

The evolution of rural society in western Peloponnese: Metochi (Achaia)

Metochi est une commune de la plaine littorale du Péloponnèse oc­cidental. Elle se compose de deux hameaux principaux: Metochi etLappa. Metochi est l'établissement le plus ancien et autrefois la plusimportant. Il est en train de décliner, cependant que Lappa prend l'avantage, grâce à dessols de meilleure qualité, grâce à sa localisation sur les voies de communications principales et surtout grâce à sespossibilités d'irrigation. La surface moyenne par exploitation est deux fois plus élevée à Lappa et l'eau abondante, si bien que la commune sedécompose en un village prospère. Lappa et un village pauvre.Metochi, dont les habitants doivent travailler chez les exploitants deLappa pour compléter leurs ressources.Metochi is a commune in the littoral plain of western Peloponnese. Itis composed of two main hamlets: Metochi and Lappa. Metochi is theeldest and formally most important settlement. It is now decliningwhereas Lappa is faringbetter thanks to the higher quality ofits soils,its location on the main linesof communication and above all thanksto its irrigation capacities. The average surface of its farms is twice asbig as in Lappa and water is plentiful: the community is now compos ed of a thriving village. Lappa, and a poor village, Metochi, whose inhabitants have to work for Lappa's farmers to make up their livingresources

L' évolution récente de Kanalaki, centre de services du Phanari (Département de Prévéza)

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Efficient Distance Transformation for Path-based Metrics

In many applications, separable algorithms have demonstrated their efficiency to perform high performance volumetric processing of shape, such as distance transformation or medial axis extraction. In the literature, several authors have discussed about conditions on the metric to be considered in a separable approach. In this article, we present generic separable algorithms to efficiently compute Voronoi maps and distance transformations for a large class of metrics. Focusing on path-based norms (chamfer masks, neighborhood sequences...), we propose efficient algorithms to compute such volumetric transformation in dimension $n$. We describe a new $O(n\cdot N^n\cdot\log{N}\cdot(n+\log f))$ algorithm for shapes in a $N^n$ domain for chamfer norms with a rational ball of $f$ facets (compared to $O(f^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\cdot N^n)$ with previous approaches). Last we further investigate an even more elaborate algorithm with the same worst-case complexity, but reaching a complexity of $O(n\cdot N^n\cdot\log{f}\cdot(n+\log f))$ experimentally, under assumption of regularity distribution of the mask vectors

Unsupervised Polygonal Reconstruction of Noisy Contours by a Discrete Irregular Approach

International audienceIn this paper, we present an original algorithm to build a polygonal reconstruction of noisy digital contours. For this purpose, we first improve an algorithm devoted to the vectorization of discrete irregular isothetic objects. Afterwards we propose to use it to define a reconstruction process of noisy digital contours. More precisely, we use a local noise detector, introduced by Kerautret and Lachaud in IWCIA 2009, that builds a multi-scale representation of the digital contour, which is composed of pixels of various size depending of the local amount of noise. Finally, we compare our approach with previous works, by con- sidering the Hausdorff distance and the error on tangent orientations of the computed line segments to the original perfect contour. Thanks to both synthetic and real noisy objects, we show that our approach has interesting performance, and could be applied in document analysis systems

An update on the coin-moving game on the square grid

This paper extends the work started in 2002 by Demaine, Demaine and Verill (DDV) on coin-moving puzzles. These puzzles have a long history in the recreational literature, but were first systematically analyzed by DDV, who gave a full characterization of the solvable puzzles on the triangular grid and a partial characterization of the solvable puzzles on the square grid. This article specifically extends the study of the game on the square grid. Notably, DDV's result on puzzles with two "extra coins" is shown to be overly broad: this paper provides counterexamples as well as a revised version of this theorem. A new method for solving puzzles with two extra coins is then presented, which covers some cases where the aforementioned theorem does not apply. Puzzles with just one extra coin seem even more complicated, and are only touched upon by DDV. This paper delves deeper, studying a class of such puzzles that may be considered equivalent to a game of "poking" coins. Within this class, some cases are considered that are amenable to analysis

Από το περιεχόμενον και τας μεθόδους της ανθρωπογεωγραφίας

[Δε διατίθεται περίληψη][No abstract available