23 research outputs found
Rewriting Modulo \beta in the \lambda\Pi-Calculus Modulo
The lambda-Pi-calculus Modulo is a variant of the lambda-calculus with
dependent types where beta-conversion is extended with user-defined rewrite
rules. It is an expressive logical framework and has been used to encode logics
and type systems in a shallow way. Basic properties such as subject reduction
or uniqueness of types do not hold in general in the lambda-Pi-calculus Modulo.
However, they hold if the rewrite system generated by the rewrite rules
together with beta-reduction is confluent. But this is too restrictive. To
handle the case where non confluence comes from the interference between the
beta-reduction and rewrite rules with lambda-abstraction on their left-hand
side, we introduce a notion of rewriting modulo beta for the lambda-Pi-calculus
Modulo. We prove that confluence of rewriting modulo beta is enough to ensure
subject reduction and uniqueness of types. We achieve our goal by encoding the
lambda-Pi-calculus Modulo into Higher-Order Rewrite System (HRS). As a
consequence, we also make the confluence results for HRSs available for the
lambda-Pi-calculus Modulo.Comment: In Proceedings LFMTP 2015, arXiv:1507.0759
Towards explicit rewrite rules in the λΠ-calculus modulo
International audienceThis paper provides a new presentation of the λΠ-calculus modulo where the addition of rewrite rules is made explicit. The λΠ-calculus modulo is a variant of the λ-calculus with dependent types where β-reduction is extended with user-defined rewrite rules. Its expressiveness makes it suitable to serve as an output language for theorem provers, certified development tools or proof assistants. Addition of rewrite rules becomes an iterative process and rules previously added can be used to type new rules. We also discuss the condition rewrite rules must satisfy in order to preserve the Subject Reduction property and we give a criterion weaker than the usual one. Finally we describe the new version of Dedukti, a type-checker for the λΠ-calculus modulo for which we assess its efficiency in comparison with Coq, Twelf and Maude
Dedukti : a Universal Proof Checker
International audienceDedukti est un vérificateur de types pour le lambda-Pi -calcul modulo, un formalisme alliant types dépendants et réécriture qui permet d'exprimer et de vérifier les preuves de nombreux systèmes logiques. Nous proposons d'utiliser DEDUKTI comme un vérificateur de preuves universel en traduisant HOL, Coq et FoCaLize vers DEDUKTI
Certifying cost annotations in compilers
We discuss the problem of building a compiler which can lift in a provably
correct way pieces of information on the execution cost of the object code to
cost annotations on the source code. To this end, we need a clear and flexible
picture of: (i) the meaning of cost annotations, (ii) the method to prove them
sound and precise, and (iii) the way such proofs can be composed. We propose a
so-called labelling approach to these three questions. As a first step, we
examine its application to a toy compiler. This formal study suggests that the
labelling approach has good compositionality and scalability properties. In
order to provide further evidence for this claim, we report our successful
experience in implementing and testing the labelling approach on top of a
prototype compiler written in OCAML for (a large fragment of) the C language
Dedukti:un vérificateur de preuves universel
International audienceDedukti est un vérificateur de types pour le λΠ-calcul modulo, un formalisme alliant types dépendants et réécriture qui permet d’exprimer et de vérifier les preuves de nombreux systèmes logiques.Nous proposons d’utiliser Dedukti comme un vérificateur de preuves universel en traduisant HOL, Coq et FoCaLize vers Dedukti
Dedukti: a Logical Framework based on the -Calculus Modulo Theory
Dedukti is a Logical Framework based on the -Calculus Modulo
Theory. We show that many theories can be expressed in Dedukti: constructive
and classical predicate logic, Simple type theory, programming languages, Pure
type systems, the Calculus of inductive constructions with universes, etc. and
that permits to used it to check large libraries of proofs developed in other
proof systems: Zenon, iProver, FoCaLiZe, HOL Light, and Matita
Vérification de typage pour le lambda-Pi-Calcul Modulo : théorie et pratique
