International audience- Dedukti est un vericateur de type pour -calcul modulo.-  Le -calcul modulo est une extension du -calcul avec des types dépendants et une relation de conversion étendue par des règlesde reecriture.- Dedukti est capable de verifier les preuves provenant de prouveurs de théorèmes (Zenon, iProver) et d'assistants de preuves(Coq, HOL, Focalize).- On montre a travers plusieurs exemples que l'utilisation de la rééecriture caractéristique du -calcul modulo permet d'obtenir des preuves plus petites et plus rapides à vérifier

Saillard, Ronan

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Dedukti : un vérificateur de preuves universel

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Dedukti : un ve´rificateur de preuves universelRonan SaillardTo cite this version:Ronan Saillard. Dedukti : un ve´rificateur de preuves universel. Journe´es de seconde anne´e del’Ecole Doctorale a` Mines ParisTech, Jun 2014, Paris, France. <hal-01100519>HAL Id: hal-01100519https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-01100519Submitted on 6 Jan 2015HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Dedukti :un ve´rificateur de preuves universelRonanSaillardCentre de recherche en informatique - MINES ParisTechronan.saillard@mines-paristech.fr• Dedukti est un ve´rificateur de type pour λΠ-calcul modulo.• Le λΠ-calcul modulo est une extension du λ-calcul avec des typesde´pendants et une relation de conversion e´tendue par des re`glesde re´e´criture.• Dedukti est capable de ve´rifier les preuves provenant de prouveursde the´ore`mes (Zenon, iProver) et d’assistants de preuves(Coq, HOL, Focalize).• On montre a` travers plusieurs exemples que l’utilisation de lare´e´criture caracte´ristique du λΠ-calcul modulo permet d’obtenir despreuves plus petites et plus rapides a` ve´rifier.Contexte et objectifPour ve´rifier une preuve avec Dedukti, il faut d’abord l’exprimer dans leλΠ-calcul modulo. Pour cela, on utilise des traducteurs spe´cialise´s :• Holide traduit les preuves de l’assistant de preuve HOL Light.• Coqine traduit les preuves de l’assistant de preuve Coq.• Zenonide traduit les preuves du prouveur de premier ordre Zenon.• Focalide traduit les programmes certifie´s de FoCaLiZe.• Une extension du prouveur iProver permet de traduire ses preuves.Ces logiciels sont de´veloppe´s au sein de l’e´quipe Deducteam de INRIApar Ali Assaf, Guillaume Burel, Raphae¨l Cauderlier, Fre´de´ric Gilbert etPierre Halmagrand.Traducteurs(Empty) ∅ wf Γ ` A : s x /∈ Γ(Dec) Γ(x : A) wfΓ∆ ` l : T Γ∆ ` r : T FV (r) ∩∆ ⊂ FV (l)(Rw)Γ([∆]l ↪→ r) wfΓ wf(Type)Γ ` Type : KindΓ wf (x : A) ∈ Γ(Var/Cst)Γ ` x : AΓ ` A : Type Γ(x : A) ` t : B B 6= Kind(Abs)Γ ` λxA.t : ΠxA.BΓ ` A : Type Γ(x : A) ` B : s(Prod)Γ ` ΠxA.B : sΓ ` t : ΠxA.B Γ ` u : A(App)Γ ` tu : B[x\u]Γ ` t : A Γ ` B : s A ≡βΓ B(Conv)Γ ` t : BRe`gles de typage du λΠ-calcul modulo.Re`gles de typage• Un millier de lignes de code OCaml pour le ve´rificateur de typesdu λΠ-calcul modulo.• Une machine de re´duction call-by-need pour la β-re´duction etles re`gles de re´e´criture ajoute´es.• La compilation des re`gles de re´e´criture (possiblement nonline´aires) en arbres de de´cision pour une re´e´criture efficace.• Une licence libre : CeCILL-B.Mise en œuvreOn compare, sur deux jeux de tests diffe´rents, des encodages avec re`glesde re´e´criture et sans re`gle de re´e´criture.• Le premier test concerne 86 fichiers de la bibliothe`que de preuves etthe´ore`mes OpenTheory tels qu’encode´s par Holide.• Le deuxie`me test concerne 520 fichiers correspondant a` des preuvesde the´ore`mes de la bibliothe`que TPTP, obtenus graˆce au prouveurZenon. La bibliote`que TPTP est le jeu de test standard des prou-veurs automatiques.Les tests ont e´te´ re´alise´s sur un ordinateur Linux muni d’un processeurIntel Core i7-3520M CPU @ 2.90GHz x 4 et de 16GB de Ram.Expe´rienceLa ve´rification des preuves encode´esen utilisant les re`gles de re´e´critureest 23 fois plus rapide pourOpenTheory et est 55 fois plusrapide pour TPTP.Temps de ve´rification (en secondes)La taille des fichier obtenus apre`sencodage est environ 20 foisinfe´rieure lorsqu’on utilise desre`gles de re´e´criture.Taille des fichiers (en me´gaoctets)Le nombre de tests de conversioneffectue´s lors de la ve´rification despreuves de OpenTheory est 23fois infe´rieur pour l’encodageavec re`gles de re´e´criture et 18 foisinfe´rieur pour TPTP.Nombre de tests de conversion (en millions)Le´gende : avec re´e´criture - sans re´e´critureInterpre´tation : Un encodage avec re´e´criture est nettement plus rapidea ve´rifier. Cela s’explique, d’abord par la taille re´duite des termes obtenuspar ces encodage, et ensuite par le nombre moins important de tests deconversion ne´cessaires a` leur ve´rification.Re´sultats• Les syste`mes de preuves actuels souffrent d’un manqued’interope´rabilite´. Il est difficile de re´utiliser une the´orie d’unsyste`me dans un autre sans refaire toutes les preuves.• La traduction de diffe´rents syste`mes dans un formalisme communet facilement ve´rifiable permettra de combiner leurs preuves pourconstruire des the´ories plus larges.Vers l’interope´rabilite´R. Saillard, Towards explicit rewrite rules in the lambda-Pi calculusmodulo, 10th International Workshop on the Implementation of Logics(IWIL), Stellenbosch, 2013.Re´fe´renceDedukti et les diffe´rents traducteurs sont disponibles a` l’adresse suivante : https://www.rocq.inria.fr/deducteam/software.html

