Relativistic Toda Chain with Boundary Interaction at Root of Unity

We apply the Separation of Variables method to obtain eigenvectors of commuting Hamiltonians in the quantum relativistic Toda chain at a root of unity with boundary interaction.Comment: This is a contribution to the Vadim Kuznetsov Memorial Issue on Integrable Systems and Related Topics, published in SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications) at http://www.emis.de/journals/SIGMA

Groupes quantiques associés aux courbes rationnelles et elliptiques et leurs applications

Le contexte général dans lequel s'inscrivent les travaux développés dans ce mémoire est le contrôle des processus industriels complexes. Ces travaux proposent des nouvelles techniques d'amélioration du contrôle statistique des processus non gaussiens : la carte de contrôle avec des paramètres variables et la carte de contrôle théorique pour la loi de distribution de Rayleigh. Un modèle d'intégration des outils des domaines de l'APC (Automatic Process Control) et de la MSP est proposée et ensuite analysé par le biais des deux modèles de processus réel.The general context of the work developed here is the control of complex industrial processes. These works offer new methods of improvement of statistical process control for non Gaussian distribution : the control chart with variable parameters and the theoretical control chart for the Rayleigh distribution. A model of integration of the APC (Automatic Process Control) and MSP technics is introduced, and then analyzed by using the models of two real process.ANGERS-BU Lettres et Sciences (490072106) / SudocSudocFranceF

Fonctions tau de l'opérateur de Dirac sur le cylindre

La thèse est consacrée à l'étude d'un analogue du problème de Riemann-Hilbert et de déformations isomonodromiques pour les solutions de l'équation de Dirac sur le cylindre. L'objectif est de faire un lien entre la théorie de déformation et les fonctions de corrélation dans certains modèles intégrables en théorie quantique des champs dans le volume fini. Dans une première partie, nous étudions des solutions multivaluées de l'équation de Dirac, qui réalisent une représentation unitaire de dimension 1 du groupe fondamental du cylindre avec n points marqués. Nous introduisons et étudions la base canonique des solutions, la fonction de Green et la fonction tau de l'opérateur de Dirac singulier. Dans une seconde partie, nous obtenons, de deux facons différentes, les équations différentielles nonlinéaires satisfaites par les fonctions de corrélation du modéle d'Ising sur le cylindre.The thesis is devoted to the study of an analog of the Riemann-Hilbert problem and monodromy preserving deformations for the solutions of the Dirac equation on the cylinder. The aim is to understand the connection between deformation theory and correlation functions of certain integrable models of quantum field theory in the finite volume. In the first part, we study multivalued solutions of the Dirac equation that realize a unitary one-dimensional representation of the fundamental group of the cylinder with n marked points. We introduce and investigate the canonical basis of solutions, the Green function and the tau function of the singular Dirac operator. In the second part, we derive in two different ways nonlinear differential equations, satisfied by the correlation functions of the Ising model on the cylinder.ANGERS-BU Lettres et Sciences (490072106) / SudocSudocFranceF

Poisson and Symplectic structures, Hamiltonian action, momentum and reduction

31 pages, 14 references. Other author's papers can be downloaded at http://www.denys-dutykh.com/This manuscript is essentially a collection of lecture notes which were given by the first author at the Summer School Wisla-2019, Poland and written down by the second author. As the title suggests, the material covered here includes the Poisson and symplectic structures (Poisson manifolds, Poisson bi-vectors and Poisson brackets), group actions and orbits (infinitesimal action, stabilizers and adjoint representations), moment maps, Poisson and Hamiltonian actions. Finally, the phase space reduction is also discussed. The very last section introduces the Poisson-Lie structures along with some related notions. This text represents a brief review of a well-known material citing standard references for more details. The exposition is concise but pedagogical. The Authors believe that it will be useful as an introductory exposition for students interested in this specific topic

Opérateurs de Monge-Ampère symplectiques en dimensions 3 et 4

Le sujet principal de cette thèse est l'étude du problème d'équivalence des équations de Monge-Ampère en trois variables. Nous abordons ce problème du point de vue de la théorie géométrique des invariants scalaires différentiels en utilisant la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre ces équations et certaines formes différentielles sur une variété symplectique, les formes effectives. Nous étudions tout d'abord la géométrie des formes effectives sur un espace vectoriel symplectique. La liste exhaustive des différentes orbites de l'action du groupe symplectique Sp(3) sur l'espace des 3-formes effectives est donnée. Nous montrons que l'invariant quadratique de Lychagin-Roubtsov est un invariant caractéristique de ces orbites et nous interprétons cet invariant comme une application moment en utilisant l'approche de Hitchin sur la géométrie des 3-formes extérieures. Nous donnons ensuite une condition suffisante pour qu'une équation de Monge-Ampère sur R3 soit localement équivalente à l'une des trois équations à coefficients constants non dégénérée au sens de Hitchin. Cette condition porte sur les dérivées d'ordre 1 et 2 des coefficients de la forme effective sur T*R3 associée. Ce résultat complète et simplifie un résultat démontré par Lychagin et Roubtsov. Nous donnons toutefois un second critère d'équivalence locale qui se comprend mieux du point de vue géométrique. Nous associons pour cela à chaque équation de Monge-Ampère en trois variables une structure de type Calabi-Yau et nous interprétons ce problème d'équivalence locale en termes d'intégrabilité de cette structure et de courbure de la métrique associée. Ce résultat est l'analogue en dimension 3 de la correspondance de Lychagin et Roubtsov entre équations de Monge-Ampère à coefficients constants et structures complexes ou structures produits intégrables en dimension 2. Nous étudions enfin la grassmannienne associée à une équation de Monge-Ampère non dégénérée au sens de Hitchin. Nous généralisons notamment la description de la grassmannienne des sous espaces lagrangiens spéciaux par l'espace homogène SU (3) / SO (3) et nous complétons le calcul des classes caractéristiques associées de Zilbergleit. Nous abordons aussi dans cette thèse le cas de la dimension 4. Nous introduisons en particulier un analogue complexe des opérateurs de Monge-Ampère, les opérateurs pluriharmoniques sur une variété complexe. Nous établissons une correspondance entre ces opérateurs pluriharmoniques et les formes bieffectives et nous montrons sur quelques exemples comment étudier la géométrie des solutions pluriharmoniques d'une équation de Monge-Ampère sur R4.ANGERS-BU Lettres et Sciences (490072106) / SudocSudocFranceF