Automatic proof checking is about using a computer to check the validity of proofs of mathematical statements. Since this verification is purely computational, it offers a high degree of confidence. Therefore, it is particularly useful for checking that a critical software, i.e., a software that when malfunctioning may result in death or serious injury to people, loss or severe damage to equipment or environmental harm, corresponds to its specification. DEDUKTI is such a proof checker. It implements a type system, the lambda-Pi-Calculus Modulo, that is an extension of the dependently-typed lambda-calculus with first-order rewrite rules. Through the Curry-Howard correspondence, DEDUKTI implements both a powerful programming language and an expressive logical system. Furthermore, this language is particularly well suited for encoding other proof systems. For instance, we can import in DEDUKTI theorems proved using other tools such as COQ, HOL or ZENON, a first step towards creating interoperability between these systems.The lambda-Pi-Calculus Modulo is a very expressive language. On the other hand, some fundamental properties such as subject reduction (i.e., the stability of typing by reduction) and uniqueness of types are not guaranteed in general and depend on the rewrite rules considered. Yet, these properties are necessary for guaranteeing the coherence of the proof system, but also for provingthe soundness and completeness of the type-checking algorithms implemented in DEDUKTI. Unfortunately, these properties are undecidable. In this thesis, we design new criteria for subject reduction and uniqueness of types that are decidable in order to be implemented in DEDUKTI.For this purpose, we give a new definition of the lambda-Pi-Calculus Modulo that takes into account the iterative aspect of the addition of rewrite rules in the typing context. A detailed study of this new system shows that the problems of subject reduction and uniqueness of types can be reduced to two simpler properties that we call product compatibility and well-typedness of rewrite rules.Hence, we study these two properties separately and give effective sufficient conditions for them to hold.These ideas have been implemented in DEDUKTI, increasing its generality and reliability.La vérification automatique de preuves consiste à faire vérifier par un ordinateur la validité de démonstrations d'énoncés mathématiques. Cette vérification étant purement calculatoire, elle offre un haut degré de confiance. Elle est donc particulièrement utile pour vérifier qu'un logiciel critique, c'est-à -dire dont le bon fonctionnement a un impact important sur la sécurité ou la vie des personnes, des entreprises ou des biens, correspond exactement à sa spécification. DEDUKTI est l'un de ces vérificateurs de preuves. Il implémente un système de type, le lambda-Pi-Calcul Modulo, qui est une extension du lambda-calcul avec types dépendants avec des règles de réécriture du premier ordre. Suivant la correspondance de Curry-Howard, DEDUKTI implémente à la fois un puissant langage de programmation et un système logique très expressif. Par ailleurs, ce langage est particulièrement bien adapté à l'encodage d'autres systèmes logiques. On peut, par exemple, importer dans DEDUKTI des théorèmes prouvés en utilisant d'autres outils tels que COQ, HOL ou encore ZENON, ouvrant ainsi la voie à l'interopérabilité entre tous ces systèmes. Le lambda-Pi-Calcul Modulo est un langage très expressif. En contrepartie, certaines propriétés fondamentales du système, telles que l'unicité des types ou la stabilité du typage par réduction, ne sont pas garanties dans le cas général et dépendent des règles de réécriture considérées. Or ces propriétés sont nécessaires pour garantir la cohérence des systèmes de preuve utilisés, mais aussi pour prouver la correction et la complétude des algorithmes de vérification de types implémentés par DEDUKTI. Malheureusement, ces propriétés sont indécidables. Dans cette thèse, nous avons donc cherché à concevoir des critères garantissant la stabilité du typage par réduction et l'unicité des types et qui soient décidables, de manière à pouvoir être implémentés par DEDUKTI. Pour cela, nous donnons une nouvelle définition du lambda-Pi-Calcul Modulo qui rend compte de l'aspect itératif de l'ajout des règles de réécriture dans le système en les explicitant dans le contexte. Une étude détaillée de ce nouveau calcul permet de comprendre qu'on peut ramener le problème de la stabilité du typage par réduction et de l'unicité des types à deux propriétés plus simples, qui sont la compatibilité du produit et le bon typage des règles de réécriture. Nous étudions donc ces deux propriétés séparément et en donnons des conditions suffisantes effectives. Ces idées ont été implémentées dans DEDUKTI, permettant d'augmenter grandement sa généralité et sa fiabilité
Typechecking in the lambda-Pi-Calculus Modulo : Theory and Practice
