Méthode itérative de Trefftz pour la simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions.

Abstract

Three-dimensional electromagnetic waves simulation is used in several civil and military applications. It often involves large linear systems leading to memory cost and computation time issues. When using a LU factorisation, the memory needed to invert the matrix increases very quickly with the domain size. In this thesis, we develop GoTEM3 : a HPC Trefftz iterative solver.Trefftz methods can be interpreted as Discontinuous Galerkin methods whose basis functions are local solutions of the studied partial differential equations. Trefftz variational formulations are presented following either the consistant forms or the numerical traces point of view. The latter are obtained, in the homogeneous case, thanks to a Riemann solver, and in the heterogeneous case, thanks to a Cessenat-Després or an upwind problem. They all lead to equivalent and coercive variational formulations. A fixed point algorithm based on Cessenat-Després UWVF is written and uses a contractant matrix. However, this property might not be numerically satisfied due to rounding errors. We then derive two Trefftz iterative solvers based on Krylov spaces : a GMRES solver and a Krylov Galerkin solver. In this thesis, basis functions are plane waves and can become numerically dependant. A new global preconditioner, implying the three directions of the domain, outperforms the Cessenat-Després preconditioner by using significantly fewer iterations. Conditioning enhancement is also performed thanks to a plane waves basis reduction, leading to both time and memory gains. This latter aspect is strongly improved by the use of a free-matrix strategy achieved thanks to the cartesian structure of the mesh. GoTEM3 is therefore a code simulating electromagnetic waves on domains containing more than one billion of degrees of freedom.La simulation d'ondes électromagnétiques en trois dimensions intervient dans de nombreuses applications civiles et militaires et met très souvent en jeu la résolution de très grands systèmes linéaires. La mémoire nécessaire pour la factorisation LU de la matrice croît très rapidement avec la taille du domaine de calcul de telles sortes que les méthodes de type EF ou GD classiques sont inutilisables. Cela conduit naturellement à employer une méthode itérative. Dans cette thèse, nous développons GoTEM3, un solveur Trefftz itératif HPC basé sur des espaces de Krylov.Les méthodes de Trefftz peuvent être interprétées comme des méthodes de Galerkin Discontinues dont les fonctions de base sont des solutions locales des équations aux dérivées partielles étudiées. Les formulations variationnelles Trefftz sont présentées sous le point de vue de formes consistantes ou de traces numériques. Ces dernières sont obtenues alternativement, pour les milieux homogènes, par un solveur de Riemann, et dans le cas général des milieux hétérogènes, par un problème de Cessenat-Després ou upwind. Elles conduisent toutes à des formulations équivalentes et coercives. Un algorithme itératif reposant sur l'UWVF de Cessenat-Després mène à un problème de point fixe dont la matrice est contractante. Toutefois, cette propriété n'est parfois plus vérifiée numériquement à cause des erreurs d'arrondis. Nous mettons alors en place un solveur GMRES et un solveur de type Krylov Galerkin dans GoTEM3. Les fonctions de base employées sont des ondes planes et peuvent devenir linéairement dépendantes numériquement. Un nouveau préconditionneur global, au sens où il implique les trois dimensions du domaine, permet d'obtenir une solution numérique précise avec nettement moins d'itérations qu'un préconditionneur de Cessenat-Després. L'amélioration du conditionnement passe aussi par une stratégie de réduction de la base d'ondes planes, conduisant à des diminutions du temps d'exécution et du coût mémoire. Ce dernier aspect est particulièrement optimisé avec un désassemblage de la matrice, rendu possible grâce au caractère cartésien du maillage. Ainsi, GoTEM3 simule les ondes électromagnétiques sur des domaines contenant plus d'un milliard de degrés de liberté