Travelling graphs for the forced mean curvature motion in an arbitrary space dimension

We construct travelling wave graphs of the form $z=-ct+\phi(x)$, $\phi: x \in \mathbb{R}^{N-1} \mapsto \phi(x)\in \mathbb{R}$, $N \geq 2$, solutions to the $N$-dimensional forced mean curvature motion $V_n=-c_0+\kappa$ ($c\geq c_0$) with prescribed asymptotics. For any 1-homogeneous function $\phi_{\infty}$, viscosity solution to the eikonal equation $|D\phi_{\infty}|=\sqrt{(c/c_0)^2-1}$, we exhibit a smooth concave solution to the forced mean curvature motion whose asymptotics is driven by $\phi_{\infty}$. We also describe $\phi_{\infty}$ in terms of a probability measure on $\mathbb{S}^{N-2}$.Comment: 36 pages, 6 figure

Global Existence and Long-Time Asymptotics for Rotating Fluids in a 3D Layer

The Navier-Stokes-Coriolis system is a simple model for rotating fluids, which allows to study the influence of the Coriolis force on the dynamics of three-dimensional flows. In this paper, we consider the NSC system in an infinite three-dimensional layer delimited by two horizontal planes, with periodic boundary conditions in the vertical direction. If the angular velocity parameter is sufficiently large, depending on the initial data, we prove the existence of global, infinite-energy solutions with nonzero circulation number. We also show that these solutions converge toward two-dimensional Lamb-Oseen vortices as time goes to infinity.Comment: 26 pages, no figur

Long-Time Asymptotics of Navier–Stokes and Vorticity Equations in a Three-Dimensional Layer

International audienceWe study the long-time behavior of solutions of the Navier-Stokes equation in R^2 \times (0,1). After introducing self-similar variables, we compute the long-time asymptotics of the vorticity up to second order, assuming that the initial vorticity is sufficiently small and has polynomial decay at infinity. Afterwards, we relax this smallness assumption and we prove again that the long-time behavior of global bounded solutions is governed by the two-dimensional Navier-Stokes equation. In particular, we show that solutions converge towards Oseen vortices.On étudie le comportement pour les grands temps des solutions de l'équation de Navier-Stokes dans la bande R^2 \times (0,1). Après reformulation du problème à l'aide de variables auto-similaires, on calcule un développement asymptotique en temps de la vorticité jusqu'au second ordre, en supposant que la vorticité initiale est suffisamment petite et décroît de manière polynomiale à l'infini. Dans un deuxième temps, sans cette hypothèse de petitesse sur la donnée initiale, on prouve que, de nouveau, le comportement asymptotique des solutions globales est régi par l'équation de Navier-Stokes bidimensionnelle. En particulier, on montre que de telles solutions convergent vers le tourbillon d'Oseen

Sur la stabilite des Ondes Spheriques et le Mouvement d'un Fluide entre deux Plaques Infinies

This thesis deals with the asymptotic behavior of global solutions of evolution parabolic semilinear Partial Differential Equations. Through two different examples, we study the convergence of solutions, when time goes to infinity, towards particular solutions (travelling waves, self-similar solutions). On the one hand, we study the asymptotic stability of spherically symmetric travelling waves in a scalar reaction-diffusion equation with bistable nonlinearity. We get a stability result for small radial perturbations and an instability one for arbitrary (i.e. non-symmetric) perturbations. On the other hand, we compute an asymptotic development up to second order of solutions with small initial data of Navier-Stokes and Navier-Stokes Coriolis equations in a three-dimensional layer. In particular, we show that their behaviors are governed by the Oseen Vortex. We then generalise this result to any global solution uniformly bounded in time, with no more smallness assumption on the initial data. Finally, we highlight such solutions for the Navier-Stokes Coriolis equation in case of a sufficiently high rotation.Cette thèse a pour objet le comportement asymptotique de solutions globales d'Equations aux Dérivées Partielles d'évolution paraboliques semilinéaires. A travers deux exemples distincts, on traite de la convergence en temps des solutions vers des solutions particulières (ondes progressives, solutions autosimilaires). Dans un premier temps, on étudie la stabilité asymptotique des ondes progressives à symétrie sphérique dans une équation de réaction-diffusion scalaire avec non-linéarité bistable. On obtient un résultat de stabilité pour de petites perturbations radiales et d'instabilité pour des perturbations quelconques. Dans un deuxième temps, on calcule un développement asymptotique jusqu'au second ordre des solutions, à donnée initiale petite, de Navier-Stokes et de Navier-Stokes Coriolis dans une bande tridimensionnelle. On montre notamment que leur comportement asymptotique est régi par le tourbillon d'Oseen. On généralise ensuite ce résultat à toute solution globale uniformément bornée en temps, sans aucune hypothèse de petitesse. Enfin, on met en évidence de telles solutions pour l'équation de Navier-Stokes Coriolis pour les fluides tournants dans le cas d'une rotation suffisamment rapide

