Discontinuous Galerkin Method based on Riemann fluxes for the time domain Maxwell System

In this report, we devise a discontinuous Galerkin method for the propagation of electromagnetic waves in a homogeneous medium. The numerical fluxes are deduced from the solution of a 1D electromagnetic problem. Numerical simulations illustrate the accuracy of the method

A discontinuous Galerkin Trefftz type method for solving the two dimensional Maxwell equations

International audienceTrefftz methods are known to be very efficient to reduce the numerical pollution when associated to plane wave basis. However, these local basis functions are not adapted to the computation of evanescent modes or corner singularities. In this article, we consider a two dimensional time-harmonic Maxwell system and we propose a formulation which allows to design an electromagnetic Trefftz formulation associated to local Galerkin basis computed thanks to an auxiliary Nédélec finite element method. The results are illustrated with numerous numerical examples. The considered test cases reveal that the short range and long range propagation phenomena are both well taken into account

Iterative Trefftz method for three-dimensional electromagnetic waves propagation.

La simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions intervient dans de nombreuses applications civiles et militaires et met très souvent en jeu la résolution de très grands systèmes linéaires. La mémoire nécessaire pour la factorisation LU de la matrice croît très rapidement avec la taille du domaine de calcul de telles sortes que les méthodes de type EF ou GD classiques sont inutilisables. Cela conduit naturellement à employer une méthode itérative. Dans cette thèse, nous développons GoTEM3, un solveur Trefftz itératif HPC basé sur des espaces de Krylov.Les méthodes de Trefftz peuvent être interprétées comme des méthodes de Galerkin Discontinues dont les fonctions de base sont des solutions locales des équations aux dérivées partielles étudiées. Les formulations variationnelles Trefftz sont présentées sous le point de vue de formes consistantes ou de traces numériques. Ces dernières sont obtenues alternativement, pour les milieux homogènes, par un solveur de Riemann, et dans le cas général des milieux hétérogènes, par un problème de Cessenat-Després ou upwind. Elles conduisent toutes à des formulations équivalentes et coercives. Un algorithme itératif reposant sur l'UWVF de Cessenat-Després mène à un problème de point fixe dont la matrice est contractante. Toutefois, cette propriété n'est parfois plus vérifiée numériquement à cause des erreurs d'arrondis. Nous mettons alors en place un solveur GMRES et un solveur de type Krylov Galerkin dans GoTEM3. Les fonctions de base employées sont des ondes planes et peuvent devenir linéairement dépendantes numériquement. Un nouveau préconditionneur global, au sens où il implique les trois dimensions du domaine, permet d'obtenir une solution numérique précise avec nettement moins d'itérations qu'un préconditionneur de Cessenat-Després. L'amélioration du conditionnement passe aussi par une stratégie de réduction de la base d'ondes planes, conduisant à des diminutions du temps d'exécution et du coût mémoire. Ce dernier aspect est particulièrement optimisé avec un désassemblage de la matrice, rendu possible grâce au caractère cartésien du maillage. Ainsi, GoTEM3 simule les ondes électromagnétiques sur des domaines contenant plus d'un milliard de degrés de liberté.Three-dimensional electromagnetic waves simulation is used in several civil and military applications. It often involves large linear systems leading to memory cost and computation time issues. When using a LU factorisation, the memory needed to invert the matrix increases very quickly with the domain size. In this thesis, we develop GoTEM3 : a HPC Trefftz iterative solver.Trefftz methods can be interpreted as Discontinuous Galerkin methods whose basis functions are local solutions of the studied partial differential equations. Trefftz variational formulations are presented following either the consistant forms or the numerical traces point of view. The latter are obtained, in the homogeneous case, thanks to a Riemann solver, and in the heterogeneous case, thanks to a Cessenat-Després or an upwind problem. They all lead to equivalent and coercive variational formulations. A fixed point algorithm based on Cessenat-Després UWVF is written and uses a contractant matrix. However, this property might not be numerically satisfied due to rounding errors. We then derive two Trefftz iterative solvers based on Krylov spaces : a GMRES solver and a Krylov Galerkin solver. In this thesis, basis functions are plane waves and can become numerically dependant. A new global preconditioner, implying the three directions of the domain, outperforms the Cessenat-Després preconditioner by using significantly fewer iterations. Conditioning enhancement is also performed thanks to a plane waves basis reduction, leading to both time and memory gains. This latter aspect is strongly improved by the use of a free-matrix strategy achieved thanks to the cartesian structure of the mesh. GoTEM3 is therefore a code simulating electromagnetic waves on domains containing more than one billion of degrees of freedom

Méthode itérative de Trefftz pour la simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions.