National audience• Dedukti est un vérificateur de type pour λΠ-calcul modulo. • Le λΠ-calcul modulo est une extension du λ-calcul avec des types dépendants et une relation de conversion etendue par des r` egles de réécriture. • Dedukti est capable de vérifier les preuves provenant de prouveurs de théor emes (Zenon, iProver) et d'assistants de preuves (Coq, HOL, Focalize). • On montrè a travers plusieurs exemples que l'utilisation de la réécriture caractéristique du λΠ-calcul modulo permet d'obtenir des preuves plus petites et plus rapides a vérifier. Contexte et objectif Pour vérifier une preuve avec Dedukti, il faut d'abord l'exprimer dans le λΠ-calcul modulo. Pour cela, on utilise des traducteurs spécialisés : • Holide traduit les preuves de l'assistant de preuve HOL Light. • Coqine traduit les preuves de l'assistant de preuve Coq. • Zenonide traduit les preuves du prouveur de premier ordre Zenon. • Focalide traduit les programmes certifiés de FoCaLiZe. • Une extension du prouveur iProver permet de traduire ses preuves. Ces logiciels sont développés au sein de l'´ equipe Deducteam de INRIA par Ali Assaf, Guillaume Burel, Raphaël Cauderlier, Frédéric Gilbert et Pierre Halmagrand

