International audienceDedukti est un vérificateur de types pour le λΠ-calcul modulo, un formalisme alliant types dépendants et réécriture qui permet d’exprimer et de vérifier les preuves de nombreux systèmes logiques.Nous proposons d’utiliser Dedukti comme un vérificateur de preuves universel en traduisant HOL, Coq et FoCaLize vers Dedukti

Assaf, Ali

Cauderlier, Raphaël

Saillard, Ronan

Hal-Diderot

Dedukti:un vérificateur de preuves universel

HAL-MINES ParisTech

Dedukti:un ve´rificateur de preuves universelAli Assaf, Raphae¨l Cauderlier, Ronan SaillardTo cite this version:Ali Assaf, Raphae¨l Cauderlier, Ronan Saillard. Dedukti:un ve´rificateur de preuves universel.Journe´es nationales GDR - GPL - CIEL - AFADL, Apr 2013, Nancy, France. <hal-01086609>HAL Id: hal-01086609https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-01086609Submitted on 24 Nov 2014HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Dedukti:un ve´rificateur de preuves universelAliAssaf,Raphae¨lCauderlier etRonanSaillardDEDUC⊢EAM(INRIA) -MINESParisTechali.assaf@inria.fr raphael.cauderlier@inria.fr ronan.saillard@inria.frDedukti est un ve´rificateur de types pour le λΠ-calcul modulo, un formalisme alliant types de´pendants et re´e´criture qui permet d’exprimer et deve´rifier les preuves de nombreux syste`mes logiques.Nous proposons d’utiliser Dedukti comme un ve´rificateur de preuves universel en traduisant HOL, Coq et FoCaLize vers Dedukti.Introduction# let transitivity =EQ_MP(MK_COMB (REFL ‘(=) x : A -> bool‘,ASSUME ‘y : A = z‘))(ASSUME ‘x : A = y‘);;val transitivity :thm = x = y, y = z |- x = zHOLHolideTheorem transitivity :forall (A : Type) (x y z : A),x = y -> y = z -> x = z.Proof.intros A x y z H1 H2.induction H1.exact H2.Qed.CoqCoqinespecies Setoid =signature (=): Self -> Self -> bool;property transitivity :all x y z : Self,x = y -> y = z -> x = z;end;;FoCaLizeFocalideA : Type.Nat: Type.Z : Nat.S : Nat -> Nat.plus: Nat -> Nat -> Nat.[m:Nat] plus Z m --> m[n:Nat,m:Nat] plus (S n) m --> plus n (S m).Listn : Nat -> Type.nil : Listn Z.cons : n:Nat -> A -> Listn n -> Listn (S n).append: n:Nat -> Listn n -> m:Nat -> Listn m -> Listn (plus m n).[n:Nat,l1:Listn n] append n l1 Z nil --> l1[n:Nat,l1:Listn n,m:Nat,l2:Listn m,a:A]append n l1 (S m) (cons {m} a l2) --> append (S n) (cons n a l1) m l2.De´finition de la concate´nation de listes de taille n en Dedukti.• Un ve´rificateur de preuves base´ sur le λΠ-calcul modulo (voir encadre´).• Une architecture originale : le fichier source est compile´ vers un langagecible (Lua) qui est ensuite exe´cute´ pour obtenir le re´sultat.• De la normalisation par e´valuation : la normalisation est assure´e parl’exe´cution dans le langage cible.• Une compilation just-in-time (JIT ) : l’utilisation d’un compilateur JITcomme back-end assure des performances optimales quelque soit la quan-tite´ de calcul dans les preuves ve´rifie´es.• Une ve´rification de type sans contexte : le contexte est remplace´ par desannotations de type.• Un algorithme bi-directionnel : le syste`me alterne entre des phases deve´rification et d’infe´rence de type, guide´ par la structure du terme.Dedukti Lua OKKORuntimededukti.luagénération du code exécution du codeDedukti est un ge´ne´rateur de code.Dedukti• Le λΠ-calcul est un λ-calcul avec des types de´pendants qui permet d’-exprimer les preuves de la logique minimale des pre´dicats a` travers lacorrespondance de Curry-DeBruijn-Howard.• Le λΠ-calcul modulo est une extension du λΠ-calcul qui inte`gre unenotion de convertibilite´ e´largie :Γ ⊢ t : A Γ ⊢ B : s A ≡βR B (Conv)Γ ⊢ t : Bou` R est la congruence ge´ne´re´e par un syste`me de re´e´criture bien type´arbitraire.Le λΠ-calcul modulo• Les syste`mes de preuves actuels souffrent d’un manque d’interope´rabilite´.Il est difficile de re´utiliser une the´orie d’un syste`me dans un autre sans re-faire toutes les preuves.• La traduction de ces diffe´rents syste`mes dans un formalisme communpermettra de combiner leurs preuves pour construire des the´ories pluslarges.• Des traductions d’autres syste`mes, tels que PVS, Matita ou encore AtelierB, sont a` l’e´tude.Vers l’interope´rabilite´Dedukti, Holide, Coqine et Focalide sont disponibles sur le site web de Dedukti : https://www.rocq.inria.fr/deducteam/dedukti/

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