Three-dimensional electromagnetic waves simulation is used in several civil and military applications. It often involves large linear systems leading to memory cost and computation time issues. When using a LU factorisation, the memory needed to invert the matrix increases very quickly with the domain size. In this thesis, we develop GoTEM3 : a HPC Trefftz iterative solver.Trefftz methods can be interpreted as Discontinuous Galerkin methods whose basis functions are local solutions of the studied partial differential equations. Trefftz variational formulations are presented following either the consistant forms or the numerical traces point of view. The latter are obtained, in the homogeneous case, thanks to a Riemann solver, and in the heterogeneous case, thanks to a Cessenat-Després or an upwind problem. They all lead to equivalent and coercive variational formulations. A fixed point algorithm based on Cessenat-Després UWVF is written and uses a contractant matrix. However, this property might not be numerically satisfied due to rounding errors. We then derive two Trefftz iterative solvers based on Krylov spaces : a GMRES solver and a Krylov Galerkin solver. In this thesis, basis functions are plane waves and can become numerically dependant. A new global preconditioner, implying the three directions of the domain, outperforms the Cessenat-Després preconditioner by using significantly fewer iterations. Conditioning enhancement is also performed thanks to a plane waves basis reduction, leading to both time and memory gains. This latter aspect is strongly improved by the use of a free-matrix strategy achieved thanks to the cartesian structure of the mesh. GoTEM3 is therefore a code simulating electromagnetic waves on domains containing more than one billion of degrees of freedom.La simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions intervient dans de nombreuses applications civiles et militaires et met très souvent en jeu la résolution de très grands systèmes linéaires. La mémoire nécessaire pour la factorisation LU de la matrice croît très rapidement avec la taille du domaine de calcul de telles sortes que les méthodes de type EF ou GD classiques sont inutilisables. Cela conduit naturellement à employer une méthode itérative. Dans cette thèse, nous développons GoTEM3, un solveur Trefftz itératif HPC basé sur des espaces de Krylov.Les méthodes de Trefftz peuvent être interprétées comme des méthodes de Galerkin Discontinues dont les fonctions de base sont des solutions locales des équations aux dérivées partielles étudiées. Les formulations variationnelles Trefftz sont présentées sous le point de vue de formes consistantes ou de traces numériques. Ces dernières sont obtenues alternativement, pour les milieux homogènes, par un solveur de Riemann, et dans le cas général des milieux hétérogènes, par un problème de Cessenat-Després ou upwind. Elles conduisent toutes à des formulations équivalentes et coercives. Un algorithme itératif reposant sur l'UWVF de Cessenat-Després mène à un problème de point fixe dont la matrice est contractante. Toutefois, cette propriété n'est parfois plus vérifiée numériquement à cause des erreurs d'arrondis. Nous mettons alors en place un solveur GMRES et un solveur de type Krylov Galerkin dans GoTEM3. Les fonctions de base employées sont des ondes planes et peuvent devenir linéairement dépendantes numériquement. Un nouveau préconditionneur global, au sens où il implique les trois dimensions du domaine, permet d'obtenir une solution numérique précise avec nettement moins d'itérations qu'un préconditionneur de Cessenat-Després. L'amélioration du conditionnement passe aussi par une stratégie de réduction de la base d'ondes planes, conduisant à des diminutions du temps d'exécution et du coût mémoire. Ce dernier aspect est particulièrement optimisé avec un désassemblage de la matrice, rendu possible grâce au caractère cartésien du maillage. Ainsi, GoTEM3 simule les ondes électromagnétiques sur des domaines contenant plus d'un milliard de degrés de liberté