Dedukti : un ve´rificateur de preuves universelRonan SaillardTo cite this version:Ronan Saillard. Dedukti : un ve´rificateur de preuves universel. JOURNE´ES NATIONALESDU GDR GPL 2015, Jun 2015, Bordeaux, France. <hal-01176726>HAL Id: hal-01176726https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-01176726Submitted on 15 Jul 2015HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Dedukti :un ve´rificateur de preuves universelRonanSaillardCentre de recherche en informatique - MINES ParisTechronan.saillard@mines-paristech.fr• Dedukti est un ve´rificateur de type pour λΠ-calcul modulo.• Le λΠ-calcul modulo est une extension du λ-calcul avec des typesde´pendants et une relation de conversion e´tendue par des re`glesde re´e´criture.• Dedukti est capable de ve´rifier les preuves provenant de prouveursde the´ore`mes (Zenon, iProver) et d’assistants de preuves(Coq, HOL, Focalize).• On montre a` travers plusieurs exemples que l’utilisation de lare´e´criture caracte´ristique du λΠ-calcul modulo permet d’obtenir despreuves plus petites et plus rapides a` ve´rifier.Contexte et objectifPour ve´rifier une preuve avec Dedukti, il faut d’abord l’exprimer dans leλΠ-calcul modulo. Pour cela, on utilise des traducteurs spe´cialise´s :• Holide traduit les preuves de l’assistant de preuve HOL Light.• Coqine traduit les preuves de l’assistant de preuve Coq.• Zenonide traduit les preuves du prouveur de premier ordre Zenon.• Focalide traduit les programmes certifie´s de FoCaLiZe.• Une extension du prouveur iProver permet de traduire ses preuves.Ces logiciels sont de´veloppe´s au sein de l’e´quipe Deducteam de INRIApar Ali Assaf, Guillaume Burel, Raphae¨l Cauderlier, Fre´de´ric Gilbert etPierre Halmagrand.Traducteurs(Empty) ∅ wf Γ ` A : s x /∈ Γ(Dec) Γ(x : A) wfΓ∆ ` l : T Γ∆ ` r : T FV (r) ∩∆ ⊂ FV (l)(Rw)Γ([∆]l ↪→ r) wfΓ wf(Type)Γ ` Type : KindΓ wf (x : A) ∈ Γ(Var/Cst)Γ ` x : AΓ ` A : Type Γ(x : A) ` t : B B 6= Kind(Abs)Γ ` λxA.t : ΠxA.BΓ ` A : Type Γ(x : A) ` B : s(Prod)Γ ` ΠxA.B : sΓ ` t : ΠxA.B Γ ` u : A(App)Γ ` tu : B[x\u]Γ ` t : A Γ ` B : s A ≡βΓ B(Conv)Γ ` t : BRe`gles de typage du λΠ-calcul modulo.Re`gles de typage• Un millier de lignes de code OCaml pour le ve´rificateur de typesdu λΠ-calcul modulo.• Une machine de re´duction call-by-need pour la β-re´duction etles re`gles de re´e´criture ajoute´es.•Des re`gles de re´e´criture line´aires ou non.•De la re´e´criture modulo β.• La compilation des re`gles de re´e´criture en arbres de de´cisionpour une re´e´criture efficace.• Une licence libre : CeCILL-B.Mise en œuvreOn compare, sur deux jeux de tests diffe´rents, des encodages avec re`glesde re´e´criture et sans re`gle de re´e´criture.• Le premier test concerne 86 fichiers de la bibliothe`que de preuves etthe´ore`mes OpenTheory tels qu’encode´s par Holide.• Le deuxie`me test concerne 520 fichiers correspondant a` des preuvesde the´ore`mes de la bibliothe`que TPTP, obtenus graˆce au prouveurZenon. La bibliote`que TPTP est le jeu de test standard des prou-veurs automatiques.Les tests ont e´te´ re´alise´s sur un ordinateur Linux muni d’un processeurIntel Core i7-3520M CPU @ 2.90GHz x 4 et de 16GB de Ram.Expe´rienceLa ve´rification des preuves encode´esen utilisant les re`gles de re´e´critureest 23 fois plus rapide pourOpenTheory et est 55 fois plusrapide pour TPTP.Temps de ve´rification (en secondes)La taille des fichier obtenus apre`sencodage est environ 20 foisinfe´rieure lorsqu’on utilise desre`gles de re´e´criture.Taille des fichiers (en me´gaoctets)Le nombre de tests de conversioneffectue´s lors de la ve´rification despreuves de OpenTheory est 23fois infe´rieur pour l’encodageavec re`gles de re´e´criture et 18 foisinfe´rieur pour TPTP.Nombre de tests de conversion (en millions)Le´gende : avec re´e´criture - sans re´e´critureInterpre´tation : Un encodage avec re´e´criture est nettement plus rapidea ve´rifier. Cela s’explique, d’abord par la taille re´duite des termes obtenuspar ces encodage, et ensuite par le nombre moins important de tests deconversion ne´cessaires a` leur ve´rification.Re´sultats• Les syste`mes de preuves actuels souffrent d’un manqued’interope´rabilite´. Il est difficile de re´utiliser une the´orie d’unsyste`me dans un autre sans refaire toutes les preuves.• La traduction de diffe´rents syste`mes dans un formalisme communet facilement ve´rifiable permettra de combiner leurs preuves pourconstruire des the´ories plus larges.Vers l’interope´rabilite´R. Saillard, Towards Explicit Rewrite Rules in the λΠ-Calculus Modulo,IWIL, Stellenbosch, 2013.R. Saillard, Rewriting Modulo β in the λΠ-Calculus Modulo, Submitted,2015.Re´fe´renceDedukti et les diffe´rents traducteurs sont disponibles a` l’adresse suivante : https://www.rocq.inria.fr/deducteam/software.html

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