Théorie des champs (approche multisymplectique de la quantification, théorie perturbative et application)

Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'équation de Klein Gordon couplée avec une interaction d ordre p entier et la quantification de cette théorie du point de vue multisymplectique. La géométrie multisymplectique est un cadre général permettant de donner une formulation Hamiltonienne covariante et de dimension finie aux problèmes variationnels à plusieurs variables. Dans une première partie nous nous intéressons à l'équation de Klein Gordon linéaire (théorie libre). Nous proposons une description exhaustive de la quantification canonique du champ libre dans le cadre multisymplectique. Nous développons trois points de vue sur cette construction : un point de vue algébrique par une représentation de l algèbre de Lie des symétries, un point de vue par déformation et enfin une approche par la quantification géométrique. Dans une seconde partie nous traitons le cas du champ en interaction c est à dire l'équation non linéaire. Nous construisons dans un premier temps des observables qui sont des intégrales premières pour les solutions classiques. Ceci aboutit de manière naturelle à des fonctionnellesdéfinies sur l espace des solutions par des séries construites à l aide des arbres plans et de certaines règles de Feynman. Nous explicitons ensuite le lien qui relie ces observables et les séries de Butcher décrivant les solutions d une équation aux dérivées partielles non linéaires et nous montrons comment nous pouvons retrouver le calcul perturbatif quantique à l aide de ces séries. Enfin nous voyons comment les séries de Butcher peuvent s appliquer en théorie du contrôle.The main subject of this thesis is the study of the Klein-Gordon equation together with an interaction term and the quantization of this theory from the multisymplectic point of view. Multisymplectic geometry provides a general framework for a covariant finite dimensional Hamiltonian formulation of variational problems with several variables. In the first part we study the linear Klein-Gordon equation (free fields). We propose a description of the canonical quantization of free fiels from the multisymplectic point of view. We investigate three approachs : the algebraic approach by giving a representation of the Lie algebra of the symetries, the deformation point of view and finally we introduce a notion of multisymplectic geometric quantization. In the second part we study the classical Øp-theory. First we define explicitely a conserved quantity using a perturbative expansion based on planar trees and a kind of Feynman rule. Then we link this expansion with Butcher series which describe the perturbative expansion of the solutions of some PDE and we show how Butcher series can be related to perturbative quantum theory. Finally we see how we can apply our result in order to solve problems from control theory.ANGERS-BU Lettres et Sciences (490072106) / SudocSudocFranceF

An algebraic index theorem for Poisson manifolds

International audienceThe formality theorem for Hochschild chains of the algebra of functions on a smooth manifold gives us a version of the trace density map from the zeroth Hochschild homology of a deformation quantization algebra to the zeroth Poisson homology. We propose a version of the algebraic index theorem for a Poisson manifold which is based on this trace density map.</p

Monge-Ampère Structures and the Geometry of Incompressible Flows

Autre type de document (Document non publié)We show how a symmetry reduction of the equations for incompressible hydrodynamics in three dimensions leads naturally to a Monge-Amp\`ere structure, and Burgers'-type vortices are a canonical class of solutions associated with this structure. The mapping of such solutions, which are characterised by a linear dependence of the third component of the velocity on the coordinate defining the axis of rotation, to solutions of the incompressible equations in two dimensions is also shown to be an example of a symmetry reduction The Monge-Amp\`ere structure for incompressible flow in two dimensions is shown to be hypersymplectic.</p

Les propriétés homologiques des algèbres elliptiques de petite dimension

Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés homologiques d'une famille d'algèbres associatives attachée aux courbes elliptiques. Chaque algèbre de cette famille admet un nombre ni de générateurs subordonnés aux relations quadratiques. Elles sont aujourd'hui connues sous le nom d'algèbres elliptiques de Sklyanin-Odesskii- Feigin. Il convient toutefois de souligner que le cas le plus simple, la famille d'algèbres elliptiques avec trois générateurs, était déjà connue de Artin et Shelter.This thesis is dedicated to the study of the homologiques properties of a family of associative algebras attached to the elliptic curves. Every algebra of this family admits a number nor of generators subordinate to the quadratiques relations. They are known under the name of elliptic algebras of Sklyanin-Odesskii-Feigin today. It is however advisable to underline that the simplest case, the family of elliptic algebras with three generators, was already known of Artin and Shelter.ANGERS-BU Lettres et Sciences (490072106) / SudocSudocFranceF