Sur la stabilité des ondes sphériques et le mouvement d'un fluide entre deux plaques infinies

Cette thèse a pour objet le comportement asymptotique de solutions globales d'Equations aux Dérivées Partielles d'évolution semilinéaires. A travers deux exemples distincts, on traite de la convergence des solutions, lorsque le temps tend vers l'infini, vers des solutions particulières (ondes progressives, solutions au-tosimilaires). Dans un premier temps, on étudie la stabilité asymptotique des ondes progressives à symmétrie sphérique dans une équation de réaction-diffusion scalaire avec non-linéarité bistable. On obtient un résultat de stabilité pour de petites perturbations radiales et d'instabilité pour des perturbations quelconques. Dans un deuxième temps, on calcule un développement asymptotique jusqu'au second ordre des solutions à donnée initiale petite de Navier-Stokes et de Navier-Stokes Coriolis dans une bande tridimensionnelle. On montre notamment que leur comportement asymptotique est régi par le tourbillon d'Oseen. On généralise ensuite ce résultat à toute solution globale uniformément bornée en temps, sans aucune hypothèse de petitesse. Enfin, on met en évidence de telles solutions pour l'équation de Navier-Stokes Coriolis pour les fluides tournants dans le cas d'une rotation suffisamment rapide.This thesis deals with asymptotic behaviour of global solutions of evolution semilinear Partial Differential Equations. Through two different examples, we study the convergence of solutions, when time goes to infinity, towards particular solutions (travelling waves, self-similar solutions). On the one hand, we study the asymptotic stability of spherically symmetric travelling waves in a scalar reaction-diffusion equation with bistable nonlinearity. We get a stability result for small radial perturbations and an instability one for arbitrary (i.e. non-symmetric) perturbations. On the other hand, we compute an asymptotic development up to second order of solutions with small initial data of Navier-Stokes and Navier-Stokes Coriolis equations in a three-dimensional layer. In particular, we show that their behaviours are governed by the Oseen Vortex. We then generalise this result to any global solution uniformly bounded in time, with no more smallness assumption. Finally, we highlight such solutions of the Navier-Stokes Coriolis equation for rotating fluids in case of a sufficiently high rotation.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocORSAY-PARIS 11-Bib. Maths (914712203) / SudocSudocFranceF

Sharp large time behaviour in N -dimensional Fisher-KPP equations

We study the large time behaviour of the Fisher-KPP equation ∂ t u = ∆u + u − u 2 in spatial dimension N , when the initial datum is compactly supported. We prove the existence of a Lipschitz function s of the unit sphere, such that u(t, x) converges, as t goes to infinity, to U c * |x| − c * t + N + 2 c * lnt + s ∞ x |x| , where U c * is the 1D travelling front with minimal speed c * = 2. This extends an earlier result of Gärtner

Vers un changement de paradigme dans les dispositifs d'ouverture sociale et territoriale ? Présentation du dispositif expérimental « Horizon INSA »

International audienceVers un changement de paradigme dans les dispositifs d'ouverture sociale et territoriale ? Présentation du dispositif expérimental « Horizon INSA

Nontrivial dynamics beyond the logarithmic shift in two-dimensional Fisher-KPP equations

International audienceWe study the asymptotic behaviour, as time goes to infinity, of the Fisher-KPP equation \partial_t u = ∆u + u − u^2 in spatial dimension 2, when the initial condition looks like a Heaviside function. Thus the solution is, asymptotically in time, trapped between two planar critical waves whose positions are corrected by the Bramson logarithmic shift. The issue is whether, in this reference frame, the solutions will converge to a travelling wave, or will exhibit more complex behaviours. We prove here that both convergence and nonconvergence may happen: the solution may converge towards one translate of the planar wave, or oscillate between two of its translates. This relies on the behaviour of the initial condition at infinity in the transverse direction

Nontrivial large-time behaviour in bistable reaction-diffusion equations

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