La vérification automatique de preuves consiste à faire vérifier par un ordinateur la validité de démonstrations d'énoncés mathématiques. Cette vérification étant purement calculatoire, elle offre un haut degré de confiance. Elle est donc particulièrement utile pour vérifier qu'un logiciel critique, c'est-à -dire dont le bon fonctionnement a un impact important sur la sécurité ou la vie des personnes, des entreprises ou des biens, correspond exactement à sa spécification. DEDUKTI est l'un de ces vérificateurs de preuves. Il implémente un système de type, le lambda-Pi-Calcul Modulo, qui est une extension du lambda-calcul avec types dépendants avec des règles de réécriture du premier ordre. Suivant la correspondance de Curry-Howard, DEDUKTI implémente à la fois un puissant langage de programmation et un système logique très expressif. Par ailleurs, ce langage est particulièrement bien adapté à l'encodage d'autres systèmes logiques. On peut, par exemple, importer dans DEDUKTI des théorèmes prouvés en utilisant d'autres outils tels que COQ, HOL ou encore ZENON, ouvrant ainsi la voie à l'interopérabilité entre tous ces systèmes. Le lambda-Pi-Calcul Modulo est un langage très expressif. En contrepartie, certaines propriétés fondamentales du système, telles que l'unicité des types ou la stabilité du typage par réduction, ne sont pas garanties dans le cas général et dépendent des règles de réécriture considérées. Or ces propriétés sont nécessaires pour garantir la cohérence des systèmes de preuve utilisés, mais aussi pour prouver la correction et la complétude des algorithmes de vérification de types implémentés par DEDUKTI. Malheureusement, ces propriétés sont indécidables. Dans cette thèse, nous avons donc cherché à concevoir des critères garantissant la stabilité du typage par réduction et l'unicité des types et qui soient décidables, de manière à pouvoir être implémentés par DEDUKTI. Pour cela, nous donnons une nouvelle définition du lambda-Pi-Calcul Modulo qui rend compte de l'aspect itératif de l'ajout des règles de réécriture dans le système en les explicitant dans le contexte. Une étude détaillée de ce nouveau calcul permet de comprendre qu'on peut ramener le problème de la stabilité du typage par réduction et de l'unicité des types à deux propriétés plus simples, qui sont la compatibilité du produit et le bon typage des règles de réécriture. Nous étudions donc ces deux propriétés séparément et en donnons des conditions suffisantes effectives. Ces idées ont été implémentées dans DEDUKTI, permettant d'augmenter grandement sa généralité et sa fiabilité.Automatic proof checking is about using a computer to check the validity of proofs of mathematical statements. Since this verification is purely computational, it offers a high degree of confidence. Therefore, it is particularly useful for checking that a critical software, i.e., a software that when malfunctioning may result in death or serious injury to people, loss or severe damage to equipment or environmental harm, corresponds to its specification. DEDUKTI is such a proof checker. It implements a type system, the lambda-Pi-Calculus Modulo, that is an extension of the dependently-typed lambda-calculus with first-order rewrite rules. Through the Curry-Howard correspondence, DEDUKTI implements both a powerful programming language and an expressive logical system. Furthermore, this language is particularly well suited for encoding other proof systems. For instance, we can import in DEDUKTI theorems proved using other tools such as COQ, HOL or ZENON, a first step towards creating interoperability between these systems.The lambda-Pi-Calculus Modulo is a very expressive language. On the other hand, some fundamental properties such as subject reduction (i.e., the stability of typing by reduction) and uniqueness of types are not guaranteed in general and depend on the rewrite rules considered. Yet, these properties are necessary for guaranteeing the coherence of the proof system, but also for provingthe soundness and completeness of the type-checking algorithms implemented in DEDUKTI. Unfortunately, these properties are undecidable. In this thesis, we design new criteria for subject reduction and uniqueness of types that are decidable in order to be implemented in DEDUKTI.For this purpose, we give a new definition of the lambda-Pi-Calculus Modulo that takes into account the iterative aspect of the addition of rewrite rules in the typing context. A detailed study of this new system shows that the problems of subject reduction and uniqueness of types can be reduced to two simpler properties that we call product compatibility and well-typedness of rewrite rules.Hence, we study these two properties separately and give effective sufficient conditions for them to hold.These ideas have been implemented in DEDUKTI, increasing its generality and reliability
Dedukti : un vérificateur de preuves universel
International audience- Dedukti est un vericateur de type pour -calcul modulo.- Le -calcul modulo est une extension du -calcul avec des types dépendants et une relation de conversion étendue par des règlesde reecriture.- Dedukti est capable de verifier les preuves provenant de prouveurs de théorèmes (Zenon, iProver) et d'assistants de preuves(Coq, HOL, Focalize).- On montre a travers plusieurs exemples que l'utilisation de la rééecriture caractéristique du -calcul modulo permet d'obtenir des preuves plus petites et plus rapides à vérifier