Trefftz method for electromagnetic wave simulation in three dimensions

International audienceThe simulation of time-harmonic electromagnetic waves requires a matrix inversion whose cost, especially in three-dimensional cases, increases quickly with the size of the computational domain. This is a tangible issue regarding memory consumption when the size of the domain comes of a few dozen wavelengths in each direction. The so-called pollution effect tends to accentuate this problem. This phenomena forces to increase the number of discretization points per wavelength to ensure the accuracy of the numerical solution when the size of the domain increases.A conventional idea consists in reducing computing costs by performing domain decomposition. This method requires the resolution of smaller auxiliary problems on each subdomain. These subdomains are then coupled thanks to Robin fluxes which ensure the convergence of the method. These methods are efficient but not flexible enough to be integrated easily in industrial codes.Recently, lots of authors have been studying Trefftz methods. Such methods offer a good flexibility of the mesh regarding both forms and sizes of cells. Therefore, they can deal with complex geometrical constraints of industrial environment. Trefftz methods consist in using a discontinuous Galerkin method whose basis functions are defined as  local solutions of the studied equation. They can be given either analytically by a sum of plane waves or numerically by an auxiliary solver. These basis functions are specific to the considered physical problem and thus reduce numerical dispersion phenomena. Trefftz methods are also particularly adapted to domain decomposition methods. It is then possible to come up with an iterative Trefftz solver.In this presentation, we will show different Trefftz methods for solving time-harmonic Maxwell problem in three dimensions. We will deal with the case of an auxiliary analytical solver using plane waves, and with the case of an auxiliary numerical solver using high order Nédélec finite elements. A comparison between different formulations will be given. We will also pay particular attention to the accuracy of the method and to the memory necessary for the resolution. Finally, reasons why these numerical methods are adapted to modern architectures will be brought to the fore

Trefftz iterative method for three-dimensional electromagnetic waves propagation

International audienceThree-dimensional electromagnetic waves simulation is used in several civil and military applications. It often involves large linear systems leading to memory cost and computation time issues. When using a LU factorisation, the memory needed to invert the matrix increases very quickly with the domain size. In this thesis, we develop GoTEM3 : a HPC Trefftz iterative solver.Trefftz methods can be interpreted as Discontinuous Galerkin methods whose basis functions are local solutions of the studied partial differential equations. Trefftz variational formulations are presented following either the consistant forms or the numerical traces point of view. The latter are obtained, in the homogeneous case, thanks to a Riemann solver, and in the heterogeneous case, thanks to a Cessenat-Després or an upwind problem. They all lead to equivalent and coercive variational formulations. A fixed point algorithm based on Cessenat-Després UWVF is written and uses a contractant matrix. However, this property might not be numerically satisfied due to rounding errors. We then derive two Trefftz iterative solvers based on Krylov spaces : a GMRES solver and a Krylov Galerkin solver. In this thesis, basis functions are plane waves and can become numerically dependant. A new global preconditioner, implying the three directions of the domain, outperforms the Cessenat-Després preconditioner by using significantly fewer iterations. Conditioning enhancement is also performed thanks to a plane waves basis reduction, leading to both time and memory gains. This latter aspect is strongly improved by the use of a free-matrix strategy achieved thanks to the cartesian structure of the mesh. GoTEM3 is therefore a code simulating electromagnetic waves on domains containing more than one billion of degrees of freedom.La simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions intervient dans de nombreuses applications civiles et militaires et met très souvent en jeu la résolution de très grands systèmes linéaires. La mémoire nécessaire pour la factorisation LU de la matrice croît très rapidement avec la taille du domaine de calcul de telles sortes que les méthodes de type EF ou GD classiques sont inutilisables. Cela conduit naturellement à employer une méthode itérative. Dans cette thèse, nous développons GoTEM3, un solveur Trefftz itératif HPC basé sur des espaces de Krylov.Les méthodes de Trefftz peuvent être interprétées comme des méthodes de Galerkin Discontinues dont les fonctions de base sont des solutions locales des équations aux dérivées partielles étudiées. Les formulations variationnelles Trefftz sont présentées sous le point de vue de formes consistantes ou de traces numériques. Ces dernières sont obtenues alternativement, pour les milieux homogènes, par un solveur de Riemann, et dans le cas général des milieux hétérogènes, par un problème de Cessenat-Després ou upwind. Elles conduisent toutes à des formulations équivalentes et coercives. Un algorithme itératif reposant sur l'UWVF de Cessenat-Després mène à un problème de point fixe dont la matrice est contractante. Toutefois, cette propriété n'est parfois plus vérifiée numériquement à cause des erreurs d'arrondis. Nous mettons alors en place un solveur GMRES et un solveur de type Krylov Galerkin dans GoTEM3. Les fonctions de base employées sont des ondes planes et peuvent devenir linéairement dépendantes numériquement. Un nouveau préconditionneur global, au sens où il implique les trois dimensions du domaine, permet d'obtenir une solution numérique précise avec nettement moins d'itérations qu'un préconditionneur de Cessenat-Després. L'amélioration du conditionnement passe aussi par une stratégie de réduction de la base d'ondes planes, conduisant à des diminutions du temps d'exécution et du coût mémoire. Ce dernier aspect est particulièrement optimisé avec un désassemblage de la matrice, rendu possible grâce au caractère cartésien du maillage. Ainsi, GoTEM3 simule les ondes électromagnétiques sur des domaines contenant plus d'un milliard de degrés de liberté

Méthode itérative de type Trefftz pour la simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions

International audienceThree-dimensional electromagnetic waves simulation is used in several civil and military applications. It often involves large linear systems leading to memory cost and computation time issues. When using a LU factorisation, the memory needed to invert the matrix increases very quickly with the domain size. In this thesis, we develop GoTEM3 : a HPC Trefftz iterative solver.Trefftz methods can be interpreted as Discontinuous Galerkin methods whose basis functions are local solutions of the studied partial differential equations. Trefftz variational formulations are presented following either the consistant forms or the numerical traces point of view. The latter are obtained, in the homogeneous case, thanks to a Riemann solver, and in the heterogeneous case, thanks to a Cessenat-Després or an upwind problem. They all lead to equivalent and coercive variational formulations. A fixed point algorithm based on Cessenat-Després UWVF is written and uses a contractant matrix. However, this property might not be numerically satisfied due to rounding errors. We then derive two Trefftz iterative solvers based on Krylov spaces : a GMRES solver and a Krylov Galerkin solver. In this thesis, basis functions are plane waves and can become numerically dependant. A new global preconditioner, implying the three directions of the domain, outperforms the Cessenat-Després preconditioner by using significantly fewer iterations. Conditioning enhancement is also performed thanks to a plane waves basis reduction, leading to both time and memory gains. This latter aspect is strongly improved by the use of a free-matrix strategy achieved thanks to the cartesian structure of the mesh. GoTEM3 is therefore a code simulating electromagnetic waves on domains containing more than one billion of degrees of freedom.La simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions intervient dans de nombreuses applications civiles et militaires et met très souvent en jeu la résolution de très grands systèmes linéaires. La mémoire nécessaire pour la factorisation LU de la matrice croît très rapidement avec la taille du domaine de calcul de telles sortes que les méthodes de type EF ou GD classiques sont inutilisables. Cela conduit naturellement à employer une méthode itérative. Dans cette thèse, nous développons GoTEM3, un solveur Trefftz itératif HPC basé sur des espaces de Krylov.Les méthodes de Trefftz peuvent être interprétées comme des méthodes de Galerkin Discontinues dont les fonctions de base sont des solutions locales des équations aux dérivées partielles étudiées. Les formulations variationnelles Trefftz sont présentées sous le point de vue de formes consistantes ou de traces numériques. Ces dernières sont obtenues alternativement, pour les milieux homogènes, par un solveur de Riemann, et dans le cas général des milieux hétérogènes, par un problème de Cessenat-Després ou upwind. Elles conduisent toutes à des formulations équivalentes et coercives. Un algorithme itératif reposant sur l'UWVF de Cessenat-Després mène à un problème de point fixe dont la matrice est contractante. Toutefois, cette propriété n'est parfois plus vérifiée numériquement à cause des erreurs d'arrondis. Nous mettons alors en place un solveur GMRES et un solveur de type Krylov Galerkin dans GoTEM3. Les fonctions de base employées sont des ondes planes et peuvent devenir linéairement dépendantes numériquement. Un nouveau préconditionneur global, au sens où il implique les trois dimensions du domaine, permet d'obtenir une solution numérique précise avec nettement moins d'itérations qu'un préconditionneur de Cessenat-Després. L'amélioration du conditionnement passe aussi par une stratégie de réduction de la base d'ondes planes, conduisant à des diminutions du temps d'exécution et du coût mémoire. Ce dernier aspect est particulièrement optimisé avec un désassemblage de la matrice, rendu possible grâce au caractère cartésien du maillage. Ainsi, GoTEM3 simule les ondes électromagnétiques sur des domaines contenant plus d'un milliard de degrés de liberté

Formulation Variationnelle Ultra Faible pour les équations de Maxwell hétérogènes dans le contexte du calcul haute performance

Electromagnetic simulations on large domains require a huge memory consumption. Domain decomposition methods, based on Trefftz methods, could be an answer to this issue. In this paper, we associate to heterogeneous three-dimensional Maxwell equations two equivalent variational formulations. One is based on upwind fluxes and the other one is based on fluxes introduced by O. Cessenat and B. Després. We associate to these variational formulations an iterative Trefftz GMRES solver. The poor conditioning due to the use of plane wave basis functions is bypassed thanks to a compression strategy. Moreover, the developed iterative solver is accelerated thanks to a left preconditioner. The considered numerical cases illustrate the performance of this basis reduction, which leads to the consideration of an industrial case of more than 750 millions of degrees of freedom

Trefftz method for three-dimensional electromagnetic wave simulation

National audienceLa modélisation précise d'ondes électromagnétiques sur des structures complexes en trois dimensions nécessite l'inversion d'une matrice dont la taille augmente très rapidement avec la taille du domaine. Ce problème devient critique en ce qui concerne la ressource mémoire lorsque la taille du domaine atteint quelques dizaines de longueurs d'onde dans toutes les dimensions. Cette problématique est accentuée par le phénomène de pollution numérique qui force à augmenter le nombre de points de discrétisation par longueur d'onde lorsque la taille du domaine augmente.Une idée classique consiste à réduire les coûts de calcul en réalisant une décomposition de domaine. Cette méthode nécessite la résolution de problèmes auxiliaires de plus petites tailles dans chaque sous-domaine. Les sous-domaines sont alors couplés grâce à des flux de Robin qui assurent la convergence de la méthode. Bien qu'elles soient efficaces, ces méthodes ne sont pas suffisamment flexibles pour être intégrées facilement à des codes de calcul industriels.Plus récemment, de nombreux auteurs se sont intéressés à des méthodes de type Trefftz. Ces méthodes offrent une grande souplesse pour la forme (hexaèdre, tétraèdre ...) et pour la taille des cellules constituant le maillage. Elles répondent ainsi aux contraintes géométriques des grands modèles industriels. Les méthodes de Trefftz consistent à utiliser une méthode de Galerkin discontinue dont les fonctions de base sont définies comme des solutions locales de l'équation considérée. Celles-ci peuvent être données analytiquement par une somme d'ondes planes ou numériquement par un solveur auxiliaire. Ces fonctions de base sont propres au problème physique et réduisent les phénomènes de dispersion numérique. Les méthodes de Trefftz fournissent aussi un cadre parfaitement adapté aux méthodes de décomposition de domaine. Il est alors facile de faire évoluer une résolution de type Trefftz directe vers une résolution de type Trefftz itérative.Dans cet exposé, nous allons présenter différentes méthodes de Trefftz pour la résolution du système de Maxwell 3D en régime harmonique. Nous traiterons le cas d'un solveur auxiliaire analytique par ondes planes ainsi que le cas d'un solveur auxiliaire numérique par éléments finis de Nédélec d'ordre élevé. Une attention particulière sera portée sur la précision de la méthode, sur la comparaison de différentes formulations et sur la ressource mémoire nécessaire à la résolution. Nous expliquerons aussi les raisons pour lesquelles ces méthodes numériques sont adaptées aux architectures modernes

Méthode itérative de type Trefftz pour la simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions

Three-dimensional electromagnetic waves simulation is used in several civil and military applications. It often involves large linear systems leading to memory cost and computation time issues. When using a LU factorisation, the memory needed to invert the matrix increases very quickly with the domain size. In this thesis, we develop GoTEM3 : a HPC Trefftz iterative solver.Trefftz methods can be interpreted as Discontinuous Galerkin methods whose basis functions are local solutions of the studied partial differential equations. Trefftz variational formulations are presented following either the consistant forms or the numerical traces point of view. The latter are obtained, in the homogeneous case, thanks to a Riemann solver, and in the heterogeneous case, thanks to a Cessenat-Després or an upwind problem. They all lead to equivalent and coercive variational formulations. A fixed point algorithm based on Cessenat-Després UWVF is written and uses a contractant matrix. However, this property might not be numerically satisfied due to rounding errors. We then derive two Trefftz iterative solvers based on Krylov spaces : a GMRES solver and a Krylov Galerkin solver. In this thesis, basis functions are plane waves and can become numerically dependant. A new global preconditioner, implying the three directions of the domain, outperforms the Cessenat-Després preconditioner by using significantly fewer iterations. Conditioning enhancement is also performed thanks to a plane waves basis reduction, leading to both time and memory gains. This latter aspect is strongly improved by the use of a free-matrix strategy achieved thanks to the cartesian structure of the mesh. GoTEM3 is therefore a code simulating electromagnetic waves on domains containing more than one billion of degrees of freedom.La simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions intervient dans de nombreuses applications civiles et militaires et met très souvent en jeu la résolution de très grands systèmes linéaires. La mémoire nécessaire pour la factorisation LU de la matrice croît très rapidement avec la taille du domaine de calcul de telles sortes que les méthodes de type EF ou GD classiques sont inutilisables. Cela conduit naturellement à employer une méthode itérative. Dans cette thèse, nous développons GoTEM3, un solveur Trefftz itératif HPC basé sur des espaces de Krylov.Les méthodes de Trefftz peuvent être interprétées comme des méthodes de Galerkin Discontinues dont les fonctions de base sont des solutions locales des équations aux dérivées partielles étudiées. Les formulations variationnelles Trefftz sont présentées sous le point de vue de formes consistantes ou de traces numériques. Ces dernières sont obtenues alternativement, pour les milieux homogènes, par un solveur de Riemann, et dans le cas général des milieux hétérogènes, par un problème de Cessenat-Després ou upwind. Elles conduisent toutes à des formulations équivalentes et coercives. Un algorithme itératif reposant sur l'UWVF de Cessenat-Després mène à un problème de point fixe dont la matrice est contractante. Toutefois, cette propriété n'est parfois plus vérifiée numériquement à cause des erreurs d'arrondis. Nous mettons alors en place un solveur GMRES et un solveur de type Krylov Galerkin dans GoTEM3. Les fonctions de base employées sont des ondes planes et peuvent devenir linéairement dépendantes numériquement. Un nouveau préconditionneur global, au sens où il implique les trois dimensions du domaine, permet d'obtenir une solution numérique précise avec nettement moins d'itérations qu'un préconditionneur de Cessenat-Després. L'amélioration du conditionnement passe aussi par une stratégie de réduction de la base d'ondes planes, conduisant à des diminutions du temps d'exécution et du coût mémoire. Ce dernier aspect est particulièrement optimisé avec un désassemblage de la matrice, rendu possible grâce au caractère cartésien du maillage. Ainsi, GoTEM3 simule les ondes électromagnétiques sur des domaines contenant plus d'un milliard de degrés de liberté